Z变换.ppt
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第10章离散控制系统,10.1Z变换10.2Z逆变换10.3Z变换求差分方程10.4脉冲传递函数10.5有零阶保持器的开环脉冲传递函数10.6闭环脉冲传递函数10.7脉冲系统的稳定性分析,10.1Z变换,10.1.1采样器和保持器,普通的采样器每间隔T秒钟开关闭合一次,使输入信号通过一次,即采样一次。
采样器的功能是将连续信号转换成发生在采样瞬时刻0,T,2T,3T,的一连串脉冲信号,,保持器:
能够将采样信号转换成连续信号,这个连续信号近似地重现采样器上的信号.最简单的零阶保持器,它能将采样信号转变成在两个连续采样瞬时之间保持常量的信号。
图示为理想的单位脉冲序列,采样器可以看成是一个调制器,输入量作为调制信号,而单位脉冲串可以作为载波信号,调制过程可以表示为,在控制系统和工程实际应用中t0时信号都为零即,(t0),因此,10.1.2根据定义求Z变换,z变换的定义,进行Laplace变换,令,并将X*(s)改写成X(z),则,称X(z)为,的z变换,,并以,表示,的z变换,因为在z变换中只考虑瞬时的信号,所以x(t)的z变换与x*(t)的z变换结果相同,即,求Z变换的一般步骤为,1)先求采样信号的Laplace变换,即,2)将代入得Zx(t)。
例1.试求单位阶跃函数的z变换。
解:
例2.求函数,的z变换.,解:
查z变换表,,的z变换为,的z变换为,10.1.3留数定理求Z变换,10.1.4Z变换的性质,1.线性定理,设,则,设函数x(t)的z变换为X(z),并有极限,存在,则,2.初值定理,3.终值定理,4.实数位移定理,设x(t)的Z变换为X(z),则,滞后定理,超前定理,5.复数位移定理,设x(t)的Z变换为X(z),则,10.2Z逆变换,z逆变换记,显然,z逆变换求出的是采样信号x*(t),而不是连续信号x(t).,确定离散控制系统时间响应要进行Z逆变换,10.2.1逆变换公式,已知Z变换为X(z),则可以证明在t=kT瞬时的采样函数值x(kT),可以用下式来确定。
等号右边的积分可按留数定理来确定,其中S表示包围,全部极点的封闭曲线,即,极点处的留数,X(z)一般可以表示为两个有理多项式之比,对X(z)直接做长除法,用分母去除分子,并将商按z-1的幂次排列,上式的z反变换为,Cn(n=0,1,2.)即为x(t)在采样时刻t=nT时的值x(nT).,10.2.2幂级数法求Z逆变换,例10-18求,的逆变换。
解,利用综合除法得,将z变换函数X(z)展开成部分分式之和,然后查z变换表,求相应的x*(t)。
考虑到z变换表中,X(z)在其分子上普遍有因子z,所以应将X(z)/z展开成部分分式,然后将所得结果的每一项都乘以z,即得X(z)的部分分式。
10.2.3部分分式展开法,例求,的逆变换。
解先将X(z)/z展开成部分分式,所以,故,查z变换表,10.3Z变换求差分方程,对于一个控制系统的差分方程,首先利用Z变换,将差分方程变换为以z为自变量,X(z)为因变量的代数方程,解出X(z)后再进行Z逆变换,即可得到x(k)的值。
例10-22求下列差分方程的解,式中,解,时代入方程得,对差分方程进行Z变换,并考虑初始条件得,故,又,注意x(0)=0,故,10.4脉冲传递函数,1.脉冲传递函数的定义与求解,离散控制系统的瞬态过程,其通用差分方程为,两端取Z变换得,故离散控制系统的传递函数为,称为脉冲传递函数。
