模拟滤波器的设计1.ppt
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模拟滤波器的设计1.ppt
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6.26.2模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟,且模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟,且有若干典型的模拟滤波器供我们选择,这些滤波器都有若干典型的模拟滤波器供我们选择,这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。
用。
典型的模拟滤波器典型的模拟滤波器巴特沃斯巴特沃斯ButterworthButterworth滤波器滤波器幅频特性单调下降幅频特性单调下降切比雪夫切比雪夫ChebyshevChebyshev滤波器滤波器幅频特性在通带或者在阻带有波动幅频特性在通带或者在阻带有波动椭圆椭圆EllipseEllipse滤波器滤波器贝塞尔贝塞尔BesselBessel滤波器滤波器通带内有较好的线性相位持性通带内有较好的线性相位持性为什么要借为什么要借助于模拟滤助于模拟滤波器设计数波器设计数字滤波器字滤波器以这些数学函以这些数学函数命名的滤波数命名的滤波器是低通滤波器是低通滤波器的原型器的原型模拟滤波器按幅度特性可分成低通、高通、模拟滤波器按幅度特性可分成低通、高通、带通和带阻滤波器,它们的理想幅度特性如图带通和带阻滤波器,它们的理想幅度特性如图所示。
所示。
)(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c通常只观察正通常只观察正频部分频部分设计滤波器时,总是先设计低通滤波器,再通过设计滤波器时,总是先设计低通滤波器,再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器。
下面我们先介绍低通滤波器的技术指标和逼近方下面我们先介绍低通滤波器的技术指标和逼近方法,然后分别介绍巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤法,然后分别介绍巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器的设计方法。
波器的设计方法。
1.1.模拟低通滤波器的设计指标及模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法逼近方法逼近方法逼近方法模拟低通滤波器的设计指标模拟低通滤波器的设计指标构造一个逼近设计指标的传输函数构造一个逼近设计指标的传输函数HHaa(s)(s)ButterworthButterworth(巴特沃斯)低通逼近巴特沃斯)低通逼近ChebyshevChebyshev(切比雪夫)低通逼近切比雪夫)低通逼近模拟低通滤波器的设计指标有模拟低通滤波器的设计指标有pp,pp,ss和和ss。
pp;通带截止频率通带截止频率ss:
阻带截止频率阻带截止频率pp:
通带中最大衰减系数通带中最大衰减系数ss;阻带最小衰减系数阻带最小衰减系数pp和和ss一般用一般用dBdB数表示。
对于单调下数表示。
对于单调下降的幅度特性,可表示成:
降的幅度特性,可表示成:
2222(0)(0)10lg10lg()()aapsasapHjHjHjHjaa=WW1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法逼近方法(续续)如果如果=0=0处幅度已归一化到处幅度已归一化到11,即,即|H|Haa(j0)|=(j0)|=1,1,pp和和ss表示为表示为以上技术指标用图所示。
图中以上技术指标用图所示。
图中cc称为称为3dB3dB截止频率,因截止频率,因2210lg()10lg()papsasHjHj()1/220lg()3acacHjHjdBW=-W=滤波器的技术指标给定后,需要构造一个传输滤波器的技术指标给定后,需要构造一个传输函数函数HHaa(s)(s),希望其幅度平方函数满足给定的指,希望其幅度平方函数满足给定的指标标pp和和ss,一般滤波器的单位冲激响应为实,一般滤波器的单位冲激响应为实数,因此数,因此2()()()()()aaasjaaHjHjHjHsHs*=WW=WW=-逼近方法用频率响应的幅度平方函数逼近幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起很重要的作用,对于上面介绍的典型滤波器,其幅度平方函数都有自己的表达式,可以直接引用。
(1)
