离散傅里叶变换DFT.ppt
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第三章离散傅里叶变换(DFT),傅立叶级数(DFS)傅立叶变换(DFT)DFT应用DFT存在的问题,FSFTDFSDTFT:
FS:
傅立叶级数展开,用于分析连续周期信号,时域上任意连续的周期信号可以分解为无限多个正弦信号之和,在频域上就表示为离散非周期的信号,即时域连续周期对应频域离散非周期的特点。
FT:
傅立叶变换,用于分析连续非周期信号,由于信号是非周期的,它必包含了各种频率的信号,所以具有时域连续非周期对应频域连续非周期的特点。
DTFT:
离散时间傅立叶变换,它用于离散非周期序列分析,由于信号是非周期序列,它必包含了各种频率的信号,所以对离散非周期信号变换后的频谱为连续的,即有时域离散非周期对应频域连续周期的特点。
DFS:
离散时间傅立叶级数,离散周期序列信号,取主值序列,得出每个主值在各频率上的频谱分量,这样就表示出了周期序列的频谱特性。
DFT的提出:
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义,相对于DTFT,它更便于用计算机处理。
但是,直至上个世纪六十年代,由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大,离散傅里叶变换长期得不到真正的应用,快速离散傅里叶变换算法的提出,才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能,并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。
近年来,计算机的处理速率有了惊人的发展,同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法,但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。
0、离散时间傅立叶变换,“DTFT”是“DiscreteTimeFourierTransformation”的缩写。
传统的傅立叶变换(FT)一般只能用来分析连续时间信号的频谱,而计算机只会处理离散的数字编码消息,所以应用中需要对大量的离散时间序列信号进行傅立叶分析。
DTFT就是对离散非周期时间信号进行频谱分析的数学工具之一。
其中为数字角频率,单位为弧度。
注意:
非周期序列,包含了各种频率的信号。
当离散的信号为周期序列时,严格的讲,离散时间傅里叶变换是不存在的,因为它不满足信号序列绝对级数和收敛(绝对可和)这一傅里叶变换的充要条件,但是采用DFS(离散傅里叶级数)这一分析工具仍然可以对其进行傅里叶分析。
局限性:
离散时间傅里叶变换(DTFT)是特殊的Z变换,在数学和信号分析中具有重要的理论意义。
但在用计算机实现运算方面比较困难。
这是因为,在DTFT的变换对中,离散时间序列在时间n上是离散的,但其频谱在数字角频率上却是连续的周期函数。
而计算机只能处理变量离散的数字信号。
所以,如果要想利用计算机实现DTFT的运算,必须建立时域离散和频域离散的对应关系。
1、傅里叶级数,是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对,这种对称关系可表为:
习惯上:
记,是周期序列离散傅立叶级数第k次谐波分量的系数,也称为周期序列的频谱。
可将周期为N的序列分解成N个离散的谐波分量的加权和,各谐波的频率为,幅度为,DFS变换对公式表明,一个周期序列虽然是无穷长序列,但是只要知道它一个周期的内容(一个周期内信号的变化情况),其它的内容也就都知道了,所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的,因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。
