走向高考一轮总复习人教A版数学 文科101.docx
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走向高考一轮总复习人教A版数学 文科101.docx
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走向高考一轮总复习人教A版数学文科101
基础巩固强化
1.问题:
①三种不同的容器中分别装有同一型号的零件400个、200个、150个,现在要从这750个零件中抽取一个容量为50的样本;②从20名学生中选出3名参加座谈会.
方法:
Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法.
其中问题与方法能配对的是( )
A.①Ⅰ,②Ⅱ B.①Ⅲ,②Ⅰ
C.①Ⅱ,②ⅠD.①Ⅲ,②Ⅱ
[答案] C
[解析] ①容器与抽取的样本无关,且总体数比较大,故可用系统抽样来抽取样本,②总体与样本都较少,可用随机抽样法.故选C.
2.(2013·安徽省安庆二中第一学期段考)某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如表,已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19,现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( )
一年级
二年级
三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
A.24 B.18 C.16 D.12
[答案] C
[解析] 由条件知,二年级女生有2000×0.19=380名,
∴三年级有学生2000-(373+377+380+370)=500名,
由分层抽样定义知,在三年级应抽取500×
=16名.
3.(2012·浙江嘉兴基础测试)一个单位有职工80人,其中业务人员56人,管理人员8人,服务人员16人,为了解职工的某种情况,决定采取分层抽样的方法,抽取一个容量为10的样本,每个管理人员被抽到的概率为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 本题主要考查分层抽样的特点.据题意管理人员这一层中每个个体被抽到的概率等于从总体中抽取10个样本每个个体被抽取的概率,即其概率为
=
.
4.(文)将参加夏令营的600名学生编号为:
001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003,这600名学生分住在三个营区.从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区.三个营区被抽中的人数依次为( )
A.26,16,8B.25,17,8
C.25,16,9D.24,17,9
[答案] B
[解析] 根据系统抽样的特点可知抽取的号码间隔为
=12,故抽取的号码构成以3为首项,公差为12的等差数列.在第Ⅰ营区001~300号恰好有25组,故抽取25人,在第Ⅱ营区301~495号有195人,共有16组多3人,因为抽取的第一个数是3,所以Ⅱ营区共抽取17人,剩余50-25-17=8人需从Ⅲ营区抽取.
(理)(2012·山东理,4)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查.为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷B的人数为( )
A.7B.9
C.10D.15
[答案] C
[解析] 采用系统抽样方法从960人中抽取32人,将整体分成32组,每组30人,即l=30,第k组的号码为(k-1)30+9,令451≤(k-1)30+9≤750,而k∈Z,解得16≤k≤25,则满足16≤k≤25的整数k有10个.
5.(文)(2011·安徽名校联考)某市电视台为调查节目收视率,想从全市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本,已知3个区人口数之比为235,如果最多的一个区抽出的个体数是60,则这个样本的容量=( )
A.96B.120
C.180D.240
[答案] B
[解析] 设样本容量为n,则
=
,
∴n=120.
(理)(2012·大连部分中学联考)某公司有普通职员150人、中级管理人员40人、高级管理人员10人,现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查,若在已抽取的40人的问卷中随机抽取一张,则所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 由分层抽样知,在普通职员中抽30人,中级管理人员抽8人,高级管理人员中抽2人.由古典概型知,所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为
,选C.
6.某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格.由于不小心,表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10件,根据以上信息,可得C产品的数量是( )
产品类别
A
B
C
产品数量(件)
1300
样本容量(件)
130
A.900件B.800件
C.90件D.80件
[答案] B
[解析] 设A、C产品数量分别为x件、y件,则由题意可得:
∴
∴
故选B.
7.一个总体分为A、B两层,其个体数之比为41,用分层抽样法从总体中抽取一个容量为10的样本,已知B层中甲、乙都被抽到的概率为
,则总体中的个体数是________.
[答案] 40
[解析] 设x、y分别表示A、B两层的个体数,由题设易知B层中应抽取的个体数为2,
∴
=
,解得y=8或y=-7(舍去),∵xy=41,∴x=32,x+y=40.
8.(2011·安徽皖南八校联考)某班有50名学生,现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生,将这50名学生随机编号1~50号,并分组,第一组1~5号,第二组6~10号,……,第十组46~50号,若在第三组中抽得号码为12的学生,则在第八组中抽得号码为________的学生.
[答案] 37
[解析] 组距为5,(8-3)×5+12=37.
9.(2011·蚌埠二中质检)某工厂对一批产品进行抽样检测,根据抽样检测后的产品净重(单位:
g)数据绘制的频率分布直方图如图所示,已知产品净重的范围是[96,106],若样本中净重在[96,100)的产品个数是24,则样本中净重在[98,104)的产品个数是________.
[答案] 60
[解析] 设样本容量为x,则x·(0.05+0.1)×2=24,∴x=80,∴样本中净重在[98,104)的产品个数是x·(0.1+0.15+0.125)×2=80×0.375×2=60.
