数理经济学.ppt
- 文档编号:18719397
- 上传时间:2023-10-18
- 格式:PPT
- 页数:38
- 大小:1.11MB
数理经济学.ppt
《数理经济学.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数理经济学.ppt(38页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
第四篇最优化问题,第9章最优化:
一类特殊的均衡分析最优值与极值相对极大值和极小值:
一阶导数检验二阶及高阶导数二阶导数检验麦克劳林级数与泰勒级数一元函数相对极值的n阶导数检验,第9章最优化:
一类特殊的均衡分析,目标均衡将是我们研究的主要内容所谓目标均衡是指给定经济单位,如居民户,厂商或整个经济等的最优状态,而且这些经济单位主动谋求均衡的实现最优化的古典方法:
微积分法现代的方法:
数学规划,最优值与极值,最优化问题的实质:
从众多方式中选择最适宜的方式经济学基本上是关于选择的科学,要实现一个特定的经济目标,如要实现一个特定水平的产出,通常有许多可供选择的方式,但在诸多选择中,按照某一标准,会有一种方式会比其他方式更好经济学中最常见的选择标准是最大化目标或最小化目标,它们都归为最优化问题,表示“寻求最优”纯数学角度下,“极值”并无最优化的含义,最优化的实质就是求出那些能够使目标函数达到极值的选择变量的值的集合系统地阐述一个最优化问题,首先要确定目标函数,其中因变量表示最大化或最小化的对象,而自变量则表示这样一组对象,其大小由所涉及的经济单位出于最优化的考虑而进行选择,常被称为“选择变量”某厂商可能寻求利润最大化,即最大化总收益R与总成本C的差.因为在给定技术水平和市场对该厂商产品需求的情况下,R与C均为产出水平Q的函数,所以也可以表示成Q的函数:
(Q)=R(Q)-C(Q).此方程构成目标函数,是最大化目标,Q则是唯一的选择变量,最优化问题就是选择产出水平Q使得最大化!
*以下的讨论中,对于一般函数y=f(x),都假定函数f连续可导.,相对极大值和极小值:
一阶导数检验,相对极值与绝对极值此后我们所讨论的极值都是指相对或局部极值,一阶导数检验给定函数y=f(x),其一阶导数f(x)在寻求极值方面起着重要作用:
若在x=x0处存在极值,则
(1)f(x)不存在;或者
(2)f(x0)=0对于常用假设y=f(x)连续且具有连续偏导数,则排除了类似(a)中的角点.平滑的函数,相对极值仅在一阶导数为0处存在,即斜率为0是极值存在的必要条件(并非充分条件),相对极值的一阶导数检验在一阶导数为0的基础上增加一些附加条件,可得到相对极值检验的重要方法若函数f(x)在x=x0处的一阶导数为0,即f(x0)=0则函数在x0的值f(x0)将是:
上述前两种可能性见前页图中(b),关于第三种可能性,可称其为“拐点”相对极值必为稳定值(f(x)=0),而稳定值或者是相对极值或者是拐点因此,求给定函数的极值时先求稳定值,再用一阶导数检验法确定该稳定值是极值还是拐点,求平均成本函数的相对极值:
AC=f(Q)=Q2-5Q+8导数f(Q)=2Q-5,令其为0,则Q*=2.5应用一阶导数检验:
f(2.4)=-0.20稳定值f(2.5)=1.75是相对极小值,二阶及高阶导数,导数的导数对于我们所研究的一般函数,总假设它有可达到我们所需要的阶数的导数二阶导数的解释一阶导函数f度量函数f的变化率,二阶导函数f度量导函数f的变化率二阶导数与曲线的曲率相联系:
对所有x,f(x)0则原函数必为凸函数.,严格凹函数:
如果在曲线上选择任意两个点M和N并以一条直线将他们连接起来,线段MN完全位于曲线下方严格凸函数:
如果在曲线上选择任意两个点M和N并以一条直线将他们连接起来,线段MN完全位于曲线上方,对于风险的态度事前支付固定数目的货币(游戏成本),扔色子,如果出现奇数则得到回报10美元,如果出现偶数则得到回报20美元.两种结果出现的概率相同,则回报的数学期望为EV=0.5*10+0.5*20=15游戏成本设为15元,上述游戏称为“公平游戏”,但风险的存在是显而易见的.如果潜在的玩家有严格凹的效用函数U,并且U(0)=0,U(x)0,U(x)0,那么,个人所面对的经济决策涉及两种行为的选择:
