经济管理基础与财务知识分析讲义.pptx
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1.1集合的定义集合的定义1第第章章集集合合论论与与实实分分析析基基础础经济学,简单的讲,集合是具有某种确定性的事物的全体。
经济学,简单的讲,集合是具有某种确定性的事物的全体。
21.1xy112例例(x,y)|表表示示以以原原点点为为中中心心,半半径径为为的的圆圆周周上上点点的的全全体体。
1.2aaaa例例x|u(x)=表表示示消消费费者者的的效效用用值值为为的的商商品品组组合合2121213(y)=,xR|yAxxaaaau危u危1例例.(x)aa的的全全体体,即即为为一一条条效效用用值值为为的的无无差差别别曲曲线线。
集集合合已已被被广广泛泛应应用用在在现现代代数数学学的的各各个个方方面面,尤尤其其是是应应用用在在1.4Ca,bf(x)|f(x)a,b=例例为为上上的的连连续续函函数数1.2集合及其运算集合及其运算ABx|xA,xB任任并并:
或或ABx|xA,xB俏俏交交:
且且ABx|xA,xB蜗蜗差差:
但但cAx|xA余余:
集集合合的的运运算算规规则则:
ABBAABBA;UUIIUUII交交换换律律:
,ABCABCABCACUUUUUUUUIIIIIIII结结合合律律:
()(),()(B);ABCACBCABCACBCUIIUIUIIUIIUUIUIUUIU分配律:
()()(),分配律:
()()(),()()();()()();ABABBABA,A,ABAA;破破UIUIIUIU吸吸收收律律;若若,则则;,1.5ABCACBCUIIUIUIIUI例例求求证证()()()。
xABCxABxC挝挝UIUUIU证证(),则则且且,xAxBxC挝挝从从而而,或或,且且,xAxCxBxC挝挝挝挝这这就就是是说说,且且,或或,且且,xACBCIUIIUI即即()(),ABCACBCUIIUIUIIUI所所以以()()()。
xACBCIUIIUI另另一一方方面面,()(),xACxBC挝挝IIII则则,或或。
xCxAxBxABC挝挝挝挝UIUI从从而而,且且或或,即即(),ACBCABCIUIUIIUIUI()()()。
ACBCABCIUIUIIUIUI因因此此()()()。
DeMorgen原原理理的的证证明明。
(1)x(AxAxAaaaaaaaaaaa无限a无限UUUUC),CCCxAxA,(AAaaaaaaaaaaaaaaa无蝄a无蝄IUIIUIC,)CCxAxAxAaaaaaaaaaa无无aa无无II另另一一方方面面,CxAx(A,A(Aaaaaaaaaaaaaaaaa尴尬尴尬UUIUUUIUCC)C(AAaaaaaaaaUIUIC)CABAB;II转转换换律律:
DeMorgen对对偶偶原原理理;(原原理理)CC
(1)(AA
(2)(AAaaaaaaaaaaaaaaaaUIUIIUIUCC),)。
212()由由()可可以以证证()。
CCC(A(A)A,aaaaaaaaaaaaUIIUIIC因因为为)CAAaaaaaaaaUIUIC所所以以()。
1.82例例0,可可以以被被区区间间族族:
CCCAABAABAAIIIIII证证()()()CCAABAAABIUIUIIUIUI()()()ABABUIIUII()1.3实数集实数集(R)的完备性的完备性实实分分析析基基础础有有理理数数是是指指一一切切形形如如p/q的的数数,其其中中p,q0均均为为整整数数,Q=x|x=p/q,p,q为为整整数数,q01.1命命题题有有理理数数集集是是稠稠密密的的。
xyQxy,xyzQ,zxy$喂挝$喂挝即即对对、,必必使使(、)。
1.2命命题题有有理理数数集集对对四四则则运运算算法法则则是是封封闭闭的的。
但但是是有有理理数数对对极极限限运运算算不不是是封封闭闭的的,换换句句话话说说有有理理数数集集是是不不完完备备的的。
定定义义若若满满足足下下列列条条件件:
(Q)有有理理数数集集1122nn
(1)a,ba,b.a,b.缮缮缮缮nnnnn
(2)a,bba0揪井揪井闭闭区区间间的的长长度度数数列列,则则称称这这个个闭闭区区间间列列为为一一个个闭闭区区间间套套。
1.1ntor定定理理Co闭闭区区间间套套定定理理。
