第五章《轴对称图形》教案.docx
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第五章《轴对称图形》教案
第五章《轴对称图形》教案
第1课时5.6
课题:
5.1轴反射与轴对称图形
教学目标
1、通过具体实例认识轴对称图形、对称轴,能画出简单轴对称图形的对称轴。
2、会用对折的方法判断轴对称图形,理解作对称轴的方法。
3、探索轴反射,理解轴反射的性质。
4、通过丰富的情境,使学生体验丰富的文化价值与广泛的运用价值。
教学重点、难点轴对称图形的概念,作对称图形的对称轴,理解轴反射图形的性质。
教学过程
一、回顾交流,列举识别
1、怎样又快又好地剪出这个“王”字。
说明:
让学生用纸、剪刀剪一剪。
2、这个“王”字有什么特征?
说明:
对折后能够互相重合,具有这种特征的图形叫轴对称图形,这条折痕所在的直线叫做对称轴。
还记得吗?
上学期在图形欣赏与操作一章中我们曾剪过双“喜”字,它是什么图形?
我们是运用了它的什么性质作出来的?
3、在以前,我们已经学过轴对称图形,请例举一些数学、生活中的轴对称图形。
说明:
让学生举例以回顾小学所学的知识,丰富学习情境,但要注意学生所举的例子会存在思路偏窄,教师要注意引导拓宽。
4、教师展示如下画面的图画:
指出下列图片中,哪些是轴对称图形。
说明:
进一步丰富情境,体验轴对称的丰富的文化价值与广泛的运用价值、
二、合作探索1。
做一做:
教师可以启发学生:
(1)用对折的方法判断一个图形是否是轴对称图形;
(2)被折叠的哪条直线就是它的对称轴
2、交流归纳,总结如下:
矩形,菱形、正方形、圆、等腰三角形、等边三角形、正六边形都是轴对称图形;有些图形的对称轴还不只一条。
3、试一试:
P115练习题
三、轴反射
1、问:
在一张纸上盖上一个印,趁油墨未干之时,将纸张对折得到一个图形,随后打开纸张展平,观察两图形会有怎样的现象?
我们上面探讨的是一个图形具有的特点。
这里是两个图形关于直线L对折后重合,我们又把它叫做什么呢?
2、讲授概念:
轴反射——两图形沿着某直线对折后能重合,就叫作该关于直线做了轴反射。
其中一个图形叫作原像,另一个图形叫作图形在这个轴反射下的像。
轴对称——如果一个图形关于某直线做轴反射,能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称;也称这两个图形轴对称;这条直线叫对称轴;互相重合的两个点,其中一点叫作另一个点关于这条直线的对称点。
3、问:
两图形上的对称点有什么特点呢?
观察P116图5-6。
讨论交流后小结:
(1)对称点的连线与对称轴垂直:
对称点到对称轴的距离相等。
我们根据这个特点作轴对称图形:
任意画一个简单图形作出关于直线对称的图形。
试一试:
P116做一做,画出树干的另一半。
观察思考:
所作图形与原图形的大小、形状如何?
小结:
(2)轴反射不改变图形的形状和大小。
四、课堂小结
五、作业:
P116设计图案P117A组1题
第2课时5.7
课题:
5.1线段的垂直平分线
教学目标
(一)知识要求了解线段垂直平分线的性质。
(二)能力训练要求
1、经历探索简单图形轴对称性的过程,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念。
2、探索并了解线段垂直平分线的有关性质。
(三)情感与价值要求
通过师生的共同活动,培养学生的动手能力,进一步发展其空间观念。
教学重点探索线段垂直平分线的性质。
教学难点体验轴对称的特征。
教学方法启发诱导法。
教学过程
一、巧设现实情景,引入新课
1、上节课我们探讨了轴对称图形,知道现实生活中由于有轴对称图形,而显得异常美丽。
那什么样的图形是轴对称图形呢?
如果一个图形沿着一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。
2、大家想一想,我们以前学过的哪些几何图形是轴对称图形呢?
正方形、矩形、圆、菱形、等腰三角形、角、线段。
3、刚才有人提出“线段是轴对称图形”。
今天我们就来研究这个简单的轴对称图形。
二、讲授新课
1、线段是轴对称图形吗?
如果是,你能找出它的一条对称轴吗?
线段是轴对称图形,它的对称轴是与线段垂直的且垂足是线段中点的直线。
线段还可以沿它所在的直线对折,使得与原来的线段重合,所以说:
线段所在的直线也是线段的对称轴。
(1)画一条线段AB,对折AB使点A、B重合,折痕与AB的交点为O。
问:
OA=OB吗?
折痕与直线所成的两个角是多少度?
