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流体力学讲义
流體力學講義
王曉剛
義守大學機械與自動化工程系
中華民國九十七年七月
目錄:
第1章、流體力學簡介………………………2
第2章、流體特性………………………17
第3章、壓力與流體靜力…………………37
第4章、流體運動學…………………69
第5章、質量、白弩力(Bernoulli)、及能量方程式…………………96
第6章、流體動量分析…………………140
第八章、管路流體…………………154
第一章、流體力學簡介
流體力學知識可應用到氣象學(meteorology)、海洋學(oceanography)、水文學(hydrology)、醫療研究(例如血液循環及人工心臟等)、交通運輸(例如飛機與火箭之空氣動力學(aerodynamics)及船艦及潛水艇等)、土木工程(例如水災控制、民生供水、地下水、輸油管等)。
流體力學歷史
阿基米得(Archimedes)與亞歷山大大帝(HeroofAlexandria)發展出向量定律、浮體與潛體之浮力,並導出微觀微積分學。
羅馬人在西元前~400年已建造供水系統。
達文西(DaVinci)在15世紀導出質量守衡定律,並用以解釋水波、噴流(jet)、水流猛脹(hydraulicjump)等。
馬瑞奧特(Mariotte)在16世紀建造第一個風洞。
巴斯葛(Pascal)建立流體內壓力分佈之理論。
牛頓(Newton)於17世紀導出運動方程式、線性流體之黏滯度(viscosityoflinearfluid)-此類流體稱為牛頓流體(newtonianfluid),他並導出非黏滯流體(”perfect”orfrictionlessfluid)之運動方程式。
白弩力(bernoulli)、歐拉(Euler)、拉格蘭及(Lagrange)、拉普拉氏(Laplace)等人解出很多的非黏滯流體流場問題。
歐拉(Euler)將流場以微分(differential)及積分(integral)型式表示,此導致白弩力方程式之產生。
之後科學家開始運用實驗方法而衍生流體力學之一支–水力學(hydraulics)。
皮托(Pitto)、偉伯(Weber)、哈根(Hagen)、波蘇拉(Poiseuille)、達西(Darcy)等人做了很多管路、水波、船體阻力等實驗。
19世紀時,科學家結合實驗水力學(experimentalhydraulics)與理論水動力學(theoreticalhydrodynamics),而建立現代流體力學之基礎。
福祿德(Froude)發展出用模型做測試。
瑞理(Rayleigh)提出因次分析(dimensionalanalysis)之技巧。
雷諾(Reynolds)證明一無單位參數–稱之為雷諾數(Reynoldsnumber)之重要性。
那伏亞(Navier)及史多克(Stokes)將黏滯力項加入運動方程式而導出Navier-Stokes方程式,但此方程式求解困難。
此困難被20世紀最偉大之流體力學與熱傳學家普朗多(Prantdl)解決,普朗多提出邊界層理論(boundarylayertheory)-流體流經物體,在表面會形成一層薄層稱之為邊界層,只有在此薄層內黏滯力影響重要,而在此薄層外大部分之流場黏滯力不重要,固可假設為非黏滯流體,並可使用白弩力方程式描述流場。
普朗多的學生包括馮卡門(vonKarman),布勞西斯(Blasius)及尼可瑞斯(Nikurades)等人,在黏滯流、邊界層、紊流等方面均有不可磨滅之貢獻。
其研究結果大大地影響第二次世界大戰美、德雙方之航空發展。
自~1990年以來,因高速計算機之長足進度,而發展出以數值分析的方法解析複雜流場之問題–此稱為計算流體力學(computationalfluiddynamics,CFD),現今常用之CFD軟體有PHOENIX,FLUENT,CFD2000等。
流體力學可細分為下數個分類:
流體動力學(hydrodynamics)--主要研究不可壓縮流體。
水力學(hydraulics)–-討論管路內及開放式渠道之流体流動問題。
氣體動力學(gasdynamics)–-研究密度變化較大(可壓縮流體)之流體在高速下,通過例如噴嘴(nozzle)時之現象。
空氣動力學(aerodynamics)–-主要討論空氣流過物體表面(例如飛機、火箭、汽車等)所產生之影響。
另外,由於流體特性,例如黏滯力,亦可細非為:
黏滯流(viscousflow)–-討論當流體與物體邊界之黏滯力不可忽視時流場之特性,例如磨擦力等。
位能流(potentialflow)–討論當流體與物體邊界之黏滯力可忽視時,例如遠離物體上之邊界層時,流場之速度、壓力等分佈。
何謂流體?