不参加游戏,节省游戏成本15元,并享受15元的效用;参加游戏,游戏的期望效用就是EU=0.5*10+0.5*20=15下页图非常清楚地表明两种选择下的效用差别,玩家的最终选择明确如果玩家有严格凸的效用函数则选择与上述过程相反两种玩家对待风险的态度与其效用函数的凹凸相联系,二阶导数检验,相对极值的二阶导数检验必要条件与充分条件一阶条件仅是相对极值的必要条件,但非充分条件二阶条件是相对极值存在的充分条件而非必要条件,利润最大化的条件厂商使边际成本等于边际收益,实现利润最大化总收益函数R=R(Q),总成本函数C=C(Q)二者均是单一变量Q的函数,利润函数(即目标函数)为:
=(Q)=R(Q)-C(Q)一阶必要条件:
d=(Q)=R(Q)-C(Q)=0因此最优(均衡)产出必须满足方程R(Q*)=C(Q*),即MR=MC二阶条件:
若上式小于0,则意味着MR的变化率低于MC的变化率,即该产出使得利润最大化,例,三次总成本函数的系数传统的总成本函数的两个“纽动”,形成一个凹弧(递减的边际成本)和一个凸弧(递增的边际成本),三次函数有两次转折所以可以合适地充当这一角色,但应避免向下倾斜的弧段(总成本函数的经济意义要求更大的产出要承担更高的成本,所以成本函数曲线要始终保持向上倾斜),如果我们要运用的成本函数为如下形式,则需要对参数加以适当的限制以防止曲线向下倾斜C=C(Q)=aQ3+bQ2+cQ+dMC函数必须处处为正,即当MC函数的绝对极小值为正的时候可以保证这一点!
MC=C(Q)=3aQ2+2bQ+c,起码须抛物线开口向上,即a0还需要MCmin0MC的极小值出现在满足一阶条件的产出水平是0,那么b3ac,且c0:
d表示固定成本,应大于0,向上倾斜的边际收益曲线在前述的例图中边际收益曲线被表示成处处向下倾斜的曲线,这是在不完全竞争条件下厂商MR曲线的传统画法,我们不能排除MR曲线部分或全部向上倾斜的可能给定平均收益函数AR=f(Q),边际收益为MR=f(Q)+Qf(Q)R=ARQ,MR=RMR曲线的斜率为:
可见,只要AR曲线向下倾斜(不完全竞争的市场中),则2f(Q)0而AR函数的二阶导数符号由AR曲线的凹凸性所决定.如果AR曲线是严格凸的,那么正的Qf(Q)是可以使其与2f(Q)的和大于0的!
例:
平均收益函数意义:
MR曲线上存在正斜率的弧段具有有趣的含义,这样的MR曲线可能会与MC曲线产生不止一个满足利润最大化二阶充分条件的交点.但尽管这些交点构成局部最优,但仅只有一个是厂商追求的全局最优.,麦克劳林级数与泰勒级数,在x0附近展开函数y=f(x)意味着把此函数变换成一个多项式,其中各项系数均以导数来表示,所有导数都在展开点x0处计算其值多项式函数的麦克劳林级数(在x=0处展开)对于多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn的展开,麦克劳林公式如下:
多项式函数的泰勒级数(在任意点x=x0附近展开)对于多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn的展开,泰勒公式如下:
任意函数的展开给定任意函数(x),如果我们知道此函数在x0的值,和各阶导数值,则此函数可在点x0的邻域展开如下:
拉格朗日型的余项若刚好有则泰勒级数被称为在展开点收敛到(x),并可以写成下列收敛无穷级数:
一元函数相对极值的n阶导数检验,泰勒展开式与相对极值相对极值的重新定义:
对于在x0最近邻域内的x值(包括x0左右两边的x值),如果f(x)-f(x0)为负(正),则函数f(x)达到极大(极小)值.运用前述泰勒展开和拉格朗日型余项:
某些特例f(x0)0f(x0)=0,f(x0)0f(x0)=f(x0)=0,f(x0)0,f(x0)=f(x0)=f(N-1)(x0)=0,f(N)(x0)0N阶导数检验,练习,某厂商有如下总成本函数与总需求函数:
此总成本函数是否满足系数限制写出以Q表示的总收益函数R和总利润函数求出利润最大化的产出水平Q*最大利润是多少?
