南开大学计量课件多元线性回归异方差问题.ppt
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1,第九章多元线性回归的异方差问题,一、异方差及其影响二、异方差的发现和判断三、异方差的解决方法,2,一、异方差及其影响,1、异方差的定义:
对于多元线性回归模型,如果随机扰动项的方差并非是不变的常数,则称为存在异方差(heteroscedasticity)。
异方差可以表示为。
或,3,两变量线性回归模型的异方差,4,1、异方差的定义,异方差主要出现在截面数据分析中,例如大公司的利润变化幅度要比小公司的利润变化幅度大,即大公司利润的方差比小公司利润的方差大。
这取决于公司的规模、产业特点和研究开发支出多少等因素。
又如高收入家庭通常比低收入家庭对某些商品的支出有更大的方差。
例9.1:
人均家庭支出(cum)和可支配收入(in)的关系模型给出中国1998年各地区城镇居民平均每人全年家庭交通及通讯支出(cum)和可支配收入(in)的数据,估计两者之间的关系模型,5,2、异方差的影响,1、OLS估计量不再是BLUE,其是无偏和一致的,但并非有效的,即不再具有方差最小性。
2、检验假设的统计量不再成立,建立在t分布和F分布之上的置信区间和假设检验不可靠。
6,二、异方差的发现和判断,
(一)残差的图形检验
(二)Breusch-Pagan检验(三)戈里瑟检验(Glejsertest)(四)怀特检验(Whitetest),7,
(一)残差的图形检验,这是一种最直观的方法,它以某一变量(通常取因变量)作为横坐标,以随机项的估计量e或e2为纵坐标,根据作出的散点图直观地判断是否存在相关性。
如果存在相关性,则存在异方差。
通常的方法是先产生残差序列,再把它和因变量一起绘制散点图。
例9.2:
利用该方法绘制上一章关于美国机动车消费量的模型中QMG与残差的散点图。
8,
(二)Breusch-Pagan检验,假设回归模型如下:
检验假定线性函数,9,步骤:
1、作普通最小二乘回归
(1),不考虑异方差问题。
2、从原始回归方程中得残差ui,并求其平方。
3、利用原始模型中的解释变量作形如上式
(2)的回归,记下这个回归的R平方。
4、检验零假设是对方程
(2)进行F检验,或计算LM统计量进行检验。
10,(三)戈里瑟检验,1、通常拟合和之间的回归模型:
根据图形中的分布选择2、再检验零假设0(不存在异方差)。
如果零假设被拒绝,则表明可能存在异方差。
11,(四)怀特检验,假设有如下模型:
(3)基本步骤:
1、首先用OLS方法估计回归方程(3)式。
2、然后作辅助回归:
(4),12,3、求辅助回归方程的R2值。
在零假设:
不存在异方差下,White证明了,从方程(4)中获得R2值与样本容量(n)的积服从卡方分布自由度等于(4)式中的解释变量的个数。
4、根据样本计算统计量n*R2值,并与所选取的显著性水平进行比较,看是否接受零假设(零假设为残差不存在异方差性)。
5、Eviews计算:
View-ResidualTests-WhiteHeteroskedasticity.应用:
对例9.1进行White异方差检验,(四)怀特检验,13,等价的White检验
(1)用OLS估计模型(3),得到残差和拟合值,计算它们的平方;
(2)做回归记下这个回归的R平方(3)构造F或LM统计量并计算p值(前者为F2,n3分布,后者用分布。
14,(五)实例,例9.1:
人均家庭支出(cum)和可支配收入(in)的关系模型给出中国1998年各地区城镇居民平均每人全年家庭交通及通讯支出(cum)和可支配收入(in)的数据,估计两者之间的关系模型发现:
采用水平模型存在异方差性,但采用对数模型不存在异方差性。
15,三、异方差的解决方法,加权最小二乘法模型的重新设定,16,
(一)加权最小二乘法,基本思路:
赋予残差的每个观测值不同权数,从而使模型的随机误差项具有同方差性。
17,