液體與氣體統稱為『流體』。
固體與流體最大之不同,在於其對剪應力(shearstress)之反應不同。
流體內任一微小平面An上均可找出切線方向力Ft及法線方向力Fn,其單位面積所遭受的力(應力)分別為t與n。
shearstress
normalstress
上圖中垂直於流體平面之分力為垂直剪應力(normalshearstress 或簡稱 normalstress,(唸sigma)),平行於平面之分力為切線剪應力(tangentialshearstress或簡稱 shearstress,(唸tau)),當流體靜止時,其切線剪應力為零,而其垂直剪應力為壓力。
當固體接受一『切線方向剪應力』(tangentialshearstress)時,其變形角度(shearstrain)正比於此剪應力;反之,當流體接受一切線方向剪應力時,其變形角度之時間變率(shearstrainrate)正比於此剪應力。
換言之,當一剪應力施於固體時,固體之變形角度正比於施力,而變形不隨時間而變化。
(deformationangleΘforce)
而任一大小之剪應力施於流體時,流體之變形角度將隨時間而增加。
(fluiddeformscontinuously)
由實驗得知:
固體在虎克定理(hooke’slaw)下,變形角度正比於施與之剪應力。
而流體之變形率(deformationrate 或 strainrate)正比於施與之剪應力。
流體之分類
(A)黏滯區(viscousregion)與非黏滯區(inviscidregion):
例如流體流過一平板時,流體之黏滯力與平板間形成一黏滯區如下圖,其磨擦力很重要;反之,在此薄層外,因為流體內無相對速度,故黏滯力不重要,只要考慮壓力(pressureforce)與慣性力(inertialforce)。
注意:
沒有任何流體是完全沒有黏滯力的。
(B)管內流場(internalflow)與外部流場(externalflow):
流體流經管路(pipeorduct)內,稱為管內流體,其速度分佈及黏滯力造成之管路壓力降(pressuredrop)對流場影響很大。
流體是包覆性地流過物體表面如下圖,稱為外部流體,流體與物體表面形成之邊界層,以及物體在流體中遭受之阻止是研究之重點。
網球上流體之分佈、以及分離點(separationpoint)、尾波區(wakeregion)。
(C)可壓縮(compressible)及不可壓縮(incompressible)流體:
流體之密度不隨壓力而改變,稱為不可壓縮流體,例如液體。
但氣體為可壓縮流體,例如空氣在百分之一的大氣壓改變下,其密度改變1%。
一般流速時,馬赫數低於0.3時,密度變化低於5%,流體可視為不可壓縮流體。
馬赫數:
Ma=V/C=流體流速/流體中聲音傳速
馬赫數大於一(音速以上)時,則必須考慮流體之可壓縮性質。
(D)層流(laminarflow)及紊流(turbulentflow):
以流體之雷諾數(Reynoldsnumber,Re)界定,流速低時流場為較穩定之層流;流速高時流場會產生劇烈之速度波動(fluctuation),如下圖所示,由層流至紊流間,會有一過度區(transitional)。
(E)自然(natural)與強制(forced)流體:
有外力(如幫浦、風扇等)驅動之流場稱為強制流;自然流主要由流體本身溫度差造成之密度差而形成之流動。
(F)穩定(steady)及不穩定(unsteady)場
流場內之各種性質(速度、壓力等)不隨時間而改變,稱為穩定流;反之則為不穩定流。
(G)一維(one-dimensional)二維(two-dimensional)及三維(three-dimensional)流場:
實際之流場一般均為三維,例如速度可表示為直角座標之V(x,y,z)或圓錐座標之V(r,,z),其分析較為複雜與困難。
若一三維之流場,在某一方向無太大速度變化,則可將此流場假設為二維,或更化簡為一維,使分析簡單而不失其精確性。
例如下圖圓形管路之流體在入口區為二維流場V=V(r,z),而在『完全成形區』(fullydevelopedregion)為一維流場V=V(r)因為速度只與徑向位置有關。
何謂『邊界層』(boundarylayer)及『無滑動邊界條件』(no-slipcondition)?