则DFS变换对可写为,DFS离散傅里叶级数变换IDFS离散傅里叶级数反变换。
与连续周期信号的傅立叶级数相比较,周期序列的离散傅立叶级数的特点:
(1)连续性周期信号的傅立叶级数对应的谐波分量的系数有无穷多。
而周期为N的周期序列,其离散傅立叶级数谐波分量只有N个是独立的。
(2)周期序列的频谱也是一个以N为周期的周期序列。
例:
一个周期矩形序列的脉冲宽度占整个周期的1/4,一个周期的采样点数为16点,显示3个周期的信号序列波形,并要求:
(1)用傅立叶级数求信号的幅度频谱和相位频谱。
(2)求傅立叶级数逆变换的图形,与原信号图形进行对比。
clear;N=16;xn=ones(1,N/4),zeros(1,3*N/4);xn=xn,xn,xn;n=0:
3*N-1;k=0:
3*N-1;Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).(n*k);%DFS变换x=(Xk*exp(j*2*pi/N).(n*k)/N;%IDFS变换subplot(2,2,1),stem(n,xn);title(x(n);axis(-1,3*N,1.1*min(xn),1.1*max(xn);subplot(2,2,2),stem(n,abs(x);%显示IDFS结果title(IDFS|X(k)|);axis(-1,3*N,1.1*min(x),1.1*max(x);subplot(2,2,3);stem(k,abs(Xk);%序列幅度谱title(|X(k)|);axis(-1,3*N,1.1*min(abs(Xk),1.1*max(abs(Xk);subplot(2,2,4);stem(k,angle(Xk);%序列相位谱title(arg|X(k)|);axis(-1,3*N,1.1*min(angle(Xk),1.1*max(angle(Xk);,比较可知,逆变换的图形比原信号的图形幅度扩大很多,主要因为周期序列长度为单周期序列的3倍,做逆变换时未做处理。
可将IDFS改成:
x=(Xk*exp(j*2*pi/N).(n*k)/(3*3*N);,序列周期重复次数对序列频谱的影响:
理论上,周期序列不满足绝对可积条件,因此不能用傅立叶级数来表示。
要对周期序列进行分析,可以先取K个周期处理,然后再让K趋于无穷大,研究其极限情况。
基于该思想,可以观察到序列信号由非周期到周期变化时,频谱由连续谱逐渐向离散谱过渡的过程。
例:
一个矩形序列的脉冲宽度占整个周期的1/2,一个周期的采样点数为10点,要求用傅立叶级数求信号的幅度频谱。
重复周期数分别为:
1,4,7,10.,clear;xn=ones(1,5),zeros(1,5);Nx=length(xn);%单周期序列长度Nw=1000;dw=2*pi/Nw;%把2*pi分为Nw份频率分辨率为dwk=floor(-Nw/2+0.5):
(Nw/2+0.5);%建立关于纵轴对称的频率相量forr=0:
3;K=3*r+1;%1,4,7,10nx=0:
(K*Nx-1);%周期延拓后的时间向量x=xn(mod(nx,Nx)+1);%周期延拓后的时间信号xXk=x*(exp(-j*dw*nx*k)/K;%DFSsubplot(4,2,2*r+1),stem(nx,x);axis(0,K*Nx-1,0,1.1);ylabel(x(n);subplot(4,2,2*r+2),plot(k*dw,abs(Xk);axis(-4,4,0,1.1*max(abs(Xk);ylabel(X(k);end,结论:
序列的周期数越多,频谱越是向几个频点集中,当序列信号的周期数N为无穷大时,频谱转化为离散谱。
DFS的局限性:
在离散傅里叶级数(DFS)中,离散时间周期序列在时间n上是离散的,在频率上也是离散的,且频谱是的周期函数,理论上解决了时域离散和频域离散的对应关系问题。
但由于其在时域和频域都是周期序列,所以都是无限长序列。
无限长序列在计算机运算上仍然是无法实现的。
因此,还有必要对有限长序列研究其时域离散和频域离散的对应关系。