(当当作作公公理理承承认认)nna,bxx设设为为任任意意一一个个闭闭区区间间套套,则则必必存存在在唯唯一一的的实实数数,nnnnn1a,bn=12.,m,.a,b=x蝬吻x蝬吻使使,即即,且且nnlima=limb=x=x1.2zanoWeierstrass)-定定理理(Bol定定理理任任何何有有界界数数列列必必有有收收敛敛子子列列。
nnxa,b,ax挝挝,再再取取,且且nkkk1kxa,bnn,+k如如此此继继续续下下去去,可可取取出出使使,且且Cauchy则则称称该该数数列列为为基基本本数数列列或或数数列列。
1.3定定理理(完完备备性性定定理理)nxn=1数数列列收收敛敛的的充充要要条条件件是是它它为为基基本本数数列列。
nn=1xxa蕻蕻n证证()设设为为收收敛敛数数列列。
令令,则则0NmnNe$e$,当当,时时,有有nmxa/2,xa/2-e-e-e-$e有有-即即,当当,时时,有有-NA=maxxxx,112+1令令,.,nnA1xAx+因因此此,为为的的上上界界,-
(1)为为的的下下界界。
nxA+1,n即即nnn1.2xxxk由由定定理理在在中中必必存存在在子子列列,使使knxa揪井揪井knnlimx现现在在来来证证明明anmnmnmxxxaax|xa|+|xa|-=-+-e-=-+-N,|xx|1-0,K,kKxa/2e$-ee$-$由由设设为为数数列列,故故,当当时时,k1nkN因因而而时时,故故有有kkn|xx|/2-e-N=当当时时,则则当当时时,kkkn|xa|xxxa/2/2-+-e+e=e-+-N|xx|-e-e0必必有有,使使,所所以以111nmNmn1,|xx|-砮-砮10当当1时时,必必有有时时使使,2221nmNm+1mnm1x+-砮+-砮20当当时时,必必有有,使使x,.如如此此继继续续下下去去,可可得得到到12knmnm.nm.xxx2.xk+ee+e+e+ee+e+ekkk-1k-11mlimx,=kk故故nx1.4这这与与为为有有界界数数列列得得假假设设矛矛盾盾,定定理理得得证证。
AMA定义:
设为一个数集,若为的一个上界,且对定义:
设为一个数集,若为的一个上界,且对0,AxxMMAeeee任意必存在中的,使-,则称为的上确界,任意必存在中的,使-,则称为的上确界,MsupA记记为为()xm=infAA()M=supAAxxxm,mminfA+ee同同理理,若若为为A的的一一个个下下界界,若若对对任任意意,必必存存在在中中MeeM1.5定定理理(确确界界存存在在定定理理)上上有有界界的的数数集集必必有有上上确确界界;下下有有界界的的数数集集必必有有下下确确界界。
0r证证设设A为为有有上上界界的的数数集集,取取最最小小的的整整数数上上界界为为2将将每每个个单单位位区区间间二二等等分分,在在以以为为分分母母的的有有理理数数中中取取221r22最最小小的的上上界界为为;再再将将每每个个单单位位区区间间等等分分,在在以以为为分分母母22r2的的有有理理数数中中取取最最小小的的上上界界为为,在在以以为为分分母母的的有有理理数数中中2r取取最最小小的的上上界界为为;.nr的的有有理理数数中中取取最最小小的的上上界界为为,显显然然,01nrr.r.吵吵吵吵nn22以以此此类类推推,再再将将每每个个单单位位区区间间等等分分,在在以以为为分分母母nr1.4xn为为单单调调降降的的有有界界数数列列,由由定定理理,数数列列收收敛敛,nnlimxM,MA=设设现现来来验验证证即即为为的的上上确确界界。
n
(1)MAr显显然然是是的的一一个个上上界界.(因因为为都都是是A的的上上界界);
(2)0xAxM-e蝒e蝒,必必存存在在,使使。
M,MA-e-e反反证证法法,若若不不然然,在在()中中不不存存在在中中的的数数,2n2r但但由由有有理理数数的的稠稠密密性性,必必存存在在以以为为分分母母的的有有理理数数,nnrrMnrM这这与与的的关关系系相相矛矛盾盾,定定理理得得证证。
ab|IaaFjaFja定定义义设设,为为闭闭区区间间,为为一一个个开开区区间间族族,Iaajj其其中中都都是是开开区区间间,指指标标集集可可以以是是有有限限的的,也也可可以以是是无无限限集集。
nrMMA蝒蝒使使(,),且且也也是是的的上上界界,证证令令Ax*|x*a,b,ax*蜦蜦且且,能能被被中中有有限限个个开开区区间间覆覆盖盖aAA蝄蛊蝄蛊则则,。
