安徽自主招生数学模拟题:函数模型及其应用.docx
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2016年安徽自主招生数学模拟题:
函数模型及其应用
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题目1:
用篱笆围成一个面积为196m2的矩形菜园,所用篱笆最短为( )
·A.56m
·B.64m
·C.28m
·D.20m
题目2:
不等式x2+2x+a≥-y2-2y对任意实数x、y都成立,则实数a的取值范围是( )
·A.a≥0
·B.a≥1
·C.a≥2
·D.a≥3
题目3:
有一边长为48cm正方形铁板,现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形,做成一个长方体形的无盖容器,为使其容积最大,截下的小正方形边长为( )
·A.6m
·B.8m
·C.10m
·D.12m
题目4:
某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析,每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系 (如图),则客车有营运利润的时间不超过( )年.
·A.4
·B.5
·C.6
·D.7
题目5:
某池塘中原有一块浮草,浮草蔓延后的面积y(m2)与时间t(月)之间的函数关系是y=at-1(a>0,且a≠1),它的图象如图所示.给出以下命题:
①池塘中原有浮草的面积是0.5m2;
②到第7个月浮草的面积一定能超过60m2
③浮草每月增加的面积都相等;
④若浮草面积达到4m2,16m2,64m2所经过时间分别为t1,t2,t3,则t1+t2<t3,其中所有正确命题的序号是_____
·A.①②
·B.①④
·C.②③
·D.②④
题目6:
汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限(年均消耗费用=年均成本费用+年均维修费),设某种汽车的购车的总费用为50000元;使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为6000元;前x年的总维修费y满足y=ax2+bx,已知第一年的总维修费为1000元,前两年的总维修费为3000元,则这种汽车的最佳使用年限为_____ 年.
题目7:
甲、乙两车同时同地沿同一路线走到同一地点.甲车在前一半的时间以速度x行驶,后一半时间以速度y行驶;乙车前一半路程以速度x行驶,后一半路程以速度y行驶,若x≠y,则甲乙两车先到达指定地点的是_____ (注:
填甲车或乙车).
题目8:
某厂生产甲、乙两种产品,计划产量分别为45个、50个,所用原料为A、B两种规格的金属板,每张面积分别为2m2、3m2,用A种金属板可造甲产品3个,乙产品5个,用B种金属板可造甲、乙产品各6个,则能完成计划产量时总用料面积最少为_____ m2.
题目9:
某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据检测,服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的关系用如图所示曲线表示.据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时,治疗疾病有效,则服药一次治疗该疾病有效的时间为
4
15
16
小时.
题目10:
如图给出了描述某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)关系的散点图.有以下叙述:
①与函数y=t2+1相比,函数y=2t作为近似刻画y与t的函数关系的模型更好;
②按图中数据显现出的趋势,第5个月时,浮萍的面积就会超过30m2;
③按图中数据显现出的趋势,浮萍从2月的4m2蔓延到16m2至少需要经过3个月;
④按图中数据显现出的趋势,浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍,其中正确的说法是_____ .
题目11:
设a为实数,设函数f(x)=a1-x2
√1+x
√1+x
+
√1-x
,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t)
(Ⅱ)求g(a)
(Ⅲ)试求满足
g(a)=g(
1
a
)的所有实数a
题目12:
在△ABC中,已知内角
A=
π
3
,边BC=2
√3
,设内角B=x,面积为y
(1)求函数y=f(x)的解析式
(2)求y的最值.
题目13:
某商场为了促销,采用购物打折的优惠办法:
每位顾客一次购物:
①在1000元以上者按九五折优惠;
②在2000元以上者按九折优惠;
③在5000元以上者按八折优惠.
(1)写出实际付款y(元)与购物原价款x(元)的函数关系式;
(2)用伪代码表示优惠付款的算法.
题目14:
在日常生活中,我们常常会用到弹簧秤,下表为用弹簧秤称物品时弹簧秤的伸长长度与物品质量之间的关系:
弹簧秤的伸长长度(cm)
0
2
4
6
8
10
12
物品质量(kg)
0
1
2
3
4
5
6
如果用y表示弹簧秤的伸长长度,x表示物品质量,则
(1)随x的增大,y的变化趋势是怎样的?
(2)当x=3.5时,y等于多少?
当x=8时呢?
(3)写出x与y之间的关系式.