折痕(即线段的对称轴)与线段有什么关系?
(2)讨论交流后小结:
垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线简称中垂线。
线段是轴对称图形,它的对称轴就是线段的垂直平分线。
做一做:
你能画出线段的对称轴吗?
任意画一条线段,然后用带有刻度的直角三角板画出线段的垂直平分线。
2、按照下面的步骤来做一做:
(1)在折痕上任取一点C,沿CA将纸折叠。
(2)把纸展开,得到折痕CA和CB。
(1)由上面的知识可知:
CO与AB有怎样的位置关系?
OA与OB相等吗?
(2)哪CA与CB相等呢?
能说明你的理由吗?
在折痕上另取一点,再试一试。
(3)那由此可以得到什么样的结论呢?
同学们讨论、归纳。
从刚才操作的过程及得出的结论可以知道:
线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
小结:
线段垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
这个性质具有绝对性。
做一做:
(1)有一条线段AB,如果直线MN是线段AB的垂直平分线,那么如果给出一点C,且C点在直线MN上,那么可得出什么结论?
如果有一点P不在直线MN上,PA、PB相等吗?
(2)如图,线段AB、BC的垂直平分线相交于点P,试问线段PA、PB、PC的长度相等吗?
3、问:
反过来——到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上吗?
学生讨论交流后小结:
到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
4、问:
根据刚才所学知识只用圆规和直尺(不量长度)你能作出线段的垂直平分线吗?
作法:
(1)。
分别以点A、B为圆心,以大于1/2AB的长为半径画弧,两弧相交于点C、D;
(2)作直线CD
所以直线CD就是线段AB的垂直平分线。
问:
(1)这样所作的直线为什么是线段的垂直平分线?
(2)你能作出线段AB的中点吗?
三、课堂练习课本P120随堂练习12
四、课堂小结
这节课通过探索简单图形轴对称性的过程,了解线段垂直平分线的有关性质。
同学们应灵活应用这些性质来解决问题。
五、作业:
P121A组1、2题
课外活动与探究
如图7-4所示:
要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A、B到它的距离之和最短。
图7-4
图7-5
作点A关于l(街道看成是一条直线)的轴对称点A′,连接A′B与l交于C点。
奶站应建在C点处,才能使从A、B到它的距离之和最短。
第3课时5.8
课题:
5.3三角形
教学目标
1、进一步认识三角形的概念。
2、会用符号、字母表示三角形。
3、理解三角形任何两边之和大于第三边的性质。
教学重点、难点
1、本节教学的重点是三角形任何两边的和大于第三边的性质。
2、判断三条线段能否组成三角形,过程较复杂,是本节教学的难点。
教学过程
一、三角形的概念及表示
1、生活图片引入,抽象出三角形,概括“三角形”的概念(可由学生完成,教师加以完善)
由不在同一直线上的三点所组成的图形叫做三角形(或由不在同一直线上三条线段首尾依次相连所组成的图形)。
三角形的顶点、内角(简称角)、边。
2、三角形的表示方法
(1)如右图,图中有几个三角形?
——可引导学生作有条理的分类;
(2)怎么表示?
——学生会想到顶点处标上大写字母,引出三角形的符号表示,可与“∠”的用法对比;
(3)你能写出每个三角形的三条边和三个内角吗?
(4)三角形三边的其他表示:
如右图。
二、探索三角形的三边关系
1、小组合作:
取三根小木棒看能否拼成一个三角形?
如果取任意长度的三根小木棒它们一定能拼成三角形吗?
(1)目测哪一条边最长?
(2)比较最长的一条边与另两条边的长度之和,哪一个更长?
(3)根据测量结果由此你发现了什么?
(4)为什么会有这样的结论呢?
(连结两点的线中线段最短)
结论:
—个三角形较短的两边之和大于最长的一边;三角形任何两边的和大于第三边。
问:
那么三角形任何两边的差与第三边有什么关系?
让学生通过上述实验得到:
三角形任何两边的差小于第三边。
小结三角形三边之间满足的关系:
任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边。
2、三角形三边关系的应用
例1判断下列各组线段中,哪些能组成三角形,
哪些不能组成三角形,并说明理由。
(1)a=2.5cm,b=3cm,c=5cm;
(2)e=6.3cm, f=6.3cm,g=12.6cm;
(3)m=4cm,n=6cm,p=lcm。
教师可让学生自己选择方法(以上三个结论均可用),从中挑选较为简洁的方法:
要判断三条线段能否组成三角形,只要把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较。
如果最长的一条线段小于另外两条线段的和,那么这三条线段能组成三角形;如果最长的一条线段大于或等于另外两条线段的和,那么就不能组成三角形。
引申:
你想找一根多长的小棒与长为4cm,6cm两根小棒首尾相接组成三角形?