我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义,因此它的许多特性可推广到有限长序列上。
一个有限长序列x(n),长为N,为了引用周期序列的概念,假定一个周期序列,它由长度为N的有限长序列x(n)延拓而成,它们的关系:
2、离散傅里叶变换(DFT),1)主值区间与主值序列,对于周期序列,定义其第一个周期n=0N-1,为的“主值区间”,主值区间上的序列为主值序列x(n)。
x(n)与的关系可描述为:
数学表示:
其中:
RN(n)为矩形序列。
符号(n)N是余数运算表达式,表示n对N求余数。
周期序列的主值区间与主值序列:
即nmodN:
x(n)与的图形表示:
例:
是周期为N=4的序列,求n=6和n=-1对N的余数。
因此:
例:
解:
结论:
频域上的主值区间与主值序列:
周期序列的离散付氏级数也是一个周期序列,也可给它定义一个主值区间,以及主值序列X(k)。
数学表示:
周期序列的离散傅里叶级数变换(DFS)公式:
这两个公式的求和都只限于主值区间(0N-1),它们完全适用于主值序列x(n)与X(k),因而我们可得到一个新的定义有限长序列离散傅里叶变换定义。
2)离散傅里叶变换的定义,即有限长序列的DTFT,长度为N的有限长序列x(n),其离散傅里叶变换X(k)仍是一个长度为N的有限长序列,它们的关系为:
x(n)与X(k)是一个有限长序列离散傅里叶变换对,已知x(n)就能唯一地确定X(k),同样已知X(k)也就唯一地确定x(n),实际上x(n)与X(k)都是长度为N的序列(复序列)都有N个独立值,因而具有等量的信息。
有限长序列隐含着周期性。
由于DFT借用了DFS,这样就假设了序列的周期无限性,但在处理时又对区间作出限定(主值区间),以符合有限长的特点,这就使DFT带有了周期性。
另外,DFT只是对一周期内的有限个离散频率的表示,所以它在频率上是离散的,就相当于DTFT变换成连续频谱后再对其采样,此时采样频率等于序列延拓后的周期N,即主值序列的个数。
DFT的矩阵方程表示:
有限长序列的离散傅立叶变换(DFT)的意义:
DFT与Z变换的关系:
长度为N的序列其Z变换:
与离散傅立叶变换(DFT)相比较有:
可见序列的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上N点的等间隔采样。
显然,对于同一序列,当频率采样点数不同时,其DFT的值也不同。
例:
已知,分别求和时的。
解:
由该例可知:
频率采样点数不同,DFT的长度不同,DFT的结果也不同。
3)DFT性质:
以下讨论DFT的一些主要特性,这些特性都与周期序列的DFS有关。
假定x1(n)与x2(n)是长度为N的有限长序列,其各自的离散傅里叶变换分别为:
X1(k)=DFTx1(n)X2(k)=DFTx2(n)
(1)线性DFTax1(n)+bx2(n)=aX1(k)+bX2(k),a,b为任意常数注意:
如果两序列的长度各不相同,x1(n)为N1点,x2(n)为N2点,则ax1(n)+bx2(n)的长度为N3=max(N1,N2)点,其DFT也应为N3点。
如果N1N2,则X1(k)应为x1(n)增补N2-N1个零值后的DFT。
循环移位的图形解释:
有限长N点序列x(n)的循环移位定义为:
含义:
1)x(n+m)N表示x(n)的周期延拓序列的移位:
2)x(n+m)NRN(n)表示对移位的周期序列x(n+m)N取主值序列,所以f(n)仍然是一个长度为N的有限长序列。
f(n)实际上可看作序列x(n)排列在一个N等分圆周上,并向左旋转m位。
循环移位的实质:
将原序列沿一个方向从一侧移动位,而移出主值区的各序列值又依次从另一侧进入主值区。
f(n),x(n)排列在一个N等分圆周上的图形表示:
从图中可理解循环的概念。
(3)循环卷积(定理),这里只取结果的主值序列,由于卷积过程只在主值区间0mN-1内进行,所以实际上就是x2(m)的圆周移位,称为“循环卷积”,习惯上常用符号“”表示循环卷积,以区别于线性卷积。