用下列步骤验证前例中的AR曲线具有负的斜率以S表示AR的斜率;写出S的表达式运用二阶导数检验,求S的极大值Smax由Smax的值判断出AR曲线的斜率为负,第10章指数函数与对数函数,指数函数的性质简单的指数函数:
y=f(t)=bt(b1)图形特征:
处处连续且平滑,因此是处处可微的;严格递增的,且速率保持一致,因此一阶和二阶导数为正;函数定义域包含正数和负数,函数值域为正数一般化的指数函数:
y=abct优先选用的底:
e函数et的导数为其自身!
函数麦克劳林级数收敛,且ex可以表示为:
关于e的经济解释复利的一种具体计算过程的结果假设开始时本金(或资本)为1美元,银行给我们100%的年利率(每年1美元的利率),若利息按复利每年计算一次,则年末资产价值为2美元;我们用V
(1)表示,其中括号中的数字表示一年内计算复利次数若每半年计算一次复利,则年末资产为:
极限情形下,当利息在一年内连续按复利计算,有:
复利计算与函数Aert若连续计算复利,多年后1元本金将变为t年末的et元若本金又1元变为A元,则t年后将变为Aet元若名义利率为r,则瞬时增长率r已知函数V=Aert,其任意时点上的增长率为连续增长与离散增长连续增长是真实增长模式的一种近似,能够证明离散或不连续增长问题都可以等价地变换成连续形式,贴现与负增长复利问题是给定现值A,计算未来本利合计V;而贴现问题与之相反:
由已知t年后可利用的总额V求现值A离散情形:
按年利息率i每年计算复利至t年后,本金增至未来值V=A(1+i)t,则连续情形:
V=Aert,则-r是瞬间增长率,也称为缩减率.贴现描述了负增长.,对数函数的性质常用对数,自然对数,对数法则对数函数与指数函数,它们的导数对数函数自然指数函数一般的指数函数与对数函数求导法则:
以b为底的指数函数与对数函数的导数:
最优时间安排,酒的窖藏问题假设酒商拥有特定数量的葡萄酒,可以现在销售得到K元,也可以窖藏某一段时间后得到更高的价格,已知酒的价值V是时间的如下函数:
由于时间点不同,销售时的数额与现在数额不能直接比较,必须利用贴现公式,得到销售时的V的现值为:
最大化问题:
酒商的最大利润问题转变成为求使得A最大的时间t值,最大化条件一阶条件=0经济解释:
因为所以一阶条件实际上表示V的增长率等于复利利息率(可看做现在卖掉酒可收到现金的复利增率,即窖藏的机会成本)二阶条件,伐木问题假定木材的价值是时间的增函数:
类似方法,将V值变换成现值一阶条件:
=0,进一步的应用,求增长率(可以用将函数两边取自然对数再求导)组合函数增长率两函数积的瞬时增长率等于每个函数增长率的和两函数商的瞬时增长率等于被除数与除数增长率之差两时间函数和的增长率是每个函数增长率的加权平均值求点弹性对于函数y=f(x),y对x的点弹性为对于函数y=g(w),w=h(x),有:
练习,若酒的价值按函数增长,那么酒商的储酒时间应为多长才合理?
若人口增长为H=H0
(2)bt,消费函数为C=C0eat,运用自然对数法,求人口增长率,消费增长率,人均消费增长率若货币需求Md是国民收入Y=Y(t)的函数,利息率为i=i(t),证明:
Md的增长率可以表示成rY与ri的加权和,其中权数分别为Md对Y与i的弹性:
rMd=MdYrY+Mdiri,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数理 经济学