10.(文)(2011·北京石景山测试)为预防甲型H1N1病毒暴发,某生物技术公司研制出一种新流感疫苗,为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%,则认为测试没有通过),公司选定2000个流感样本分成三组,测试结果如下表:
A组
B组
C组
疫苗有效
673
x
y
疫苗无效
77
90
z
已知在全体样本中随机抽取1个,抽到B组疫苗有效的概率是0.33.
(1)求x的值;
(2)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果,问应在C组抽取多少个?
(3)已知y≥465,z≥30,求不能通过测试的概率.
[解析]
(1)∵在全体样本中随机抽取1个,抽取B组疫苗有效的概率约为其频率,即
=0.33,
∴x=660.
(2)C组样本个数为y+z=2000-(673+77+660+90)=500,
现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果,则应在C组抽取个数为
×500=90.
(3)设测试不能通过的事件为A,C组疫苗有效与无效的可能的情况记为(y,z),由
(2)知y+z=500,且y,z∈N,所有基本事件有:
(465,35),(466,34),(467,33),(468,32),(469,31),(470,30)共6个,
若测试不能通过,则77+90+z>2000×(1-0.9),即z>33,
事件A包含的基本事件有:
(465,35),(466,34)共2个,∴P(A)=
=
,故不能通过测试的概率为
.
(理)有关部门要了解地震预防知识在学校的普及情况,命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查.某中学A、B两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查,A班5名学生得分为5、8、9、9、9;B班5名学生得分为6、7、8、9、10.
(1)请你估计A、B两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些;
(2)如果把B班5名学生的得分看成一个总体,并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本,求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率.
[解析]
(1)∵A班的5名学生的平均得分为(5+8+9+9+9)÷5=8,方差s
=
[(5-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(9-8)2+(9-8)2]=2.4;
B班的5名学生的平均得分为(6+7+8+9+10)÷5=8,方差s
=
[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=2.
∴s
>s
.
∴B班的预防知识的问卷得分要稳定一些.
(2)从B班5名同学中用简单随机抽样方法抽取容量为2的样本共有不同抽法有10种,∵总体平均数为
=
×(6+7+8+9+10)=8,∴其中样本6和7,6和8,8和10,9和10的平均数满足条件,故所求的概率为
=
.
能力拓展提升
11.(2011·北京东城模拟)在100个零件中,有一级品20个,二级品30个,三级品50个,从中抽取20个作为样本.
①采用简单随机抽样法:
抽签取出20个样本;
②采用系统抽样法:
将零件编号为00,01,……,99,然后平均分20组抽取20个样本;
③采用分层抽样法:
从一级品,二级品,三级品中共抽取20个样本.
下列说法正确的是( )
A.无论采用哪种方法,这100个零件中每一个零件被抽到的概率都相等
B.①②两种抽样方法,这100个零件中每一个零件被抽到的概率都相等;③并非如此
C.①③两种抽样方法,这100个零件中每一个零件被抽到的概率都相等;②并非如此
D.采用不同的抽样方法,这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的
[答案] A
12.(2011·深圳模拟)某学校在校学生2000人,为了迎接“2010年广州亚运会”,学校举行了“迎亚运”跑步和登山比赛活动,每人都参加而且只参与其中一项比赛,各年级参与比赛的人数情况如下表:
高一年级
高二年级
高三年级
跑步人数
a
b
c
登山人数
x
y
z
其中abc=253,全校参与登山的人数占总人数的
.为了了解学生对本次活动的满意程度,从中抽取一个200人的样本进行调查,则高三年级参与跑步的学生中应抽取( )
A.15人B.30人
C.40人D.45人
[答案] D
[解析] 由题意,全校参与跑步的人数占总人数的
,高三年级参与跑步的人数为
×2000×
=450,由分层抽样的概念知,高三年级参与跑步的学生中应抽取
×450=45人,故选D.
13.(文)(2011·九江二模)某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c,且a、b、c构成等差数列,则第二车间生产的产品数为( )
A.800B.1000
C.1200D.1500
[答案] C
[解析] 因为a、b、c成等差数列,所以2b=a+c,
∴
=b,∴第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一,根据分层抽样的性质可知,第二车间生产的产品数占总数的三分之一,即为1200双皮靴.
(理)
某校对高三年级的学生进行体检,现将高三男生的体重(单位:
kg)数据进行整理后分成六组,并绘制频率分布直方图(如图所示).已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16、0.07,第一、第二、第三小组的频率成等比数列,第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列,且第三小组的频数为100,则该校高三年级的男生总数为( )
A.480B.440
C.420D.400
[答案] D
[解析] 设第一、第二、第三小组的频率构成的等比数列公比为q,第三、第四、第五、第六小组的频率构成的等差数列公差为d,则由题意知
即
消去d得,16q2+8q-35=0.
∵q>0,∴q=
.
∴第三组的频率P=0.16q2=0.25.
设男生总数为x,则x×25%=100,∴x=400.
14.(2012·浙江文,11)某个年级有男生560人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,则此样本中男生人数为________.
[答案] 160
[解析] 本题考查了分层抽样的特点,因抽样比为
=
,所以样本中男生数应为560×
=160.
分层抽样是按比例抽取,一定要先找出抽样比.
