数学广角.docx
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数学广角
教学目标:
1.通过观察、猜测、操作、画图、推理与合作交流验证等学习方法,探究找次品的策略,能够借助抽象记法对“找次品”问题进行分析,归纳出解决这类问题的最优策略,经历由多样化到优化的思维过程。
2、通过讨论、探究、逻辑推理等活动,寻找次品的优化方法,解决身边的数学问题,感受数学在日常生活中的广泛应用,经历数学方法从具体到抽象、从特殊到一般的提炼过程,初步培养学生的应用数学的意识和解决实际问题的能力。
四、教学重点:
经历观察、猜测、判断、推理的思维过程,归纳出解决问题的最优策略。
五、教学难点:
体会解决问题有多种策略,通过解决实际问题,初步学会运用最优化的方法解决问题。
六、教具准备:
小圆形卡片若干个、每小组一张记录纸
七、教学设计:
一、初步认识“找次品”的基本原理
1、创设情境,自主探索
出示南昌七城会的图标,介绍情况:
会徽创意的含义是通过运动、力量、激情、由既似运动场跑道、又像吉祥的彩虹勾构出数字“7”,生动表达第七届城运会的深刻内涵:
彩虹横跨,放飞和平,喜迎八方来宾,友谊和希望在这里相聚,鲜花锦簇,神采飞扬,展示出体育竞技的搏击与魅力,以红、绿、黄三色渲染,彰显出南昌这座充满希望的革命历史名城悠久的历史和深厚的文化底蕴及地域特征。
飞鸽将带着南昌的蓬勃发展和第七届城运会热烈、欢庆、祥和、团结、圆满的信息飞向全国,飞向世界、飞向千家万户。
师:
这里有三个乒乓球,其中一个要轻一些,是次品,你能想办法把它找出来吗?
生:
能。
师:
可以怎么找啊?
生:
略。
(数一数 掂一掂 用天平称等等)
师:
刚才有同学说用天平称一称,天平大家见过吗?
生:
见过。
师:
想一想,用天平称物体时有几种情况?
生:
两种情况。
(请学生演示)
师:
那么,怎样通过天平称的方法找出次品乒乓球呢?
生:
口述方法。
(同时课件演示)
师:
(揭示课题)在生活中常常有这样的情况,在一些看似完全相同的物品中混着一个质量不同的,或是轻一点或是重一点的物品,需要想办法把它找出来,像这一类问题我们把它叫做“找次品”,这节课我们就一起来研究如何使用天平“找次品”。
(板书课题:
找次品)
二、初步认识“找次品”的基本方法
小组合作:
从5个乒乓球中找出较轻的次品,至少用天平称几次一定能找到?
(课件展示)
(合作要求:
用5个圆片当乒乓球,在稿纸上画出简易天平。
你们是怎样称的?
称了几次?
)
指名汇报,同时用课件演示。
根据学生的回答用图示法板书学生的操作步骤:
5(2 2 1)→2(1 1) 2次
5(1 1 1 1 1 ) 2次
观察思考:
至少称几次就一定能找到这个次品呢?
(板书:
一定 至少)
小结:
在5瓶乒乓球中找到一个次品有2种方法,从这儿我们可以看出,用天平找次品的方法是多种多样的。
三、归纳策略,体会最优
(1)出示例2:
在9个网球中有一个是次品(次品重一些),你能用天平把它找出来吗?
至少需要几次要就一定能找出这个次品来,可以怎么称?
师:
称之前,我们要先想想怎么分。
注意听好要求:
以四人为一小组,利用手中的学具进行操作,然后把你称法用快捷记法记录下来,在小组互相说一说。
比比看,哪个小组想的方法最多!
教师巡视指导。
(2)请学生展示方法并说明,教师帮助整理称法。
(3)课件出示:
9(4,4,1) 4(2,2) 2(1,1) ……3次
9(3,3,3) 3(1,1,1) ……2次
9(2,2,2,2,1) 2(1,1) ……3次
9(1,1,1,1,1,1,1,1,1) ……4次
(4)师:
从9个网球中找出1个次品,至少要称几次,一定能找到?