说明:
与一般线性卷积不同,两个长度都为N点的序列的循环卷积的长度仍为N点,即周期为N,因此又称为圆卷积,前式又可写为:
x(n)=x1(n)x2(n),循环卷积过程:
1)由有限长序列x1(n)、x2(n)构造周期序列,2)计算周期卷积,3)卷积结果取主值序列,循环卷积可以看作是周期性卷积,取主值区间的序列值。
每个周期内均作卷积,具体步骤:
循环卷积的图形解释:
循环卷积的矩阵表达:
例:
令x1(n)=1,2,2,x2(n)=1,2,3,4,试计算4点的循环卷积x1(n)x2(n)。
先将x1(n)补零,使之成为4点序列。
x1(m)=1,2,2,0,a.时域解法,x1(n)x2(n)=,当n=0,解:
当n=1,当n=2,当n=3,所以,,x1(n)x2(n)=15,12,9,14,b.频域解法x1(n)的4点DFT:
X1(k)=5,-1-2j,1,-1+2jx2(n)的4点DFT:
X2(k)=10,-2+2j,-2,-2-2jX1(k)X2(k)=50,6+2j,-2,6-2jIDFTX1(k)X2(k)=x1(n)x2(n)=15,12,9,14,(4)循环相关定理,设和是两个具有相同长度N的有限长实序列,定义以下序列为和的循环互相关序列:
(5)Parseval定理,(6)频域循环卷积定理,*,实际问题的大多数是求解线性卷积,如信号x(n)通过系统h(n),其输出就是线性卷积y(n)=x(n)*h(n)。
而循环卷积比起线性卷积,在运算速度上有很大的优越性,它可以采用快速傅里叶变换(FFT)技术,若能利用循环卷积求线性卷积,会带来很大的方便。
问题:
上述x(n)与h(n)的线性卷积,如果x(n)、h(n)为有限长序列,则在什么条件下能用循环卷积代替线性卷积而不产生失真。
(1)有限长序列的线性卷积与循环卷积(循环卷积的应用),4)DFT的应用,
(2)用DFT计算线性卷积,例:
*,=,解:
因为M=3,L=3,所以M+L-1=5,即N=5,n,4,,,混叠点数为前(M+L-1)-N),N为循环卷积点数,(M+L-1)为线性卷积长度。
圆周卷积等于线性卷积而不产生混淆的必要条件是:
NM+L-1,(3)无限长序列的线性卷积,叠接相加法原理:
说明:
由于线性卷积的特点是将一个序列(如h(n))翻转后,沿坐标轴从左边移入x(n),在右边移出x(n),所以在x(n)的前后将有一“过渡过程”,其长度为M-1。
因此,将x(n)分段后,在每一小段的前后都将产生这样的过渡过程,,(4)用DFT对信号进行谱分析,用DFT对连续信号进行谱分析是一种近似分析方法。
对于连续的单一频率周期信号:
为信号的频率,可以得到单一谱线的DFT结果,但这是和作DFT时数据的截取长度选得是否恰当有关,截取长度N选得合理,XN(k)可完全等于Xa(j)的采样。
窗口傅立叶变换对离散时间信号序列加窗截取会造成两个影响:
a)降低了频率分辨率,也称为物理分辨率;b)造成频率的泄漏。
物理频率分辨率,计算分辨率,5)DFT应用中的几个问题,
(1)频率分辨率及DFT参数的选择,
(2)栅栏效应N点DFT是在频率区间0,2上对信号频谱进行N点等间隔采样,得到的是若干个离散的频谱点X(k),且它们限制在基频的整数倍上,这就好像在栅栏的一边通过缝隙看另一边的景象一样,只能在离散点处看到真实的景象,其余部分频谱成分被遮挡,所以称之为栅栏效应。
因此,那些被栅栏挡住的(频谱)部分是看不到的,这就有可能漏掉一些较大频率分量。
当然,在实际问题中,大的频谱分量被挡住的情形还是很少的,栅栏效应并不是一个很严重的问题。
从根本上讲,用离散的DFT谱来近似连续的DTFT谱,误差总是有的,即从理论上,栅栏效应是不可能消除的。
减小栅栏效应方法:
尾部补零,使谱线变密,增加频域采样点数,原来漏掉的某些频谱分量就可能被检测出来。
补零问题:
(即增加DFT的计算式中的N值,同时保持原有数据不改变)填补零值可以改变对DTFT的采样密度,人们常常有一种误解,认为补零可以提高DFT的频率分辨率。