脉冲传递函数的求法如下,1.求出系统的传递函数G(s);,2.求出脉冲响应函数,3.计算,或求出系统传递函数G(s)后,将G(s)展开成部分分式之和,查Laplace变换与Z变换对应表,即可得到系统的脉冲传递函数。
例已知某系统的传递函数为,求系统的脉冲传递函数。
解:
将G(s)展开成部分分式之和得,查表得,2.串联开环系统的脉冲传递函数,a.串联环节之间有理想开关,分别为线性环节,的脉冲传递函数,,和,所以串联环节的脉冲传递函数为,被理想开关隔断的两个串联环节的开环系统,其脉冲传递函数等于两个串联环节各自的脉冲传递函数的乘积。
这个结论可以推广到有n个理想开关隔开的n个环节串联的开环系统,这时,整个系统的开环脉冲传递函数等于每个环节的脉冲传递函数的乘积,即,b.串联环节之间没有理想开关,设,则开环脉冲传递函数为,表示,先乘积后进行z变换。
两个线性环节相串联的开环系统,且环节之间无理想开关隔开时,开环系统的脉冲传递函数等于两个环节传递函数先乘积后再进行Z变换。
显然,当有n个环节相串联,且环节之间无理想开关隔开时,此时系统开环脉冲传递函数等于n个环节传递函数先乘积后再进行Z变换,即,通常,即对于所有类似的系统,只要理想开关的位置不同,则它们的脉冲传递函数就不同。
10.5有零阶保持器的开环脉冲传递函数,有零阶保持器传递函数为:
Ga(s)为系统其它连续部分的传递函数,因为系统输出响应x0*(t)中包含两个分量:
一个是输入采样信号xi*(t)经过G2(s)所产生的响应x01*(t),,它所对应的z变换,另一个是输入采样信号xi*(t)经过e-TsG2(s)所产生的响应x02*(t),,由于e-Ts是延迟一个采样周期的延迟环节,因此x02*(t)比x01*(t)延迟一个采样周期,,根据z变换的实数位移定理,x02*(t)的z变换为,所以,有零阶保持器的脉冲传递函数为,例求图示的某离散控制系统的脉冲传递函数。
解由图可得,查表得,有零阶保持器的开环脉冲传递函数,10.6闭环系统的脉冲传递函数,1)求图示的闭环系统的脉冲传递函数。
闭环脉冲传递函数,2)求图示的闭环系统的脉冲传递函数,解不出,但可求出输出响应式。
例求如图所示的闭环系统的单位阶跃响应。
解根据表10-2可得图示的闭环系统输出响应的z变换为,又因,因此可得,因为输入为单位阶跃响应,由此可得,xo(k)与k的离散点,10.7脉冲系统的稳定性分析,首先研究Z平面与s平面的映射关系,根据Z变换的定义,在s平面上,当,则对应在s左半平面,系统稳定,映射到Z平面上,对应在Z平面的单位圆内,脉冲系统稳定;,当,则对应在s右半平面,系统不稳定,,映射到Z平面上,对应在Z平面的单位圆外,脉冲系统不稳定;,当,则对应在s平面的虚轴上,系统临界稳定,,映射到Z平面上,对应在Z平面的单位圆上,脉冲系统临界稳定。
稳定性分析,首先假设系统的闭环脉冲传递函数为,欲使系统稳定,则由特征方程,的根来确定。
如果系统稳定,则特征方程式的根全部落在单位圆内,即,如果系统不稳定,则特征根至少有一个根落在单位圆外。
如果系统临界稳定,则特征根至少有一个或多个根落在单位圆上,其余的根全部落在单位圆内,判别Z的多项式的根是否在单位圆内,用Routh稳定性判据方法确定。
Routh判据应用在Z平面上借助于下列w变换,即,将此变换代入特征方程,得到自变量w的特征多项式,再根据Routh判据规则,确定系统的稳定性。
例10-29确定如图10-14所示的系统的稳定性。
解因为,特征方程为,应用变换,根据Routh判据规则,只要求,即可满足稳定性条件,所以,
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