任何流體流過物體表面時,因黏滯力之影響,使得流體緊鄰固體表面時之流速為零,此稱為『無滑動邊界條件』如下圖所示。
(Question:
汽車輪胎在轉動時與地面接觸之點之速度為何?
當煞車時又如何?
)
因無滑動邊界條件,造成固體邊界上形成一速度降低之區間,稱為『邊界層』如下圖所示,此邊界層內黏滯力及流體與固體表面之『牆壁剪應力』(即磨擦力)影響重要;反之,邊界層外之流場速度幾乎為常數,沒有相對速度,故黏滯力可忽視。
流体流過非平面時產生之邊界層如下圖所示:
在曲面之後半部,因黏滯力及壓力分佈之交互影響,固體表面流體流動方向甚至會回流,此處稱為『分流點』(flowseparation)如下圖所示,之後將產生『渦漩』(vortex),以及『尾波區』(wakeregion),對固體在流場中之阻力影響甚大。
流體力學分析方法
流體力學問題的分析方法,一般可分為兩類:
1.系統(system)方法
2.控制容積(controlvolume)方法
而此二方法又分別可以用有限(finite)或積分(integral)的處理法、以及無窮小(infinitesimal)或微分(differential)的處理法進行之。
系統:
代表一固定質量之空間範圍,系統邊界不可有質量之傳輸(但可有熱與功的傳輸)。
(熱力學第一定律)
控制容積:
空間中任一範圍,流體可流進或流出。
流體力學觀測方法
流體力學觀測的方法友兩種:
1.拉格蘭及恩(lagrangian)法–觀測者隨流體一同運動。
2.歐拉瑞恩(eulerian)法–觀測者位於空間中一固定點,不隨流體運動。
此兩種方法各有優缺點,容後再述。
因次(dimensions)與單位(units)
主要因次
(principledimensions)
SIunits
質量Mass{M}/力Force{F}
(F=MLT-2)
公斤kilogram(kg)/牛頓(N)
長度Length{L}
公尺meter(m)
時間Time{T}
秒(s)
溫度Temperature{}
凱文(K)
其他導出之單位:
forceof1newton(N)=1(kg.m/s2)
(英制:
1lbf=32.174lbm.ft/s2)
energyof1joule(J)=1(N.m)
powerof1watt(W)=1(J/s)
pressureof1pascal(Pa)=1(N/m2)
viscosity=kg/m.s
specificheat=J/kg.K=m2/s2.K
因次之均方性(DimensionalHomogeneity)
注意:
方程式中任一項之單位均須相同。
例:
證明白弩力方程式(Bernoulli’sequation)中每一項之單位相同。
解:
{N/m2}={N/m2}+{kg/m3.m2/s2}+{kg/m3.m/s2.m}
(kg/m3.m2/s2=kg/m.s2=kg.m/s2.1/m2=N/m2)
第二章、流體特性
物質之性質(property):
原生性質(intensiveproperty)–物質性質與系統質量之大小無關,例如溫度、壓力、比重等。
延伸性質(extensiveproperty)–物質性質與系統質量不同而產生變化,例如質量、體積、動量等。
比性質(specificproperty)–乃延伸性質與系統質量之比,故與系統質量無關,例如比容積(specificvolume,v(m3/kg)=1/)、單位質量總能(specifictotalenergy,e=E/m)等。
密度(density)與比重(specificgravity)
密度(density):
(kg/m3)=mass/unitvolume(唸Row)
比重(specificgravity):
s.g.=/H2O
例:
s.g.Hg=13.6,汞(水銀)之密度為何?
解:
Hg=(13.6)(1000kg/m3)=13.6X103kg/m3
比重量(specificweight):
=g(N/m3)=單位體積重量(唸Gamma)
(Question:
你多重?