15.(2011·西安模拟)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查.已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂.
(1)求从A,B,C区中应分别抽取的工厂个数;
(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比,用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.
[解析]
(1)工厂总数为18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数的比为
=
,所以从A、B、C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.
(2)记从A区抽取的两个工厂为A1、A2,从B区抽取的三个工厂为B1、B2、B3,从C区抽取的两个工厂为C1、C2,从这七个工厂中随机抽取两个,基本事件空间
Ω={(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2)}中共有21个基本事件,其中事件A=“这两个工厂中至少有一个来自A区”中含有11个基本事件,∴P(A)=
.
16.(2011·安徽淮南一模)某中学的高二
(1)班男同学有45名,女同学有15名,老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.
(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数;
(2)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项试验,方法是先从小组里选出1名同学做试验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做试验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率;
(3)试验结束后,第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74,第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74,请问哪位同学的试验更稳定?
并说明理由.
[解析]
(1)P=
=
,∴某同学被抽到的概率为
.
设有x名男同学,则
=
,∴x=3.
∴男、女同学的人数分别为3,1.
(2)把3名男同学和1名女同学记为a1,a2,a3,b,用(x,y)记录第一次抽到学生编码为x,第二次抽到学生编码为y,则选取两名同学的基本事件有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a1),(a2,a3),(a2,b),(a3,a1),(a3,a2),(a3,b),(b,a1),(b,a2),(b,a3)共12种,其中有一名女同学的有6种,
∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为
P=
=
.
(3)
1=
=71,
2=
=71,
s
=
=4,
s
=
=3.2.
第二位同学的试验更稳定.
1.为了检查某超市货架上的奶粉中维生素的含量,要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验,用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )
A.5,10,15,20,25B.2,4,8,16,32
C.1,2,3,4,5D.7,17,27,37,47
[答案] D
[解析] 由系统抽样的概念知,抽样间距应为
=10,故选D.
2.为规范学校办学,省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽到一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应是( )
A.13B.19
C.20D.51
[答案] C
[解析] 由系统抽样的原理知抽样的间隔为
=13,故抽取的样本的编号分别为7,7+13,7+13×2,7+13×3,即7号、20号、33号、46号,从而可知选C.
3.做了一次关于“手机垃圾短信”的调查,在A、B、C、D四个单位回收的问卷依次成等差数列,再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本,若在B单位抽取20份问卷,则在D单位抽取的问卷份数是( )
A.30份B.35份
C.40份D.65份
[答案] C
[解析] 由条件可设从A、B、C、D四个单位回收问卷数依次为20-d,20,20+d,20+2d,则(20-d)+20+(20+d)+(20+2d)=100,∴d=10,
∴D单位回收问卷20+2d=40份.
4.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图),为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在(2500,3000)(元)月收入段应抽出的人数为( )
A.25B.30
C.35D.40
[答案] A
[解析] 抽出的人数为:
0.0005×500×100=25,选A.
5.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)的同学有30人,若想在这n个人中抽取50个人,则在[50,60)之间应抽取的人数为( )
A.10B.15
C.25D.30
[答案] B
[解析] 根据频率分布直方图得总人数
n=
=100,依题意知,应采取分层抽样,再根据分层抽样的特点,则在[50,60)之间应抽取的人数为50×
=15.
6.一个总体分为A,B两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知B层中每个个体被抽到的概率都是
,则总体中的个体数为________.
[答案] 240
[解析] 由分层抽样的定义知,B层中每个个体与总体中每个个体被抽到的机会相等,故总体中的个体数为20÷
=240.
7.(2012·河南郑州市质检)郑州市某学校为了促进教师业务能力的提升,决定组织部分学科教师参加市达标课活动,规定用分层抽样的方法,先从语文、英语、政治、历史、地理学科中抽取部分教师参加,各学科教师人数分布表如下:
学科
语文
英语
政治
历史
地理
人数
24
24
15
12
9
抽取人数
8
8
a
b
c
(1)求a,b,c的值;
(2)若要在历史和地理学科已抽取的教师中,随机选取两名教师参加市教学技能竞赛,求抽取的两位教师全是历史教师的概率.
[解析]
(1)因为语文、英语、政治、历史、地理这5个学科的总人数之比为88543,所以按照分层抽样各学科抽取的教师人数分别为8人、8人、5人、4人、3人.
故a=5,b=4,c=3.
(2)设历史教师分别记为x1、x2、x3、x4,地理教师分别记为y1、y2、y3,
则抽取两位教师可以是(x1,y1),(x1,y2),(x1,y3),(x2,y1),(x2,y2),(x2,y3),(x3,y1),(x3,y2),(x3,y3),(x4,y1),(x4,y2),(x4,y3),(x1,x2),(x1,x3),(x1,x4),(x2,x3),(x2,x4),(x3,x4),(y1,y2),(y1,y3),(y2,y3),共21种情况;
抽取的两位教师全是历史教师有(x1,x2),(x1,x3),(x1,x4),(x2,x3),(x2,x4),(x3,x4),共6种情况.
所以抽取的两位教师全是历史教师的概率为
=
.
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