(2次)如果再给你一次机会,你会选择哪一种方法?
为什么?
生:
第2种,因为它最简便。
师:
好,我们来看第二种方法。
它是把9个网球分成了几份啊?
(3份)第一种也是分成了3份,为什么称的次数要多一些呢?
生:
因为它没有平均分。
师:
为什么平均分成3份,称的次数最少呢?
(学生思考)引导学生观察第一种和第二种方法,称一次后,次品所在的范围,通过比较得出平均分成3份的方法最好!
板书:
平均分成3份
四、猜想和验证
(l)提出猜测:
那么,当物品的数量是3的倍数时,是不是只要平均分成3份的方法都能保证找出次品而且所需次数一定最少呢?
我们来猜一猜。
(2)学生猜想:
不一定或一定。
(3)要验证猜想我们应该怎么办?
用能平均分成3份的数试验一下。
为了方便验证,我们选取比较小的数12来试验一下。
根据我们的猜测可以把12怎么分?
(学生口述称的过程)我们再来看看别的分法能不能让称的次数更少。
还有哪些分法?
(2,2,2,2,2,2) (6, 6) (5,5,2) (3,3,3,3)……
(4)学生选择一种分法在纸上进行分析。
(5)全班汇报,引导学生比较:
有没有比平均分成3份的方法称的次数更少的了?
生:
没有。
师:
引导学生观察每种方法称一次,最坏的可能次品所在的范围。
3、假如物品的数量不能平均分成3份的话,又该怎么分才能保证找出次品的次数最少呢?
4、有20零件,其中19个质量相同,另有1个是次品,比其他的零件略重一些。
至少称几次能保证找出这个次品?
5、总结:
这样看来利用天平找次品的时候,当待测物品的数量是3的倍数时,我们把它平均分成3份,能保证称的次数一定最少而且找出次品。
那说明我们刚才的猜想是正确的。
20 3份(7、7、6) 3次
五、“规律”的应用
微软公司总裁比尔盖茨招聘副总裁:
在81个零件中找一个较轻的次品,最少称几次保证能找到?
(五)交流收获,总结全课:
1、谈收获:
通过这节课的学习,你有哪些收获?
《找次品》教学设计
唐海县第一实验小学 刘晓霞
教学内容:
找次品。
(人教版课本134页的例1,例2及相应练习)
教学目标:
1.能够借助纸笔对“找次品”问题进行分析,归纳出解决这类问题的最优策略,经历由多样到优化的思维过程。
2.以“找次品”为载体,让学生通过观察、猜测、实验、推理等活动,体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性。
3.感受数学在日常生活中的广泛应用,尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题,初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
教学重难点:
重点:
寻找用天平找次品的“最优化”方案。
难点:
知识的拓展及用最优方法解决生活中的问题。
教具准备:
多媒体课件
学具准备:
卡片
教学过程
一、创设情境、激发兴趣。
1.师:
大家平时愿意帮助别人吗?
老师遇到一个问题,你们愿意帮忙吗?
2.师:
最近我的身体不太好,买了3瓶同样的药,(出示三个药瓶)其中有1瓶我吃掉了几粒,这瓶比其他的要怎么样?
(轻一些)我不注意将这瓶药和另外两瓶混在了一起。
怎样才能帮我把这个次品找出来?
。
学生介绍各种方法。
(可以数数,用手掂一掂,用天平称)
3.师:
大家帮我找到了这么多方法解决问题,你认为哪种方法好,为什么?
(用天平称好)在数学学习中,解决问题的方法是多种多样的,但通常都有一种最有效最简便的方法,我们把它叫做最优化的方法,下面就让我们带着优化的思想走进课堂。
【设计意图:
通过生活实例,一上课就吸引住学生的注意力,调动他们的探究兴趣,为后面的教学做好铺垫,使学生进入最佳的学习状态。
同时让学生感受数学与生活的联系】
二、初步认识“找次品”的基本原理
1、自主探索。
师:
既然大家认为用天平称是最好的方法,怎样用天平找出这瓶药?