(一)加权最小二乘法,方差已知的情形假设已知随机误差项的方差为var(ui)=i2,设权数wi与异方差的变异趋势相反,wi=1/i,将原模型两端同乘以wi。
wi使异方差经受了“压缩”和“扩张”变为同方差。
18,
(一)加权最小二乘法,方差已知的情形对于一元线性回归模型y=b0+b1x+u,加权最小化残差平方和为获得的估计量就是加权最小二乘估计量。
对于多元线性回归模型y=Xu,令权数序列wi=1/i,W为NN对角矩阵,对角线上为wi,其他元素为0。
则变换后的模型为,19,
(一)加权最小二乘法,方差未知的情形
(1)误差方差与xi成比例Var(ui)=2*xi其中2为常数,这时可以令权序列
(2)误差方差与xi2成比例Var(ui)=2*xi2其中2为常数,这时可以令权序列,20,
(一)加权最小二乘法,方差未知的情形例9.3:
住房支出模型给出由四组家庭住房支出和年收入组成的截面数据,建立住房支出模型,并检验和修正异方差。
(3)其他的与自变量xi的加权形式f(xi),21,
(一)加权最小二乘法,方差未知的情形,22,
(一)加权最小二乘法,(4)用随机误差项的近似估计量求权重序列首先利用OLS估计原模型得到残差序列,然后利用残差序列的绝对值的倒数序列作为加权序列,即令,23,
(一)加权最小二乘法,OLS是加权最小二乘法的特例显然,当满足同方差假定时,w1=w2=wn=1/=常数即权数相等且等于常数,加权最小二乘法,就是OLS法。
24,纠正异方差性的一个可行程序,
(1)将y对x1,x2,xk做回归并得到残差u;
(2)将残差进行平方,然后再取自然对数而得到log(u2);(3)做log(u2)对x1,x2,xk的回归并得到拟合值g;(4)求拟合值的指数:
h=exp(g)(5)以1/h为权数用WLS来估计方程。
在(3)中做log(u2)对的回归本质上是完全一样的,25,例9.1(续):
人均家庭支出(cum)和可支配收入(in)的关系模型给出中国1998年各地区城镇居民平均每人全年家庭交通及通讯支出(cum)和可支配收入(in)的数据,估计两者之间的关系模型。
26,
(二)模型的重新设定,在计量经济学实践中,计量经济学家偏爱使用对数变换解决问题,往往一开始就把数据化为对数形式,再用对数形式数据来构成模型,进行回归估计与分析。
这主要是因为对数形式可以减少异方差和自相关的程度。
27,案例9.4居民储蓄模型估计,1、问题的提出2、初步模型估计3、异方差检验4、异方差模型的估计加权LS法和模型变换法,28,1、问题的提出,储蓄是居民的金融消费,也是满足相应收入水平的“基本生活”以后的扩展消费,从具体问题的经验分析,储蓄具有异方差特性。
因此建立储蓄模型就不能使用最小二乘法。
29,2、初步模型估计,首先,估计居民储蓄与可支配收入之间的回归模型,30,残差与收入x的散点图,31,3、异方差检验,图示法检验:
残差平方与自变量呈比较典型的喇叭型,32,33,4、异方差模型的估计,加权最小二乘法在分析收入对储蓄的影响的时候,权数变量可以选取hi=inci于是基本模型savi=a0+a1inci+ei变为,34,Proce=Equation=Option=选定异方差、给出权数名=OK,35,加权最小二乘法估计结果,36,加权最小二乘法残差与X的散点图,37,WLS处理后的残差图,例9.5工资回归,收集了523个工人的若干变量数据,在这里只考虑工资与教育和经验的关系。
假定其他变量保持不变,考虑如下模型:
Wage=B1+B2edu+B3exper+ui,38,异方差检验,
(1)描绘ei2与工资的关系图,39,异方差检验,
(2)布鲁斯-培根检验(3)戈里瑟检验(4)怀特检验,40,异方差的解决方法,
(1)加权最小二乘法:
考虑edu的-2;-1.5;-1;-0.5;0;0.5;1;1.5;2次幂
(2)纠正异方差的一个可行程序(3)变化模型形式,41,
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