)
能量(energy):
總能(totalenergy)E包括熱能、機械能、動能、位能、電能、磁能、化學能、核能等。
微觀能(microscopicenergy):
分子結構與分子活動程度有關之能量,稱為微觀能。
內能(internalenergy)U:
所有微觀能之總和稱為內能。
微觀能主要與物質之溫度有關。
巨觀能(macroscopicenergy):
通常與物體運動之動能(kineticenergy)--V2/2有關,或是受重力、磁力、電力、表面張力而影響。
受重力影響稱為位能(potentialenergy)--gz。
熱能(thermalenergy):
以顯能(sensibleheat)及潛能(latentheat)形成存在之能量。
焓(enthalpy)h:
內能與壓力、體積乘積之和;
h=u+Pv=u+P/
上式之第二項為流動功(flowwork),其為每單位流體為保持流體流動所須之功,為不可使用之功。
故流動中流體之總能量可表示為焓、動能、與位能之總和:
eflowing=P/+e=h+ke+pe=h+V2/2+gz
內能與焓之變化可以溫度之變化表示之:
du=cvdTanddh=cpdT
其中cv與cp為理想氣體之等容比熱(constant-volumespecificheat)與等壓比熱(constant-pressurespecificheat)。
當物質為不可壓縮(incompressible)時,此二比熱相等,且焓之改變為:
h=u+P/=caveT+P/(
故等壓過程中:
h=ucaveT
等溫過程中:
h=P/ρ
壓縮係數(CoefficientofCompressibility):
流體之密度隨溫度與壓力而改變,流體隨壓力改變之性質類似於固體之彈性(elasticity),故流體之壓縮係數類似於固體之『楊氏係數』(Young’smodulus)。
流體之壓縮係數((唸kappa)定義為:
(為何負值?
)
或近似為:
(T=constant)
故壓縮係數代表體積或密度之改變分量(v/v或/)其壓力之改變量,故不可壓縮流體之壓縮係數為無窮大。
例如若要增加1%水之密度,需增加210倍之大氣壓(210atm)。
此現象有時會造成很大影響,例如水流在管路內,若遭到壓縮而產生密度變大時(例如流經管路急遽變小區,或急遽將管路閥門(valve)關閉時),流體內之壓力快速上升,而其引發之聲波(acousticwave)將衝擊到管路表面、管路彎曲處(bend)等,而造成管路震動及產生之聲響,並對管路建築物本身造成損害,此現象稱為『水鎚』(waterhammer)。
對理想氣體而言,P=RT故(P/)T=RT=P/,故
因為=1/v,故d=-dv/v2,且
故對理想氣體而言,
(T=constant)
壓縮係數之倒數稱為『等溫壓縮力』(isothermalcompressibility):
故等溫壓縮力為壓力改變時,體積或密度之改變分量。
體積澎脹係數(Coefficientofvolumeexpansion)
流體密度隨溫度之變化,更勝於對壓力之變化。
此變化造成自然界之風、海流、煙囪、及自然對流等現象。
在等壓下,改變溫度造成密度或體積改變之分量,稱為體積澎脹係數(唸beta):
或近似於:
對理想氣體而言:
(T為絕對溫度)
在自然對流(naturalconvection)中,若物體溫度較其附近流體溫度(T)為高,則體積膨脹係數可近似為:
或
因為溫度差異造成流體密度不同,其所形成之浮力(buoyancyforce)造成流體之流動,甚至造成物體之熱量傳輸,此稱為『自然對流熱傳』(naturalconvectionheattransfer),如下圖所示:
若結合流體之壓力與溫度之變化,將體積v=v(T,P)微分,可得:
故體積或密度變化分量可近似為:
黏滯力(Viscosity)
Question:
水與油之密度相仿,為何其流動特性相異?
Question:
鳥在飛行與魚在游動時,需克服何種力量?