(1)由幅度平方函数确定由幅度平方函数确定模拟滤波器的系统函数模拟滤波器的系统函数2*()()()aaaHjHjHjW=WW()()aasjHsHsh(t)是实函数2()aHj()aHs()()aaHjHj将左半平面的的极点归()aHs将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为的零点,虚轴上的零点一半归()aHs()aHs由幅度平方函数得象限对称的s平面函数将因式分解,得到各将因式分解,得到各零极点零极点()()aaHsHs-对比和,确定增对比和,确定增益常数益常数()aHjW()aHs由零极点及增益常数,得由零极点及增益常数,得()aHs2()()aaHjHs由确定的方法22、ButterworthButterworth低通的设计方法低通的设计方法幅度平方函数幅度平方函数11)幅度函数特点)幅度函数特点22)幅度平方)幅度平方函数函数的极点分布的极点分布33)滤波器的系统函数)滤波器的系统函数44)滤波器的设计步骤)滤波器的设计步骤11)幅度平方函数)幅度平方函数221()1aNcHj当当2()1/2acHjW=时称为称为ButterworthButterworth低通滤波器的低通滤波器的33分分贝带宽贝带宽cW(0)20lg3()apacHjdBHja=WNN为滤波器的阶数为滤波器的阶数c为通带截止频率22)幅度函数特点:
)幅度函数特点:
221()1aNcHj20()1aHjW=W=2()1/23capHjdBaW=WW=3dB3dB不变性不变性cWW过渡带及阻带内快速单调减小Butterworth低通滤波器的幅度函数只由阶数N控制ButterworthButterworth滤波器是一个全极点滤波器,其极点:
滤波器是一个全极点滤波器,其极点:
22()()()()()()()11aaasjNcHjHjHjHjHjHsHssj*=WW=WW=WW=-=骣+琪W桫1211222
(1)0.1,2,.,21kjNNkccsjekNp+轾+犏臌=-W=W=-2)幅度平方函数的极点分布:
2N个极点等间隔分布在半径为的圆上(该圆称为巴特沃斯圆),间隔是Nrad。
cc极点在s平面呈象限对称,分布在Buttterworth圆上,共2N点极点间的角度间隔为/Nrad极点不落在虚轴上N为奇数,实轴上有极点,N为偶数,实轴上无极点一半极点在左半平面一半极点在右半平面?
为形成稳定的滤波器,为形成稳定的滤波器,2N2N个极点中只取个极点中只取ss平面左平面左半平面的半平面的NN个极点构成个极点构成HHaa(s)(s),而右半平面的,而右半平面的NN个极个极点构成点构成HHaa(-s)(-s)。
HHaa(s)(s)的表示式为的表示式为23012133231345jccjjccjccsessesessepppp-=W=-W=W=W=W=W10()()NcaNkkHsss设N=3,极点有6个,它们分别为32233()()()()aajjcccHssss由于各滤波器的幅频特性不同,为使设由于各滤波器的幅频特性不同,为使设计统一,将所有的频率归一化。
这里采用对计统一,将所有的频率归一化。
这里采用对3d3dBB截止频率截止频率cc归一化,归一化后的归一化,归一化后的HHaa(s)(s)表示表示为为式中,式中,s/s/cc=j/=j/cc。
令令=/=/cc,称为归一化频率;令称为归一化频率;令pp=j=j,pp称为归一化复变量,这样归一化巴特称为归一化复变量,这样归一化巴特沃斯的传输函数为沃斯的传输函数为101()()aNkkccHsss101()()aNkkHppp3)归一化系统函数ppkk为归一化极点,用下式表示:
为归一化极点,用下式表示:
将极点展开可得到的将极点展开可得到的Ha(p)Ha(p)的分母的分母pp的的NN阶多项式,用下式表示:
阶多项式,用下式表示:
121()22,0,1,1kjNkpekN2101211()aNNNHpbbpbpbpp-=+L上式为Buttterworth低通滤波器的归一化系统函数,分母多项式的系数有表可查。
44)阶数)阶数NN与技术指标的关与技术指标的关系系221()1apNpcHj/10/10101101psspkaa-=-根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数NN:
ppssaaWW确定技术指标:
确定技术指标:
20lg()PapHja=-W由由12/10110pNpcaW骣+=琪W桫得:
得:
2/10110sNsca骣W+=琪W桫同理:
同理:
sspplW=W令令lglgspspkNl=-则:
则:
/10/10101101psNpsaaW骣-琪W-桫技术指标转技术指标转化为阶数化为阶数取大于等于N的最小整数关于关于3dB3dB截止频率截止频率cc,如果技术指标中,如果技术指标中没有给出,可由下式求出没有给出,可由下式求出10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs-W=W-W=W-因为反归一时要用此参数55)低通巴特沃斯滤波器的设计步骤)低通巴特沃斯滤波器的设计步骤
(1)
(1)根据技术指标根据技术指标pp,pp,s,s和和ss,求出,求出滤波器的阶数滤波器的阶数NN。
(2)
(2)求出归一化极点求出归一化极点ppkk,由,由ppkk构造归构造归一化传输函数一化传输函数HHaa(p)(p)。