我们就用双手来模拟天平,谁愿意到前边来说说自己的想法?
学生汇报方案。
师据生回答板书:
3(1,1,1) 1次
师:
你们真聪明!
在生活中我们常常会遇到这样的情况,在一些外观看似相同的物品中,混着一个质量不同轻一点或重一点的物品,需要我们想办法把它找出来,像这类问题我们把它叫做“找次品”,今天我们就一起研究如何使用天平来“找次品”。
2、刚才大家很容易就从3瓶中找到了次品,如果是5瓶药,你还能用天平将那个次品找出来吗?
请你把自己的想法借助学具摆一摆与同桌讨论交流。
在交流时注意说清以下问题:
A 出示:
(1)你把待测物品分成几份?
每份是多少?
(2)天平两端各放几个?
(3)假如天平平衡,次品在哪里?
假如天平不平衡,次品又在哪里?
(4)至少称几次就一定能找出次品来?
B 学生汇报演示。
师据生回答板书:
5(2,2,1) 2(1,1) 2次
5(1,1,1,1,1)2次
【学情预设:
学生根据自己的实践情况,会出现两种方案:
①是一个一个的称,需要称2次;②是在天平的两边各放2个,也需要称2次。
在这里不急着评价哪种方法最好,只是让学生初步感知方法的多样性,为下个环节的探究做好铺垫。
】
三、从多种方法中,寻找“找次品”的最佳方案 “9”
师:
“大家都很聪明,能在5个药瓶里找出那个次品来。
那你能不能解决下面的问题呢?
”
1、课件出示例2
在9个零件里有1个是次品,(次品重一些),用天平称,至少称几次就一定能找出次品来?
(1)、师:
这次的次品有什么不同?
(次品重一些)请各组同学用学具代替零件模拟用天平称一称,小组长在纸上记录你们的操作过程,现在开始。
(学生小组合作学习。
)
(设计意图:
这一环节是本节课的重点也是难点,进行小组活动可以发挥集体的智慧,更容易突破这个难点。
)
(2)师:
谁愿意把你们小组的学习成果向同学们汇报一下?
(生汇报方法及称的次数。
)
师据生回答板书:
9(1,1,1,1,1,1,1,1,1) 4次
9(2,2,2,2,1) 2(1,1) 3次
9(3,3,3) 3(1,1,1) 2次
9(4,4,2) 4(2,2) 2(1,1) 3次
(设计意图:
小组汇报时将学生的各种方法展示出来,使学生进一步理解并初步掌握这种分析方法。
待测物品数量为9个时,只有平均分成3份称才能保证2次就找到次品,其他任何一种分法都比2次要多,这样便于学生发现规律。
)
2、观察分析,寻找规律。
师:
哪种方法最好?
为什么?
师:
这种方法我们把被测物品分成几份?
(分成三份)(4,4,2)也是分成了三份,与这种方法有什么不同?
(每份同样多,是平均分)你能得出什么结论?
得出结论:
平均分成三份保证找到次品所用次数最少。
师:
对于他的结论你有什么质疑?
(平均分三份的方法在其他数中也适合吗?
)
师:
要想知道结论是否正确怎么办?
(用其他数再试试)
那我们就验证一下。
还有哪些数也可以平均分成三份?
(12、15、18……)为了验证方便,咱们来选12试一试。
12可以分成几份?
怎样分?
(各组说说分法)请选择一种试一试至少需要称几次才能保证把次品找出来。
师:
哪组将12平均分成3份,至少需要称几次才能保证把次品找出来?
(板书:
12(4,4,4) (3次) )有没有一种方法比3次更少。
(没有)按照上面的猜想,将12平均分成3份,保证找到次品的方法是最好。
大家同意吗?
学生自由发言
师引导:
被测物能平均分3份时,怎样保证找出一个次品所用次数最少?
学生总结(把被测物平均分成三份)
师:
本节课我们找的次品都是几个?