题目15:
有甲、乙两种产品,生产这两种产品所能获得的利润分别是P和Q万元,它们与投入资金x(万元)的关系为:
P=
3-x2
4
,
Q=
3
4
(3-x).今投入3万元资金生产甲、乙两种产品,为获得最大利润,对生产甲、乙两种产品的资金投入应分别为多少?
最大利润是多少?
答案部分
1、A
解析:
解:
设矩形的一边长为x,则另一边为
196
x
,
则矩形的周长y=2(x+
196
x
)≥4
√196
=56
故所用篱笆最短为56m
故选A
2、C
解析:
解:
原不等式等价于(x+1)2+(y+1)2≥2-a,
要对任意的x、y都成立,则有2-a≤0,
即:
a≥2。
故选C
3、B
解析:
解:
设截去的小正方形的边长是x,则水箱的底边长为48-2x,水箱的高为x,
所以,水箱的容积是f(x)与x的函数关系式是:
f(x)=(48-2x)2•x,且f(x)的定义域为(0,24)
∴f′(x)=(48-2x)2•x=(48-2x)(48-6x),
令f′(x)=0,则x=8,或x=24(舍)
∵函数在(0,8)上单调递增,在(8,24)上单调递减
∴当水箱底面为8m时,水箱的容积最大。
故选B。
4、D
解析:
解:
由图得y=-(x-6)2+11,解y≥0得6-
√11
≤x≤6+
√11
,
∴营运利润时间为2
√11
。
又∵6<2
√11
<7,故选D。
5、A
解析:
根据图象过点(2,2)可知
点(2,2)适合y=at-1即2=a
∴函数关系是y=2t-1
令t=0时,y==0.5,故①正确;
令t=7时,y=26=64>60,故②正确;
当t=1时,y=1,增加0.5,当t=2时,y=2,增加1,每月增加的面积不相等,故③不正确;
分别令y=4、16、64,解得t1=3,t2=5,t3=7,t1+t2>t3,故④不正确。
其中所有正确命题的序号是:
①②
故选A。
6、10
解析:
解:
设这种汽车使用n年报废合算,
由题意可知,每年的平均消耗费用
f(n)=
50000+6000n+(1000+2000++1000n)
n
=
√50000n
•500n+6500=16500
当且仅当
50000
n
=500n,即n=10时,等号成立。
故这种汽车使用10年报废合算。
故答案为:
10
7、甲车
解析:
解:
设两地的路程为1,那么甲车到达指定地点的时间为t甲,则
1
2
t甲x+
1
2
t甲y=1,∴t甲=
2
x+y
;
乙车到达指定地点的时间为t乙,则t乙=
1
2
x+
1
2
y=
1
2x
+
1
2y
=
x+y
2xy
,(x>0,y>0);
∴
t甲
t乙
=
4xy
(x+y)2
4xy
x2+y2+2xy
,∵x2+y2≥2xy(当且仅当x=y时不等式取“=”);
∴
t甲
t乙
≤
4xy
2xy+2xy
=1,由x≠y知t甲<t乙;
故答案为:
甲车。
8、24
解析:
解:
设A、B两种金属板各取x张、y张,用料面积z,则约束条件为
{
3x+6y≥45
5x+6y≥50
x≥0
y≥0
,目标函数z=2x+3y。
作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图所示。
z=2x+3y变为y=-
2
3
x+
z
3
,得斜率为-
2
3
,在y轴上的截距为
z
3
,且随z变化的一组平行线。
当直线z=2x+3y过可行域上的点M时,截距最小,z最小。
解方程组
{
3x+6y=45
5x+6y=50
得M点的坐标为(2.5,6.25),
又由x、y都为正整数,分析可得当x=3、y=6时,z取得最小值。
此时zmin=2×3+3×6=24(m2)。
故答案为:
24。
9、见解析
解析:
解:
由图知
f(t)=
4t0≤t≤1
(12
t-30>t,则f(t)≥0.25。
解之得
1
16
≤t≤5。
故答案为:
4
15
16
。
10、①②④
解析:
解:
①由题意可知:
浮萍蔓延的面积(m2)与时间(月)的关系:
y=ax(a>0且a≠1),且由函数图象可知函数过点(1,2),∴a=2,∴这个指数函数的底数是2正确,故①正确;
∴函数的解析式为:
y=2x,
②当x=5时,y=25=32>30,故第5个月时,浮萍的面积就会超过30m2成立,故②正确;
③由y=2x知,x=2,y=4,x=4,y=16,即需要经过2个月,故③不正确;
④由y=2x知,浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍,
故答案为:
①②④。
11、见解析
解析:
解:
(I)t=
√1+x
+
√1-x
要使有t意义,必须1+x≥0且1-x≥0,即-1≤x≤1,
∴t2=2+21-x2∈[2,4],t≥0①
t的取值范围是[
√2
,2].
