目标规划模型.ppt
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目标规划模型.ppt
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目标规划模型,线性规划与目标规划,线性规划通常考虑一个目标函数(问题简单),目标规划考虑多个目标函数(问题复杂),线性规划,目标规划,某企业生产甲、乙两种产品,需要用到A,B,C三种设备,关于产品的盈利与使用设备的工时及限制如下表所示。
例11生产安排问题,问该企业应如何安排生产,使得在计划期内总利润最大?
该例11是一个线性规划问题,直接考虑它的线性规划模型,设甲、乙产品的产量分别为x1,x2,建立线性规划模型:
用Lingo软件求解,得到最优解,在上例11中,企业的经营目标不仅要考虑利润,还需要考虑多个方面,因此增加下列因素(目标):
力求使利润指标不低于1500元,考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:
2,设备A为贵重设备,严格禁止超时使用,设备C可以适当加班,但要控制;设备B既要求充分利用,又尽可能不加班,在重要性上,设备B是设备C的3倍,从上述问题可以看出,仅用线性规划方法是不够的,需要借助于目标规划的方法进行建模求解,某汽车销售公司委托一个广告公司在电视上为其做广告,汽车销售公司提出三个目标:
例12汽车广告费问题,广告公司必须决定购买两种类型的电视广告展播各多少分钟?
第一个目标,至少有40万高收入的男性公民(记为HIM)看到这个广告,第二个目标,至少有60万一般收入的公民(记为LIP)看到这个广告,第三个目标,至少有35万高收入的女性公民(记为HIW)看到这个广告,广告公司可以从电视台购买两种类型的广告展播:
足球赛中插播广告和电视系列剧插播广告。
广告公司最多花费60万元的电视广告费。
每一类广告展播每一分钟的花费及潜在的观众人数如下表所示,对于例12考虑建立线性规划模型,设x1,x2分别是足球赛和电视系列剧中插播的分钟数,按照要求,可以列出相应的线性规划模型,用Lingo软件求解,会发现该问题不可行。
线性规划建模局限性,线性规划要求所有求解的问题必须满足全部的约束,而实际问题中并非所有约束都需要严格的满足;,线性规划只能处理单目标的优化问题,而对一些次目标只能转化为约束处理。
但在实际问题中,目标和约束好似可以相互转化的,处理时不一定要严格区分;,线性规划在处理问题时,将各个约束(也可看作目标)的地位看成同等重要,而在实际问题中,各个目标的重要性即有层次上的差别,也有在同一层次上不同权重的差别,线性规划寻求最优解,而许多实际问题只需要找到满意解就可以了。
目标规划的数学模型,为了克服线性规划的局限性,目标规划采用如下手段:
1.设置偏差变量;2.统一处理目标与约束;3.目标的优先级与权系数。
目标规划的基本概念,1.设置偏差变量,用偏差变量(Deviationalvariables)来表示实际值与目标值之间的差异,令-超出目标的差值,称为正偏差变量-未达到目标的差值,称为负偏差变量其中与至少有一个为0,约定如下:
当实际值超过目标值时,有当实际值未达到目标值时,有当实际值与目标值一致时,有,2.统一处理目标与约束,在目标规划中,约束可分两类,一类是对资源有严格限制的,称为刚性约束(HardConstraint);例如在用目标规划求解例11中设备A禁止超时使用,则有刚性约束,另一类是可以不严格限制的,连同原线性规划的目标,构成柔性约束(SoftConstraint).例如在求解例11中,我们希望利润不低于1500元,则目标可表示为,求解例11中甲、乙两种产品的产量尽量保持1:
2的比例,则目标可表示为,设备C可以适当加班,但要控制,则目标可表示为,设备B既要求充分利用,又尽可能不加班,则目标可表示为,从上面的分析可以看到:
如果希望不等式保持大于等于,则极小化负偏差;如果希望不等式保持小于等于,则极小化正偏差;如果希望保持等式,则同时极小化正、负偏差,3.目标的优先级与权系数,在目标规划模型中,目标的优先分为两个层次,第一个层次是目标分成不同的优先级,在计算目标规划时,必须先优化高优先级的目标,然后再优化低优先级的目标。
通常以P1,P2,.表示不同的因子,并规定PkPk+1,第二个层次是目标处于同一优先级,但两个目标的权重不一样,因此两目标同时优化,用权系数的大小来表示目标重要性的差别。
解在例11中设备A是刚性约束,其于是柔性约束首先,最重要的指标是企业的利润,将它的优先级列为第一级;其次,甲、乙两种产品的产量保持1:
2的比例,列为第二级;再次,设备B和C的工作时间要有所控制,列为第三级,设备B的重要性是设备C的三倍,因此它们的权重不一样。
由此可以得到相应的目标规划模型。
用目标规划方法求解例11,目标规划的一般模型,求解目标规划的序贯式算法,根据优先级的先后次序,将目标规划问题分解成一系列的单目标规划问题对于k=1,2,q,求解单目标问题,求解例11的LINGO程序,程序运行说明,分三次求解:
在做第一级目标计算时,P
(1),P
(2)和P(3)分别输入1,0和0,Goal
(1)和Goal
(2)输入两个较大的数,表示这两项约束不起作用;在做第二级目标计算时,P
(1),P
(2)和P(3)分别输入0,1和0,由于第一级的偏差为0,因此Goal
(1)为0,Goal
(2)输入一个较大的数;在做第三级计算时,P
(1),P
(2)和P(3)分别输入0,0和1,由于第一级、第二级的偏差为0,因此Goal
(1)和Goal
(2)的输入值也为0。
Model:
sets:
Level/1.3/:
P,z,Goal;Variable/1.2/:
x;H_Con_Num/1.1/:
b;S_Con_Num/1.4/:
g,dplus,dminus;H_Cons(H_Con_Num,Variable):
A;S_Cons(S_Con_Num,Variable):
C;Obj(Level,S_Con_Num):
Wplus,Wminus;endsetsdata:
P=?