假設流體靜止於兩板之間,當上塊板施與一力F,當平衡時此板將以一速度u=V移動,流體與上板及流體與下板均無相對速度,故連接處流體之速度分別為V及0,此稱為”無滑動條件”(no-slipcondition)。
兩板之間流體將產生流動,而其速度u=u(y)將可證明為線性,u(y)=Vy/
,並產生一速度梯度(velocitygradient),du/dy=V/
。
在微小時間dt內,流體中MN線將旋轉角度d,故上板移動da=Vdt距離,其角度變形為:
因da=Vdt,故
上式為角度變形率(deformationrate),可表示為
,但
而實驗證明變形率正比於剪應力(τ唸tau)(=N/A),故:
,或
對大多數液體與氣體,剪應力與速度梯度可表示為
(N/m2或Pa)(2.29)
(唸mu):
黏滯係數(coefficientofviscosity)或動力黏滯係數(dynamicviscosity),(kg/m.s或N.s/m2或Pa.s),黏滯係數一般表示為“poise”,1poise=0.1Pa.s。
(唸nu)=/=運動黏滯係數(kinematicviscosity,m2/s,運動黏滯係數一般表示為“stoke”,1stoke=1cm2/s=0.0001m2/s。
牛頓流體(Newtonianfluids)與非牛頓流體(non-newtonianfluids)
當流體受剪應力,其角度變形率正比於剪應力時,即黏滯係數為常數,此類流體稱為牛頓流體;當角度變形率與剪應力之關係非線性時,此類流體稱為非牛頓流體,如下圖所示:
上圖之斜率即為流體之黏滯係數。
當黏滯係數隨變形率增加而變大時,此類流體稱為『膨脹流體』(dilatantorshearthickeningfluids),例如含有漩浮砂粒之液體;當黏滯係數隨變形率增加而變小時,此類流體稱為『偽塑性流體』(pseudoplasticorshearthinningfluids),例如油漆、高分子溶液等;當流體可以抵抗剪應力而不會變形,而超過一剪應力臨界值後其黏滯係數類似於牛頓流體時,此類流體稱為『賓漢塑性』(Binghamplastic)。
在牛頓流體中若存在速度梯度時,流體中平形於速度方向之虛擬平面A上之剪應力造成之力(shearforce)為:
故在上述之兩平板中,流體中任一平形於速度方向之虛擬平面A上之shearforce為:
故兩平板中,流體內任一虛擬平面上之shearforce為一常數。
黏滯力之物理意義:
流體之黏滯力代表流體對於其阻擋變形之力量。
在氣體與液體中其形成之原因大不相同。
氣體:
氣體之黏滯力是由於氣體分子之間碰撞,造成”動量交換”(momentumexchange)而產生。
液體:
液體的分子以”長鍊”(longchange)形式組成,液體之黏滯力乃由於長鍊與長鍊間之凝聚力(cohesionforce)所造成。
黏滯力與溫度之關係:
當溫度增加,氣體分子之能量與動量均增加,分子間之碰撞及動量交換亦增加,故黏滯力增加。
對於液體,分子鍊間之凝聚力隨溫度增加而破壞,黏滯力亦減小。
黏滯係數之測量
圓筒旋轉式黏滯計(viscometer)
中心圓筒固定而外層圓筒旋轉,固定中心圓筒所需之力以力矩計(torquemeter)計算之。
因間隙y極小,故流體在間隙內可視為兩平板間之流動:
其中
,
故
枯魏(Couette)流場及波蘇拉(Poiseuille)流場
流體在管路內產生流動的方法有兩類:
1.由於邊界移動,例如兩平板之間之流場,此類流動稱之為枯魏(Couette)流動。
2.由於管路內有壓力降(pressuredrop),例如普通水管内之流場,此類流動稱之為波蘇拉(Poiseuille)流動。
因牛頓流體之剪應力()正比於流體之速度梯度(du/dy),
故流場內之速度分佈(velocityprofileorvelocity
distribution)可由剪應力積分而得之;反之,若已知流場
內之速度分佈,則可將其微分而求得流場內剪應力之分佈。
流場內之剪應力,可視為任一假想平面與其緊臨平面間之”磨擦力”(frictionalforce)。
例:
(枯魏流動)流體於兩平行平板內,上板以速度V移動,求出流場之速度分佈。
解:
當此控制容積(controlvolume)達到平衡時(加速a=0),所有之受力亦達平衡。
在x方向
p=const.Inx-direction(Why?
)
1=2=……(在任一垂直於y軸之平面
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