由①得1-x2
=
1
2
2-1
∴m(t)=a(
1
2
t2
-1)+t=
1
2
2
√2
2
√2
t=-
1
a
是抛物线
m(t)=
1
2
at2+t-a的对称轴,
分以下几种情况讨论。
(1)当a>0时,函数y=m(t),t∈[
√2
,2]的图象是开口向上的抛物线的一段,
由
t=-
1
a
<0知m(t)在[
√2
,2].上单调递增,
∴g(a)=m
(2)=a+2
(2)当a=0时,m(t)=t,t∈[
√2
,2],
∴g(a)=2。
(3)当a<0时,函数y=m(t),t∈[
√2
,2]的图象是开口向下的抛物线的一段,
若t=-
√2
],即a≤-
√2
2则g(a)=m(
√2
)=
√2
若t=-
√2
,2],即-
√2
2<a≤-
1
2
g(a)=m(-
1
a
)=-a-
1
2a
若
t=-
1
a
∈(2,+∞),即
-
1
2
<a<0则g(a)=m
(2)=a+2
综上有g(a)=
{
a+2 a>-1
2
√2
2<a< -
√2
a≤-
√2
2
(III)情形1:
当a<-2时
1
a
>-
1
2
,
此时g(a)=
√2
,
g(
1
a
)=
1
a
+2
由2+
√2
解得a=-1-
√2
2,与a<-2矛盾。
情形2:
当-2≤a<-
√2
,-
√2
2<
1
a
√2
,
g(
1
a
)=-
1
a
-
a
2
√2
=-
1
a
√2
与a<-
√2
矛盾。
情形3:
当-
√2
≤a≤-
√2
2,-
√2
≤
√2
2时,
此时g(a)=
√2
=g(
1
a
√2
≤a≤-
√2
2,
情形4:
当-
√2
2<a≤-
1
2
√2
,
此时
g(a)=-a-
1
2a
,g(
√2
-a-
√2
,
解得a=-
√2
2,与a>-
√2
2矛盾。
情形5:
当
-
1
2
<a<0时,
1
a
<-2,
此时g(a)=a+2,g(
√2
由a+2=
√2
解得a=
√2
-2,与a>-
1
2
1
a
>0,
此时g(a)=a+2,
g(
1
a
)=
1
a
+2
由
a+2=
1
a
+2解得a=±1,由a>0得a=1。
综上知,满足
g(a)=g(
1
a
)的所有实数a为:
-
√2
≤a≤-
√2
2,或a=1
12、见解析
解析:
解:
(1)∵内角
A=
π
3
,边BC=2
√3
,内角B=x
∴由正弦定理可得
√3
sin
π
3
2π
3
-x)
∴面积y=
1
2
•4sin(
2π
3
-x)•2
√3
sinx=4
√3
(
√3
2cosx+
1
2
√3
sin(2x-
π
6
)+
√3
(2)∵0<x<
2π
3
,∴-
π
6
<2x-
π
6
<
7π
6
∴-
1
2
<sin(2x-
π
6
)≤1
∴0<2
√3
sin(2x-
π
6
)+
√3
≤3
√3
∴2x-
π
6
=
π
2
,即x=
π
3
时,y取得最大值3
√3
。
13、见解析
解析:
解:
(1)设购物原价款数为x元,实际付款为y元,则实际付款方式可用分段函数表示为:
y=
{
x,x<1000
0.95x,1000≤x<2000
0.9x,2000≤x<5000
0.8x,x≥5000
(2)用条件语句表示表示为:
14、见解析
解析:
(1)y也随之增大;
(2)当x=3.5时,y=7;当x=8时,y=16;
(3)由题意,弹簧秤的伸长长度与物品质量之间的关系为y=2x。
15、见解析
解析:
解:
设投入甲产品资金为x万元(0≤x≤3),投入乙产品资金为(3-x)万元,总利润为y万元。
则:
y=P+Q=
1
4
(3-x2
)+
3
4
-
1
4
(x-
3
2
)2
+
21
16
x=
3
2
时,ymax
=
21
16
21
16
万元。
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- 安徽 自主 招生 数学模拟 函数 模型 及其 应用