分析:
学生根据已掌握的知识可找出小棒的长为3cm,4cm,7em等等,引导学生概括:
两边之差<第三边<两边之和。
三、三角形中概念
1、如图,按给定的下列
条件画出图形:
图a中∠1=∠2图b中BE=EC
图C中∠BHA=∠CHA=900
问:
根据给定的条件,你给这些线段起个什么名称?
2、学生活动后小结:
三角形的角平分线——
三角形的中线——
三角形的高——
3、做一做:
任意画一个三角形,你能画出这三条线段吗?
4、练一练:
(1)如图AE是∆ABC的角平分线,已知∠B=450∠C=600
求下列角的大小∠BAE;∠AEB
首先让学生仔细观察图形,分析已知条件,教师作好引导
(2)在∆ABC中,AD是BC边上的中线,已知AB=7AC=5,
求∆ABD和∆ACD的周长的差
(3)在△ABC中,∠B=20°∠C=30°,BD为AC边上的高,求∠ABD大小?
四、课堂小结
五、作业:
P123A组1、2题
课外探究
若三角形的周长为17,且三边长都是正整数,那么满足条件的三角形有多少个?
你可以先固定一边的长,用列表法探求。
第4课时5.11
课题:
5.4三角形的内角和
(1)
教学目标
通过实践活动,理解三角形三个内角的和等于180o,理解直角三角形的两锐角互余的性质。
了解三角形的分类
教学重点、难点三角形三个内角和等于180o的性质。
教学过程
1.合作学习:
①请每个学生利用手中的三角形(已备),把三角形的三个角撕(或剪)下来,然后把这三个角拼起来,然后观察这三个角拼成了一个什么角?
②请学生归纳这一结论,教师板书:
三角形的三个内角的和等于180O
你能证明这个结论吗?
(可以把角B平移到点C使点B和点C重合)
2、三角形内角和性质的应用
1口答:
△ABC中,∠A=45O,∠B=60O,求∠C
2△ABC中,∠A=57O18,,∠B=46O49,。
求∠C
③△ABC中,∠A=∠B,∠C=110O,求∠A,∠B
④△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,求这个三角形的三个内角。
3、由上题练习得出图中三角形的形状
①②得出的三角形的三个角都是锐角,这样的三角形称之为锐角三角形
③得出的三角形有一个角是钝角,这样的三角形称之为钝角三角形
④得出的三角形有一个角是直角,这样的三角形称之为直角的三角形
钝角三角形和锐角三角形合称为斜三角形。
4、直角三角形
(1)直角三角形的表示方法:
Rt△;直角三角形ABC表示成Rt△ABC。
读作——
(2)直角三角形的边:
直角边;斜边。
(3)等腰三角形、等腰直角三角形的概念:
(4)直角三角形的两锐角有什么关系?
学生讨论后小结:
直角三角形的两锐角互为余角。
若一个三角形为Rt△,那么它的其余两个锐角互余。
5、做一做:
P125练习1、2、3题
6:
小结与探究:
1
三角形的内角和性质;三角形的分类。
2三角形的内角和是1800,任意四边形、五边形、六边形的内角和是多少呢?
第5课时5.11
课题:
三角形的内角和
(2)
教学目标
理解三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,三角形的外角和3600的性质。
运用三角形的内角和外角和的性质简单的几何问题。
教学重点、难点三角形外角和的性质
教学过程
1、知识回顾
1三角形的内角和是多少?
根据角把三角形分为哪几类?
.
.在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,求∠C的度数。
.
一个三角形两个内角的度数分别如下,这个三角形是什么三角形?
。
已知三角形三个内角的度数之比为:
1∶3∶5,求这三个内角的度数。
2、三角形外角和的性质
1定义:
三角形的一边的延长线和另一边组成的角,叫做三角形的外角。
说明:
相邻内角,与外角不相邻的内角。
动手画一画:
任意画一个三角形,画出它们的外角?
想一想:
与三角形的一个内角相邻的外角有多少个?
它们之间有什么关系?
三角形的外角与内角之间有什么关系?
由图得:
∠BCE+∠ACB=180O而∠A+∠B+∠ACB=180O∴∠BCE=∠A+∠B
从而得到定理:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
练习:
1)△ABC中,∠ACD=120O∠A=50O,求∠B、∠ACD
2),已知,在△ABC中,
∠C=Rt∠,D是BC上一点,
已知∠1=∠2,∠B=25O,求∠BAD数。
如上知:
一个三角形有六个外角,其中一个内角有两个外角且
这两个外角是相等的。
如果每一个内角取它的一个外角,那么这三个外角的和有多大?