事实上通常规定DFT的频率分辨率为,这里的N是指信号x(n)的有效长度,而不是补零的长度。
不同长度的x(n)其DTFT的结果是不同的;而相同长度的x(n)尽管补零的长度不同其DTFT的结果应是相同的,他们的DFT只是反映了对相同的DTFT采用了不同的采样密度。
补零内插提高的叫计算分析精确度,扩展时间长度提高的是物理精确度,前者只是看着频谱变精确了,却可能忽略掉了一些细节,而后者是实实在在的提高精度。
序列补零带来分析分辨率的提高,但是弥补不了物理分辨率的不足,红色的曲线是矩形窗序列的DTFT和正弦信号的正频率分量在频域卷积后频移的结果,蓝色的对应负频率分量,绿色的曲线是最终有限长正弦序列的DTFT的模值,扩展时间长度提高物理精确度(物理分辨率),(3)频谱泄漏在分析信号频谱的时候,由于受到计算能力的影响,只能处理有限长的信号。
这就必须截取时间函数的一个有限范围,即把观测到的信号限制在一定的时间间隔之内。
换句话说,就是要取出信号的某一个时间段。
这种过程就是截断数据的过程。
这种截断过程相当于对信号进行加窗,即信号乘以窗函数。
根据傅里叶变换的卷积定理,信号加窗后的频谱相当于原信号频谱与窗信号的频谱在频域作卷积。
显然,这种卷积过程将造成信号频谱的失真。
而且,如果信号所乘的是矩形窗函数(通常,简单的截取信号就相当于乘的是矩形窗),失真频谱将产生“拖尾”(频谱延伸扩展)现象原有受限的频谱图形“扩展”开来,这就称之为频谱泄漏。
注意,泄漏并不能与混叠完全分开。
这是因为,频率泄漏会导致频谱扩展,从而使信号的最高频率有可能超过折叠频率fs/2,造成混叠失真。
由于实际应用的需要,对信号进行截断是必须的,所以由此引起的频谱泄漏也显然是无法避免的。
不过,通过改善窗函数的形状,可以达到减少泄漏的目的。
通常的矩形窗在时域有突变,使得频域拖尾严重,收敛很慢。
为了解决这个矛盾,人们已经研究了各种形式的窗函数,例如:
海明(Hamming)窗,汉宁(Hanning)窗,布莱克曼(Blackman)窗,它们都在不同程度上压低了窗函数频谱的旁瓣,减弱了频率泄漏现象。
矩形窗函数的缺点:
矩形窗的特性是非常重要的,因为不管你是否乐意,只要是有限长的序列,就等于先加上了一个矩形窗,那么这个“配送”的窗函数的频谱特性必然永远如影随形般的跟着我们的有限长信号。
矩形窗函数,其频谱有主瓣,也有许多副瓣,窗口越大,主瓣越窄,当窗口趋于无穷大时,就是一个冲击函数。
加窗后的频谱实际是原信号频谱与矩形窗函数频谱的卷积,卷积的结果使频谱延伸到了主瓣以外,且一直延伸到无穷。
当窗口无穷大时,与冲击函数的卷积才是其本身,这时无畸变,否则就有畸变。
例如,信号为,是一单线谱,但当加窗后,线谱与抽样函数进行卷积,原来在0处的一根谱线变成了以0为中心的,形状为抽样函数的谱线序列,原来在一个周期(s)内只有一个频率上有非零值,而现在一个周期内几乎所有频率上都有非零值,即的频率成份从0处“泄漏”到其它频率处去了。
考虑各采样频率周期间频谱“泄漏”后的互相串漏,卷积后还有频谱混迭现象产生(见图)。
|RN(ejw)|,矩形窗长度的影响(复数模值):
N4点,N8点,N16点,N32点,线性坐标幅度谱,对数坐标幅度谱,N8点,N16点,N32点,N8点,N16点,N32点,汉宁(hanning)窗复数模值,gauss窗复数模值,N8点,N16点,N32点,N8点,N16点,N32点,汉明(hamming)窗复数模值,blackman窗复数模值,因此,减小泄漏的方法,首先是取更长的数据,也就是窗宽加宽,当然数据太长,必然使运算存储量都增加,其次数据不要突然截断,也就是不要加矩形窗,而是要缓慢截断,即加各种缓变的窗。
(4)混迭对连续信号x(t)进行数字处理前,要进行采样采样序列的频谱是连续信号频谱的周期延拓,周期为fs,如采样率过低,不满足采样定理,fs2fh,则导致频谱混迭,使一个周期内的谱对原信号谱产生失真,无法恢复原信号,进一步的数字处理失去依据。
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