;Goal=?
0;b=12;g=150001615;A=22;C=2003002-14005;Wplus=000001000031;Wminus=100001000030;enddata,min=sum(Level:
P*z);for(Level(i):
z(i)=sum(S_Con_Num(j):
Wplus(i,j)*dplus(j)+sum(S_Con_Num(j):
Wminus(i,j)*dminus(j);for(H_Con_Num(i):
sum(Variable(j):
A(i,j)*x(j)=b(i);for(S_Con_Num(i):
sum(Variable(j):
C(i,j)*x(j)+dminus(i)-dplus(i)=g(i););for(Level(i)|i#lt#size(Level):
bnd(0,z(i),Goal(i););end,#lt#表示小于,bnd是限制范围的,bnd(0,z(i),Goal(i)将z(i)限制在0和Goal(i)之间,求出的目标函数的最优值为29,即第三级偏差为29,分析结果,x1为2,x2为4,DPLUS1为100,因此目标规划的最优解为x*=(2,4),最优利润为1600.,某音像商店有5名全职售货员和4名兼职售货员。
全职售货员每月工作320小时,兼职售货员每月工作800小时。
根据过去的工作记录,全职售货员每小时销售CD25张,平均每小时工资15元,加班工资每小时22.5元。
兼职售货员每小时销售CD10张,平均每小时工资10元,加班工资每小时10元。
现在预测下月CD销售量为27500张,商店每周开门营业6天,所以可能要加班。
另每出售一张CD盈利1.5元。
例13工作安排问题,该商店经理认为,保持稳定的就业水平加上必要的加班,比不加班但就业水平不稳定要好。
但全职售货员如果加班过多,就会因疲劳过度而造成效率下降,因此不允许每月加班超过100小时。
建立相应的目标规划模型,并运用LINGO软件进行求解。
解首先建立目标约束的优先级。
P1:
下月的CD销售量达到27500张;P2:
限制全职售货员加班时间不超过100小时;P3:
保持全体售货员充分就业,因为充分工作是良好劳资关系的重要因素,但对全职售货员要比兼职售货员加倍优先考虑;P4:
尽量减少加班时间,但对两种售货员区别对待,优先权因子由他们对利润的贡献而定。
第二,建立目标约束。
(1)销售目标约束。
设x1:
全体全职售货员下月的工作时间;x2:
全体兼职售货员下月的工作时间;:
达不到销售目标的偏差;:
超过销售目标的偏差。
希望下月的销售量超过27500张CD片,因此销售目标为,
(2)正常工作时间约束,设:
全体全职售货员下月的停工时间;:
全体全职售货员下月的加班时间;:
全体兼职售货员下月的停工时间;:
全体兼职售货员下月的加班时间。
由于希望保持全体售货员充分就业,同时加倍优先考虑全职售货员,因此工作目标约束为,(3)加班时间约束,设:
全体全职售货员下月加班不足100小时的偏差;:
全体全职售货员下月加班超过100小时的偏差。
限制全职售货员加班时间不超过100小时,将加班约束看成正常上班约束,不同的是右端加上100小时,因此加班目标约束为,另外,全职售货员加班1小时,商店得到的利润为15元(25*1.5-22.5=15),兼职售货员加班1小时,商店得到的利润为5元(10*1.5-10=5),因此加班1小时全职售货员获得的利润是兼职售货员的3倍,故权因子之比为,所以,另一个加班目标约束为:
第三,按目标的优先级,写出相应的目标规划模型:
程序运行说明,分四次求解:
在做第一级目标计算时,P
(1),P
(2),P(3)和P(4)分别输入1,0,0和0,Goal
(1),Goal
(2)和Goal(3)输入两个较大的数,表示这两项约束不起作用;在做第二级目标计算时,P
(1),P
(2),P(3)和P(4)分别输入0,1,0和0,由于第一级的偏差为0,因此Goal
(1)为0,Goal
(2)和Goal(3)输入一个较大的数;在做第三级计算时,P
(1),P
(2),P(3)和P(4)分别输入0,0,1和0,由于第一级,第二级的偏差为0,因此Goal
(1)和Goal
(2)的输入值也为0,Goal(3)输入一个较大的数;在做第四级计算时,P
(1),P
(2),P(3)和P(4)分别输入0,0,0和1,由于第一级,第二级和第三级的偏差为0,因此Goal
(1),Goal
(2)和Goal(3)输入值也为0;全职售货员总工作时间为900小时(加班100小时),兼职售货员总工作时间500小时(加班180小时),下月共销售CD27500张,商店共获得利润27500*1.5-800*15-100*22.5-500*10=22000(元),sets:
Level/1.4/:
P,z,Goal;Variable/1.2/:
x;S_Con_Num/1.4/:
g,dplus,dminus;S_Cons(S_Con_Num,Variable):
C;Obj(Level,S_Con_Num):
Wplus,Wminus;endsetsdata:
P=?