(1个)并且已知了次品重或轻,我们用了什么工具?
(天平)当被测物能平均分3份时,怎样做?
(平均分成3份),保证找出次品所用次数最少。
出示:
物品外观都相同,一个次品混其中,已知质量轻或重。
若用天平称一称,数量平均分三份,次数最少保证行。
【设计意图:
充分发挥学生的主体性,让学生通过对比,自悟出找次品的最优方案,使求知成为学生自觉的追求,促使学生对学习产生了强烈的需求,突破了教学的重难点,培养了学生的解决问题的能力。
】
四、运用知识解决问题
1、136页2题
有15盒饼干,其中的14盒质量相同,另有1盒少了几块,如果能用天平称,至少几次保证可以找出这盒饼干?
(学生自己分析回答)
2、师:
如果把题目中的15换成27,至少几次保证可以找出这盒饼干?
师板书:
27(9,9,9) 3次
3、如果是81呢?
师板书:
81(27,27,27) 4次
五、拓展延伸
师:
你有什么发现?
(被测物每次乘3,所用次数加1)根据规律如果是243个物品,至少要用几次?
(5次),至少6次保证找到次品,被测物可能是多少?
(729)这节课我们研究的是什么问题?
(板书:
找次品)你有什么收获?
疑问?
(当被测物不能平均分3份时,怎么办?
)大家想知道吗?
课后你可以找到这样的数,继续试验。
下节课我们一起来研究。
板书设计:
找次品
3(1,1,1)1次 5(2,2,1) 2(1,1) 2次
9(3,3,3) 3(1,1,1)2次 5(1,1,1,1,1) 2次
27(9,9,9) 3次 12(4,4,4) 3次
81(27,27,27) 4次 15(5,5,5) 3次
2435次
、教学目标
知识技能目标:
让学生初步认识“找次品”这类问题的基本解决手段和方法。
过程方法目标:
学生通过观察、猜测、试验、推理等活动,体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性。
情感态度价值观目标:
感受到数学在日常生活中的广泛应用,尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题,初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
四、教学方法
1.加强学生的试验、操作活动。
本节课内容的活动性和操作性比较强,可以采取学生动手实践、小组讨论、探究的方式教学。
先多给学生一些时间,让他们充分地操作、试验、讨论、研究,找到解决问题的多种策略。
活动完成后再让学生分组汇报结果。
2.重视培养学生的猜测、推理能力和探索精神。
引导学生从纷繁复杂的方法中,从简化解题过程的角度,找出最优的解决策略。
引导学生逐步脱离具体的实物操作,转而采用列表、画图等方式进行较为抽象的分析,实现从具体到抽象的过渡。
五、教学过程
课前谈话
出示3瓶钙片,说明:
在这3瓶钙片中有一瓶少装了几颗,你能帮我找出是哪一瓶少装了吗?
学生自由发言。
在同学们说的这些方法中,你认为哪一种方法最好?
为什么?
[设计意图:
在这一环节中,要引导学生根据次品的特点发现用天平“称”的方法最好,知道并不需要称出每个物品的具体质量,而只要根据天平的平衡原理对托盘两边的物品进行比较就可以了。
]
出示天平。
说说怎样利用天平来找出这瓶钙片呢?
学生回答后小结:
可以把其中的2瓶分别放在天平的两个托盘中,如果天平平衡则没放上去的那一瓶少装了;如果天平不平衡则翘起一端的托盘中所放的那一瓶少装了。
揭示课题:
在生活中常常有这样的情况,在一些看似完全相同的物品中混着一个质量不同(轻一点或是重一点)的物品,需要想办法把它找出来,像这一类问题我们把它叫做“找次品”,这节课我们就一起来研究如何利用天平“找次品”。
板书课题:
找次品
[设计意图:
数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。
在教学例1前,先以3个待测物品为起点,降低了学生思考的难度,能较顺利地完成初步的逻辑推理:
那就是并不需要把每个物品都放上去称,3个物品中把2个放到天平上,无论平衡还是不平衡,都能准确地判断出哪个是次品。
只有理解了这些,后面的探究、推理活动才能顺利进行。
]
设疑:
如果老师有2187瓶钙片,其中一瓶少了一颗,用天平几次保证能找到次品?