(3)(3)将将HHaa(p)(p)反归一化,反归一化,()()aaacsHsHpH骣=琪W桫10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs-W=W-W=W-阻带指标有富裕通带指标有富裕此环节可由查表得到巴特沃斯归一化低通滤波器的极点巴特沃斯归一化低通滤波器的极点巴特沃斯归一化低通滤波器分母多项式系数巴特沃斯归一化低通滤波器分母多项式系数10Nbb注意:
巴特沃斯归一化低通滤波器分母多项式的因式分解例例6.2.16.2.1已知通带截止频率已知通带截止频率ffpp=5kHz=5kHz,通带,通带最大衰减最大衰减pp=2dB=2dB,阻带截止频率,阻带截止频率ffss=12kH=12kHzz,阻带最小衰减,阻带最小衰减ss=30dB=30dB,按照以上技,按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。
术指标设计巴特沃斯低通滤波器。
解解
(1)
(1)确定阶数确定阶数NN。
0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassspppkffNNplp-=-W=W=-=
(2)
(2)由其极点为由其极点为1121()222
(1)()kjNNkccsje3455016523754,jjjjjsesesesese传输函数401()()akkHpss=-或由N=5,直接查表得到:
极点:
-0.3090j0.9511,-8090j0.5878;-1.0000系数:
b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.23615432432101()aHppbpbpbpbpb先求先求3dB3dB截止频率截止频率cc10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckradskradspp-W=W-=W=W-=将c代入(6.2.18)式,得到:
将p=s/c代入Ha(p)中得到:
554233245432()10cacccccHssbsbsbsbsb(3)为将Ha(p)去归一化此时算出的截至频率比题目中给出的小,或者说在截至频率处的衰减大于30dB,所以说阻带指标有富裕量。
3.3.ChebyshevChebyshev低通滤波器的设计方法低通滤波器的设计方法提出的背景提出的背景巴特沃斯滤波器的频率特性曲线,无论在通巴特沃斯滤波器的频率特性曲线,无论在通带和阻带都是频率的单调函数。
因此当通带边带和阻带都是频率的单调函数。
因此当通带边界处满足指标要求时,通带内肯定会有余量。
因界处满足指标要求时,通带内肯定会有余量。
因此,更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分此,更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内,或者均匀分布在整个阻带内,布在整个通带内,或者均匀分布在整个阻带内,或者同时分布在两者之内。
这样,就可用阶数较或者同时分布在两者之内。
这样,就可用阶数较低的系统满足要求。
这可通过选择具有等波纹特低的系统满足要求。
这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。
性的逼近函数来达到。
11)ChebyshevChebyshev低通滤波器的幅度平方函数低通滤波器的幅度平方函数22221()()1()aNpAHjCChebyshevChebyshev型滤波器的幅度平方函数型滤波器的幅度平方函数22221()()1()aNpAHjCNN:
滤波器的阶数:
滤波器的阶数ChebyshevChebyshev型滤波器型滤波器幅度平方函数:
幅度平方函数:
2221()1()aNcHjCeW=W+W:
截止频率,不一定为:
截止频率,不一定为3dB3dB带宽带宽cW,表示通带波纹大小,越大,表示通带波纹大小,越大,波纹越大波纹越大01e等波纹幅度特性单调增加前两项给出后才前两项给出后才能迭代下一个能迭代下一个cxN=0,4,5切比雪夫多项式曲线2()1/1caHjeW=WW=+11)幅度函数特点:
)幅度函数特点:
通带外:
迅速单调下降趋向通带外:
迅速单调下降趋向00cWW221()1aNcHjCNN为偶数为偶数2(0)1/1aHje=+NN为奇数为奇数(0)1aHj=通带内:
在通带内:
在11和和间等波纹起伏间等波纹起伏cW1,有121211211()()1()111()()1111()NsssssspsCchNchAchANchchNAllelellel-=-=W=W-睚可以解出滤波器阶数N的确定阻带衰减越大所需阶数越高3dB3dB截止频率截止频率cc的确定的确定222211()2()1,1()()ccNccpNccACCchNchelllle-W=W=W=按照(6.2.19)式,有通常取c1,因此上式中仅取正号,得到3dB截止频率计算公式:
