二项式定理知识点和各种题型归纳带答案最新整理.pdf
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二项式定理1二项式定理:
,011()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN2基本概念:
二项式展开式:
右边的多项式叫做的二项展开式。
()nab二项式系数:
展开式中各项的系数.rnC(0,1,2,)rn项数:
共项,是关于与的齐次多项式
(1)rab通项:
展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。
用表示。
1rrnrrnCab1rnrrrnTCab3注意关键点:
项数:
展开式中总共有项。
(1)n顺序:
注意正确选择,其顺序不能更改。
与是不同的。
ab()nab()nba指数:
的指数从逐项减到,是降幂排列。
的指数从逐项减到,是升幂排列。
各项的an0b0n次数和等于.n系数:
注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是项的系012,.rnnnnnnCCCCC数是与的系数(包括二项式系数)。
ab4常用的结论:
令1,abx0122
(1)()nrrnnnnnnnxCCxCxCxCxnN令1,abx0122
(1)
(1)()nrrnnnnnnnnxCCxCxCxCxnN5性质:
二项式系数的对称性:
与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即,0nnnCC1kknnCC二项式系数和:
令,则二项式系数的和为,1ab0122rnnnnnnnCCCCC变形式。
1221rnnnnnnCCCC奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:
在二项式定理中,令,则,1,1ab0123
(1)(11)0nnnnnnnnCCCCC从而得到:
0242132111222rrnnnnnnnnnCCCCCCC奇数项的系数和与偶数项的系数和:
0011222012012001122202121001230123()()1,
(1)1,
(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaxCaxCaxCaxCaxaaxaxaxxaCaxCaxCaxCaxaxaxaxaxaaaaaaxaaaaaa令则令则024135
(1)
(1),()2
(1)
(1),()2nnnnnnaaaaaaaaaaaa得奇数项的系数和得偶数项的系数和二项式系数的最大项:
如果二项式的幂指数是偶数时,则中间一项的二项式系数取得最大值。
n2nnC如果二项式的幂指数是奇数时,则中间两项的二项式系数,同时n12nnC12nnC取得最大值。
系数的最大项:
求展开式中最大的项,一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别()nabx为,设第项系数最大,应有,从而解出来。
121,nAAA1r112rrrrAAAAr6二项式定理的十一种考题的解法:
题型一:
二项式定理的逆用;例:
12321666.nnnnnnCCCC解:
与已知的有一些差距,012233(16)6666nnnnnnnnCCCCC123211221666(666)6nnnnnnnnnnnCCCCCCC0122111(6661)(16)1(71)666nnnnnnnnCCCC练:
1231393.nnnnnnCCCC解:
设,则1231393nnnnnnnSCCCC122330122333333333331(13)1nnnnnnnnnnnnnnnSCCCCCCCCC(13)14133nnnS题型二:
利用通项公式求的系数;nx例:
在二项式的展开式中倒数第项的系数为,求含有的项的系数?
3241()nxx3453x解:
由条件知,即,解得,由245nnC245nC2900nn9()10nn舍去或,由题意,2102110343411010()()rrrrrrrTCxxCx1023,643rrr解得则含有的项是第项,系数为。
3x76336110210TCxx210练:
求展开式中的系数?
291()2xx9x解:
,令,则291821831999111()()()()222rrrrrrrrrrrTCxCxxCxx1839r3r故的系数为。
9x339121()22C题型三:
利用通项公式求常数项;例:
求二项式的展开式中的常数项?
2101()2xx解:
,令,得,所以52021021101011()()()22rrrrrrrTCxCxx52002r8r88910145()2256TC练:
求二项式的展开式中的常数项?
61
(2)2xx解:
,令,得,所以666216611
(2)
(1)()
(1)2()22rrrrrrrrrrTCxCxx620r3r3346
(1)20TC练:
若的二项展开式中第项为常数项,则21()nxx5_.n解:
,令,得.4244421251()()nnnnTCxCxx2120n6n题型四:
利用通项公式,再讨论而确定有理数项;例:
求二项式展开式中的有理项?
93()xx解:
,令,()得,12719362199()()
(1)rrrrrrrTCxxCx276rZ09r39rr或所以当时,3r2746r334449
(1)84TCxx当时,。
9r2736r3933109
(1)TCxx题型五:
奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;例:
若展开式中偶数项系数和为,求.2321()nxx256n解:
设展开式中各项系数依次设为2321()nxx01,naaa,则有,,则有1x令010,naaa1x令0123
(1)2,nnnaaaaa将-得:
1352()2,naaa11352,naaa有题意得,。
1822562n9n练:
若的展开式中,所有的奇数项的系数和为,求它的中间项。
35211()nxx1024解:
,解得0242132112rrnnnnnnnnCCCCCCC121024n11n所以中间两个项分别为,6,7nn56543551211()()462nTCxxx611561462Tx题型六:
最大系数,最大项;例:
已知,若展开式中第项,第项与第项的二项式系数成等差数列,求展开式中二1
(2)2nx567项式系数最大项的系数是多少?