A1.5A另另一一方方面面是是一一个个有有界界集集,由由定定理理,有有上上确确界界,abxaaFjFj若若,中中每每一一点点,必必含含于于开开区区间间族族的的某某一一区区间间ababFFFF中中,则则称称区区间间,被被所所覆覆盖盖,或或覆覆盖盖了了区区间间,。
1.6HeineBorel定定理理(有有限限覆覆盖盖定定理理)ab|IaaFjaFja若若闭闭区区间间,被被一一个个开开区区间间族族覆覆盖盖,则则必必能能FF从从中中选选出出有有限限个个开开区区间间族族:
BabBabFF使使覆覆盖盖,,称称为为的的对对,有有限限子子覆覆盖盖。
iiB|i12.,naaaajj蜦jj蜦,csupAcbcab令令=,显显然然,从从而而,cFab蜦Fab蜦设设中中取取一一个个开开区区间间含含有有,令令此此开开区区间间为为(,),cabab则则x*A,x*c$b蝍$b蝍于于是是由由上上确确界界的的定定义义知知,使使。
cA从从而而。
cb最最后后要要证证明明。
cb,Ax*Aabab反反证证法法,若若,则则在在()中中还还必必存存在在中中的的,cAcb这这与与是是的的上上确确界界相相矛矛盾盾。
故故。
HeineBorel1.1利利用用定定理理可可以以证证明明定定理理。
1.1ontor定定理理(C闭闭区区间间套套定定理理)nn证证设设a,b为为任任一一闭闭区区间间套套,要要证证明明至至少少存存在在nnnnn1n1a,ba,bx吻枪x吻枪一一个个,即即。
nnnnn1a,ba,b瞧瞧反反证证法法若若,不不妨妨设设所所有有的的nnn1,a,b由由对对偶偶原原理理的的余余集集为为nnnnn1n=1a,ba,bRa,b骣骣侨侨琪琪桫桫ccnnnna,b,abc其其中中(-)(,+)是是两两个个开开区区间间之之并并ab轾轾臌臌iicnn由由有有限限覆覆盖盖定定理理,必必存存在在有有限限个个,使使mci=1aba,b轾轾壬壬臌臌iinn,iii0mnnni=1,a,a,a而而有有限限个个(-)的的并并:
(-)(-)iii0mnnni=1bbb有有限限个个(,+)的的并并:
(,+)(,+)ii00nn,aba,b而而(-)(,+)是是不不可可能能覆覆盖盖的的。
()iiii0000nnnna,ba,b,a,b因因为为()()中中的的点点是是不不能能所所覆覆盖盖的的nnnnlimalimb由由已已知知条条件件知知x=xx=x12nnn=1a,b$xx吻蛊$xx吻蛊轾轾臌臌,使使xx最最后后我我们们要要证证明明,是是唯唯一一的的。
nnn=1a,bxxxxxx吻xxxxxx吻轾轾臌臌121212若若有有两两个个,使使,不不妨妨设设,nnabn=12.)x$de$d若若用用数数学学符符号号表表达达,则则为为:
,()()xE|xx|fxfxdede当当,。
时时,均均有有|-。
|1.11Ff定定理理设设R为为有有界界闭闭集集(称称为为紧紧集集),为为定定义义FfF在在上上的的连连续续函函数数,则则在在上上必必能能取取到到它它的的最最大大和和最最小小值值。
()fxF证证先先证证明明在在上上为为上上有有界界的的。
Fn反反证证法法,若若不不然然,则则必必存存在在点点到到x,使使nf()揪井揪井nxBolzanoWeierstrassn由由于于x是是有有界界的的,由由定定理理,必必存存在在0xf坍坍kknnn一一个个收收敛敛子子序序列列xx,使使xF,由由的的连连续续性性,()0klimf()fxkn有有xnnlimf(x)f(x)F这这与与相相矛矛盾盾。
故故在在上上为为上上有有界界。
xFFf(x)Msupf(x)因因而而,上上的的必必有有上上确确界界,令令,iii1xFf()M=叹揪叹揪i则则必必存存在在,使使x,ii1ixx=ki对对,必必存存在在它它的的收收敛敛子子序序列列,x,使使k0xF揪井揪井kix()()ki00klimfxfxMfx,即即在在处处取取得得最最大大值值。
fF同同理理可可证证,在在上上可可以以取取得得最最小小值值。
参考书参考书龚龚怀怀云云,寿寿纪纪麟麟,王王绵绵森森,应应用用泛泛函函分分析析,西西安安交交通通大大学学出出版版社社,1982
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