请你猜一猜。
二、“找次品”的解决方法
小组合作:
从5瓶钙片中找出少装了的那瓶次品。
(合作要求:
用手模拟天平,用5个学具当钙片。
你们是怎样称的?
称了几次?
组长负责作好记录。
)
指名汇报,根据学生的回答同步用图示法板书学生的操作步骤:
平衡:
1 1次
5(2,2,1)
不平衡:
2(1,1) 2次
5(1,1,1,1,1) 1次或2次
……
从这儿我们可以看出,用天平找次品的方法是多种多样的。
[设计意图:
有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。
在这一环节中,让学生动手动脑,亲身经历分、称、想的全过程,从不同的方法中体验解决问题策略的多样性。
但考虑到学生用天平来称在操作上会很麻烦,以前对天平的结构、用法以及平衡与不平衡所反映的信息都已经有了很好的掌握,为了便于学生操作和节省时间,所以让学生用手模拟天平来进行实践探究。
图示法较为抽象,对学生来说不容易理解,在这里只是让学生初步感知,教学时教师根据学生的回答同步板书,便于学生理解每项数据、每种符号的含义,为后面的学习打下一定的基础。
]
观察板书的图示法,思考:
至少称几次就一定能找到这个次品呢?
[设计意图:
学生在实际的操作中,可能会出现提前找到次品的情况,如果运气好的话称1次就可能找到次品。
在这里必须引导学生在理解“至少称几次就一定能找到这个次品” 的含义,在此基础上让学生明白:
当我们选用一种方法来分析的研究问题时,应注意把可能出现的结果考虑全面,才能得出正确的结论。
同时也为下面的填表、探究优化策略作好准备。
]
三、探索最优策略
在9个零件中有一个次品(次品重一些),用天平称,至少称几次就一定能找到这个次品呢?
小组分工合作:
用学具摆一摆并尝试画图表示摆的过程,完成下表。
(合作要求:
2名同学摆学具,2名同学用图示法作记录,2名同学分析填表。
)
零件个数
分成的份数
每份的个数
至少称几次就一定能找到这个次品
[设计意图:
这一环节是本节课的重点也是难点,必须进行小组活动,发挥集体的智慧才能突破这个难点。
为了保证小组活动的有效性,活动前先在小组内进行分工,使每个成员都明确自己的任务。
让学生摆学具而不再使用天平,并尝试用图示法记录操作过程,是完成由具体到抽象过渡中的重要一步。
]
指名汇报,根据学生的回答填表并板书:
平衡 3(1,1,1)
9(3,3,3)
不平衡3(1,1,1) 2次
平衡1
9(4,4,1) 平衡2(1,1) 3次
不平衡4(1,1,2)
不平衡1
平衡1
平衡(2,2,1)
9(2,2,2,2,1) 不平衡2(1,1) 3次
不平衡2(1,1)
9(1,1,1,1,1,1,1,1,1) 4次
……
引导观察:
用哪一种方法保证能找出次品需要称的次数最少?
小结:
平均分成3份去称,保证能找出次品所需的次数最少。
[设计意图:
小组汇报时将学生的操作过程用图示法板书,使学生进一步理解并初步掌握这种分析方法。
待测物品数量为9个时,只有平均分成3份称才能保证2次就找到次品,其它任何一种分法都比2次要多,这样便于学生发现规律。
]
解决课始提出的问题,只需7次,让学生从强烈的对比中感受数学的魅力。
不能平均分成3份的应该怎样分呢?