解:
解出,当时,展开式中二项式系数46522,21980,nnnCCCnn714nn或7n最大的项是,当45TT和34347135()2,22TC的系数434571()270,2TC的系数14n时,展开式中二项式系数最大的项是,。
8T7778141C()234322T的系数练:
在的展开式中,二项式系数最大的项是多少?
2()nab解:
二项式的幂指数是偶数,则中间一项的二项式系数最大,即,也就是第项。
2n2112nnTT1n练:
在的展开式中,只有第项的二项式最大,则展开式中的常数项是多少?
31()2nxx5解:
只有第项的二项式最大,则,即,所以展开式中常数项为第七项等于5152n8n6281()72C例:
写出在的展开式中,系数最大的项?
系数最小的项?
7()ab解:
因为二项式的幂指数是奇数,所以中间两项()的二项式系数相等,且同时取得最大值,74,5第项从而有的系数最小,系数最大。
34347TCab43457TCab例:
若展开式前三项的二项式系数和等于,求的展开式中系数最大的项?
791
(2)2nx解:
由解出,假设项最大,01279,nnnCCC12n1rT12121211
(2)()(14)22xx,化简得到,又,1111212111212124444rrrrrrrrrrrrAACCAACC9.410.4r012r10r展开式中系数最大的项为,有11T121010101011121()4168962TCxx练:
在的展开式中系数最大的项是多少?
10(12)x解:
假设项最大,1rT1102rrrrTCx,化简得到,又111010111121010222(11)12(10)22,rrrrrrrrrrrrCCAArrAArrCC解得6.37.3k,展开式中系数最大的项为010r7r7777810215360.TCxx题型七:
含有三项变两项;例:
求当的展开式中的一次项的系数?
25(32)xxx解法:
,当且仅当时,的2525(32)
(2)3xxxx2515
(2)(3)rrrrTCxx1r1rT展开式中才有x的一次项,此时,所以得一次项为124125
(2)3rTTCxxx1445423CCx它的系数为。
1445423240CC解法:
255505145051455555555(32)
(1)
(2)()(22)xxxxCxCxCCxCxC故展开式中含的项为,故展开式中的系数为240.x4554455522240CxCCxxx练:
求式子的常数项?
31
(2)xx解:
,设第项为常数项,则3611
(2)()xxxx1r,得,.66261661
(1)()
(1)rrrrrrrTCxCxx620r3r33316
(1)20TC题型八:
两个二项式相乘;例:
342(12)
(1)xxx求展开式中的系数.解:
333(12)
(2)2,mmmmmxxx的展开式的通项是CC444
(1)C()C1,0,1,2,3,0,1,2,3,4,nnnnnxxxmn的展开式的通项是其中342,02,11,20,(12)
(1)mnmnmnmnxx令则且且且因此.20022111122003434342
(1)2
(1)2
(1)6xCCCCCC的展开式中的系数等于练:
610341
(1)
(1)xx求展开式中的常数项.解:
436103341261061041
(1)
(1)mnmnmnmnxCxCxCCxx展开式的通项为0,3,6,0,1,2,6,0,1,2,10,43,0,4,8,mmmmnmnnnn其中当且仅当即或或.0034686106106104246CCCCCC时得展开式中的常数项为练:
2*31
(1)(),28,_.nxxxnNnnx已知的展开式中没有常数项且则解:
3431()CC,nrnrrrnrnnxxxxx展开式的通项为通项分别与前面的三项相乘可得44142C,C,C,28rnrrnrrnrnnnxxxn展开式中不含常数项441424,83,72,6,5.nrnrnrnnnn且且,即且且题型九:
奇数项的系数和与偶数项的系数和;例:
2006
(2),2,_.xxSxS在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当时解:
2006123200601232006
(2)xaaxaxaxax设=-2006123200601232006
(2)xaaxaxaxax=-3520052006200613520052()
(2)
(2)axaxaxaxxx得2006200620061
(2)()
(2)
(2)2xSxxx展开式的奇次幂项之和为320062200620063008122,
(2)(22)(22)222xS当时题型十:
赋值法;例:
设二项式的展开式的各项系数的和为,所有二项式系数的和为,若31(3)nxxps,则等于多少?
272psn解:
若,有,230121(3)nnnxaaxaxaxx01nPaaa02nnnnSCC令得,又,即解得1x4nP272ps42272(217)(216)0nnnn,.216217()nn或舍去4n练:
若nxx13的展开式中各项系数之和为,则展开式的常数项为多少?
64解:
令,则nxx13的展开式中各项系数之和为,所以6n,则展开式的常数1x264n项为33361(3)()Cxx.540例:
200912320092009120123200922009(12)(),222aaaxaaxaxaxaxxR若则的值为解:
2009200912120022009220091,0,2222222aaaaaaxaa令可得20091202200901,1.222aaaxa在令可得因而练:
55432154321012345
(2),_.xaxaxaxaxaxaaaaaa若则解:
0012345032,11,xaxaaaaaa令得令得1234531.aaaaa题型十一:
整除性;例:
证明:
能被64整除22*389()nnnN证:
2211389989(81)89nnnnnn011121111111888889nnnnnnnnnnCCCCCn011121118888
(1)189nnnnnnCCCnn01112111888nnnnnnCCC由于各项均能被64整除22*389()64nnnN能被整除
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