;Goal=?
?
?
0;g=27500800320900;C=2510100110;Wplus=0000000100000130;Wminus=1000000002100000;enddata,min=sum(Level:
P*z);for(Level(i):
z(i)=sum(S_Con_Num(j):
Wplus(i,j)*dplus(j)+sum(S_Con_Num(j):
Wminus(i,j)*dminus(j);for(S_Con_Num(i):
sum(Variable(j):
C(i,j)*x(j)+dminus(i)-dplus(i)=g(i););for(Level(i)|i#lt#size(Level):
bnd(0,z(i),Goal(i););,某计算机公司生产三种型号的笔记本电脑A,B,C。
这三种笔记本电脑需要在复杂的装配线上生产,生产1台A,B,C型号的笔记本电脑分别需要5,8,12小时。
公司装配线正常的生产时间是每月1700小时。
公司营业部门估计A,B,C三种笔记本电脑的利润分别是每台1000,1440,2520元,而公司预测这个月生产的笔记本电脑能够全部售出。
练习9电脑的生产计划,公司经理考虑以下目标:
第一目标:
充分利用正常的生产能力,避免开工不足;第二目标:
优先满足老客户的需求,A,B,C三种型号的电脑50,50,80台,同时根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子;第三目标:
限制装配线加班时间,不允许超过200小时;第四目标:
满足各种型号电脑的销售目标,A,B,C型号分别为100,120,100台,再根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子;第五目标:
装配线的加班时间尽可能少。
请列出相应的目标规划模型,并用LINGO软件求解。
解建立目标约束。
(1)装配线正常生产设生产A,B,C型号的电脑为x1,x2,x3台,装配线正常生产时间未利用数,装配线加班时间,希望装配线正常生产,避免开工不足,因此装配线约束目标为,
(2)销售目标(接上)再考虑一般销售,类似上面的讨论,得到,(3)加班限制首先是限制装配线加班时间,不允许超过200小时,因此得到,其次装配线的加班时间尽可能少,即,目标规划模型,练习10生产运输问题,已知三个工厂生产的产品供应给四个用户,各工厂生产量、用户需求量及从各工厂到用户的单位产品的运输费用如表所示。
由于总生产量小于总需求量,上级部门经研究后,制定了调配方案的8项指标,并规定重要性的次序是:
第一目标:
用户4为重要部门,需求量必须全部满足;第二目标:
供应用户1的产品中,工厂3的产品不少于100个单位;第三目标:
每个用户的满足率不低于80%;第四目标:
应尽量满足各用户的需求;第五目标:
新方案的总运费不超过原运输问题的调度方案的10%;第六目标:
因道路限制,工厂2到用户4的路线应尽量避免运输任务;第七目标:
用户1和用户3的满足率应尽量保持平衡;第八目标:
力求减少总运费。
请列出相应的目标规划模型,并用LINGO软件求解。
解求解原运输问题。
由于总生产量小于总需求量,虚设工厂4,生产量为100个单位,到各个用户间的运输单价为0,用LINGO软件求解,得到总运费是2950元,运输方案如表所示.,从上表可以看出,上述方案中,第一个目标就不满足,用户4的需求量得不到满足。
下面按照目标的重要性的等级列出目标规划的约束和目标函数。
设xij为工厂i调配给用户j的运量.,
(1)供应约束应严格满足,即,
(2)供应用户1的产品中,工厂3的产品不少于100个单位,即,(3)需求约束.各用户的满足率不低于80%,即,需求应尽量满足各用户的需求,即,新方案的总运费不超过原运方案的10%(原运输方案的运费为2950元),即,(5)工厂2到用户4的路线应尽量避免运输任务,即,(6)用户1和用户3的满足率应尽量保持平衡,即,(7)力求总运费最少,即,写出相应的目标函数为,经8次计算,得到最终的计算结果,见下表所示。
总运费为3360元,高于原运费410元,超过原方案10%的上限115元。
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