111()cpchchNe-W=W令33)幅度平方特性的极点分布)幅度平方特性的极点分布以上以上pp,和和NN确定后,可以求出滤波确定后,可以求出滤波器的极点,并确定器的极点,并确定HHaa(p)(p),p=s/p=s/pp。
有用的结果。
设。
有用的结果。
设HaHa(s)(s)的极点为的极点为ssii=ii+j+jii,可以证明:
,可以证明:
21sin()2,1,2,3,21cos()2ipipishNiNichNdxpxp-=-W=鬃-W=W122222211()1iippshNshchxedxx-=W+=WW上式是一个椭圆方程,因为上式是一个椭圆方程,因为ch(x)ch(x)大于大于sh(x)sh(x),长半轴为,长半轴为ppch(ch(在虚轴上在虚轴上),短半轴为,短半轴为ppsh(sh(在实轴上在实轴上)。
令。
令bbpp和和aapp分别表分别表示长半轴和短半轴,可推导出:
示长半轴和短半轴,可推导出:
111121()21()2111NNNNabbbbbbee-=-=+=+(6.2.29)(6.2.30)(6.2.31)因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在长半轴为bp,短半轴为ap的椭圆上的点。
设设N=3N=3,平方幅度函数的极点分布如图,平方幅度函数的极点分布如图6.2.86.2.8所所示示(极点用极点用XX表示表示)。
为稳定,用左半平面的极点构。
为稳定,用左半平面的极点构成成HHaa(p)(p),即,即11()()aNiiHpcpp(6.2.32)式中c是待定系数。
根据幅度平方函数(6.2.19)式可导出:
c=2N-1,代入(6.2.32)式,得到归一化的传输函数为111()2()aNNiiHppp(6.2.33a)图6.2.8三阶切比雪夫滤波器的极点分布按照以上分析,下面介绍切比雪夫型按照以上分析,下面介绍切比雪夫型滤波器设计步骤。
滤波器设计步骤。
1)1)确定技术要求确定技术要求pp,pp,ss和和sspp是是=pp时的衰减系数,时的衰减系数,ss是是=ss时的衰减系数,它们为时的衰减系数,它们为去归一化后的传输函数为11()2()NpaNNipiHssp(6.2.33b)22110lg()110lg()ppssAA(6.2.34)(6.2.35)5.5.滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤:
0.12101de=-ssplW=W1111()schkNchl-1ppplW=W归一化:
归一化:
12psddWW11)确定技术指标)确定技术指标:
e2)2)根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数NN及及:
0.1110.1101101spkaa-=-其中:
其中:
p33)求出归一化系统函数:
)求出归一化系统函数:
()aaapsHsHpH骣=琪琪W桫()=或者由或者由NN和,直接查表和,直接查表得得()aHpd其中极点由下式求出:
其中极点由下式求出:
44)去归一化)去归一化11/(21)(21)sincos221()2()()()piaNNiiaapskkpchjchNNHpppHsHpppxxe-=W-=-+=例例6.2.26.2.2设计低通切比雪夫滤波设计低通切比雪夫滤波器,要求通带截止频率器,要求通带截止频率ffpp=3kHz=3kHz,通带,通带最大衰减最大衰减pp=0.1dB=0.1dB,阻带截止频率,阻带截止频率ffss=1=12kHz2kHz,阻带最小衰减,阻带最小衰减ss=60dB=60dB。
解解
(1)
(1)滤波器的技术指标:
滤波器的技术指标:
0.1,260,21,4ppppssspspdBfdBfff
(2)
(2)求阶数求阶数NN和和:
11110.1110.1110.10.01()()1016553101(6553)9.474.6,52.06(4)1011010.1526sppsaaachkNchkchNNchle-=-=-=-=-=此过程可直接查表(3)求归一化系统函数Ha(p):
5(51)11()0.15262()aiiHppp由(6.2.38)式求出N=5时的极点pi,代入上式,得到:
2211()2.442(0.5389)(0.33311.1949)0.87200.6359aHpppppp(4)将Ha(p)去归一化,得到:
/7261427141()()(1.015810)(6.2788104.245910)11.6437102.259510paapsHsHpsssssg此过程也可直接查表完成小结:
模拟滤波器设计的步骤小结:
模拟滤波器设计的步骤),(cN通带截止频率、通带衰通带截止频率、通带衰减减pWpa阻带截止频率、阻带阻带截止频率、阻带衰减衰减sWsa确定滤波器的技术指标:
确定滤波器的技术指标:
将模拟滤波器的技术指标设计转化为低通原型滤波器的参数Butterworth低通滤波器Chebyshev低通滤波器),(cN构造归一化低通原型滤波器的系统函数反归一
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