全班合作:
用图示法从10个和11个零件中找出一个次品。
(合作要求:
将全班所有的小组分成2部分,一部分小组分析“从10个零件中找出一个次品”,另一部分小组分析“从11个零件中找出一个次品”。
小组内先共同讨论出几种不同的分法,再2人合作选一种(组内不重复)用图示法分析。
)
指名汇报,投影展示学生的分析过程。
引导观察,感知规律:
一是把待测物品分成三份;二是要分得尽量平均,能够均分的就平均分成3份,不能平均分的,也应该使多的一份与少的一份只相差1。
[设计意图:
设计待测物品数量为10个和11个,带领学生经历由特殊到一般的数学分析模式,在此基础上使学生比较全面地感知找次品这类问题的基本解决手段和方法。
在这一环节中,让学生完全脱离具体的实物操作,实现从具体形象思维到抽象逻辑思维的过渡,但考虑到学生独立用图示法分析仍有难度,因而采用两个合作的方式进行。
把学生分成2部分分别分析10个和11个,并要求小组内选方法时“组内不重复”,这样能提高探究的效率,在较短的时间内把几种情况都分析到。
]
你知道这是为什么吗?
你能不能对这个规律作出解释?
[设计意图:
4-6年级学段目标中指出:
在解决问题的过程中,能进行有条理的思考,能对结论的合理性作出有说服力的说明,能表达解决问题的过程,并尝试解释所得的结果。
学生通过合作探索、归纳总结出了“找次品”的最优策略,解释这个规律能使学生对得出结论从感性认识上升为理性认识。
要想用比较少的次数找到次品,那么每称一次都应该将次品锁定在一个尽可能小的范围内,因为天平有2个托盘,每称一次不但能对放上去的2份进行推理判断,还能对没放上去的1份进行推理判断,所以每称一次保证能锁定范围的最小值是待测物品的三分之一左右。
]
四、拓展提高
猜测:
这种方法在待测物品的数量更大时是否也成立呢?
第135页“做一做”:
有( )瓶水,除1瓶是盐水略重一些外,其他几瓶水质量相同。
至少称几次能保证找出这瓶盐水?
请你选择一个合适的数来解这道题,独立用图示法分析,验证你的猜测是否正确。
[设计意图:
本节课中提供的归纳方法在本质上是一种不完全归纳法,对数量更大时的情形是否适用,还需要通过试验来检验。
先让学生进行猜测,引发学生进一步进行归纳、推理等数学思考活动,再将“做一做”进行适当的改编,设计成较为开放的问题,既能满足不同层次学生的需求,又可以用更多的数据对总结的规律进行验证。
如果课堂时间不允许,这一环节也可以作为课堂的延伸让学生课后完成。
]
《找次品》教学反思
著名的心理学家布鲁纳说过这样一句话:
“学习的最好刺激是对学习材料的兴趣。
”学生有了兴趣,学习活动对他们来说不是一种负担,而是一种享受、一种愉悦的体验。
因此,上课开始,我首先拿出学生们喜欢的口香糖调动学生的兴趣,并与学生交流:
“老师这里有3瓶口香糖,要送给今天表现得最出色的同学,不过其中有一瓶已经被我吃过了两片,送给你们肯定不行,你能用什么办法把它找出来吗?
”随着学生的回答揭示本节课的教学内容“找次品”:
在生活中个重量不同的,轻一点或是重一点,利用天平能够快速准确的把它找出来,我们把这类问题叫做“找次品”。
从3瓶口香糖中找次品的方法是本节课的基础。
在这一环节中,我让学生用手做天平的托盘,感知从3瓶口香糖中找次品,只要称一次就足够了。
接着
让学生用五个圆片代替5瓶口香糖,通过自己动手操作,体验从五件物品中找出一件次品的基本方法。
随后,师生小结出方案。
第一种方案:
每份分一个,至少需要称两次就一定能找出来。
第二种方案:
有2份分2个,1份分1个,至少需要称两次就能找出来。
然后通过从9个零件中找出一个轻一些的次品,归纳出找次品的最优方法。
《数学课程标准》强调:
“教师是学习的组织者、引导者和合作者。
”教师的引导能让学生对学习的程序、方式、方法、策略等有更进一步的了解。
所以,本环节我把主动权
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