探究:
如图指出每一个内角的一个外角;
由外角的性质它们各等于什么?
由上所得三个等式可以得出什么结论?
你能用语言表达这个结论吗?
师生活动后小结:
三角形的三个外角的和等于3600
3、小结:
认识三角形的外角的概念,并能准确寻找外角和内角
三角形的外角的性质
4、课堂练习:
P127练习、1、2题
5、作业:
P128、A组题1、2题
课外探究:
P128B组题。
第6课时5.12
课题:
5.5角平分线的性质
教学目标
(一)教学知识点理解角平分线的性质、三角形角平分线的特点和规律。
(二)能力训练要求
进一步发展学生的推理证明意识和能力,培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力。
体验解决问题策略的多样性,提高实践能力。
(三)情感与价值观要求
能积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲。
在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心。
教学重点难点角平分线的性质
教学方法探索——引导法
教学过程
Ⅰ、设置情境问题,搭建探究平台
问题还记得什么是角平分线吗?
角平分线是以这个角的顶点为端点的一条射线,它把这个角分为相等的两个角。
问题角平分线有怎样的性质呢?
我们用折纸的方法探索角平分线的性质,步骤如下:
用折纸法画出角POQ的平分线
在折线上任取一点R,过R点折出直线AQ的垂直线段
展开后标示出R、E、E’
展开后
和
是否相等?
_________
垂直线段
、
是否相等?
__________
在直线AR上另取一点S,分別向直线AP、AQ画垂线,此两垂直线段是否一样相等?
______
结论:
一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
从折纸过程中,我们可以得出RE=RE’,即角平分线上的点到角的两边的距离相等。
Ⅱ、展示思维空间,构建活动空间
1、如图,AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线,它们有什么关系?
解:
∵AD平分∠CAB
∴∠1=∠2=
∠CAB
又∵AE平分∠CAF,
∴∠3=∠4=
∠CAF
B
∵∠CAB=∠CAF=180°,
∴∠1+∠3=
(∠CAB+∠CAF)=
,
即AD⊥AE。
2、如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P,试问点P到三边的距离相等吗?
为什么?
3、如图,P为△ABC的外角平分线上任一点,且PE垂直BA,PD垂直AC,E、D分别是垂足,试探索BE与PB+PD的大小关系。
解:
因为AP是△ABC的外角平分线,
所以PD=PE
又PB+PD=PB+PE又PB+PE>BE即PB+PD>BE
、课时小结
这节课我们在折纸的基础上,得到了角平分线的性质,进一步发展学生的推理证明意识和能力。
巩固练习:
P130练习、1、2题
、课后作业:
P130习题A组1、2题
第7课时5.13
课题:
5.6等腰三角形
(1)
教学目标
使学生掌握等腰三角形的性质,并会运用它们进行有关的计算和证明;提高学生的逻辑思维能力及分析问题和解决问题的能力;培养学生“转化”的数学思想及应用意识,
教学重点难点:
等腰三角形的性质及应用。
教学方法:
主要采用引导发现法、探究法、讲解法、练习法等。
教学过程:
一、 创设情境,建模引入
出示学生都熟悉的人字梁屋架(图1),让学生观察并提出问题:
“图中的人字梁屋架的外观结构形式是什么图形?
”(答:
等腰三角形)、
“什么样的三角形是等腰三角形呢?
”(学生回答)
这节课学习等腰三角形。
(板书课题:
等腰三角形)
二、 讲授新课
1、等腰三角形有关概念:
如图介绍:
有两边相等的三角形叫等腰三角形; 图1
相等的两边叫作等腰三角形的腰;另一边叫作底边;
两腰的夹角叫作顶角,腰与底边的夹角叫作底角。
问:
等腰三角形除了一般三角形的性质外,还有哪些特殊性质呢?
2、实验探究,发现结论
问题1、画图:
用尺规任画一个等腰三角形,量出它的两个底角的度数,你能得到什么结论?
(学生回答,得出结论)
结论:
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
说明:
(1)所谓等边对等角,是指在同一个三角形中有两条边相等,则这两边所对的两个角也相等。
(2)“等边对等角”是在同一个三角形中证明两个角相等的常用方法。
问题2、让学生把刚才画好的等腰三角形用剪刀剪下来,然后对折,发现两个底角重合。
由此猜测上述结论是正确的。
从对折中你还可发现什么?
(AD是三角形的中线;顶角的平分线;高)
由此得结论:
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角的平分线是底边上的中线也是底边上的高(简称三线合一)。
等腰三角形是轴对称图形,底边上的垂直平分线是它的对称轴。
说明:
(1)在等腰三角形中,当顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高三者出现其一,要及时联想到另外两条也成立。
(2)“等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”是证明两条线段相等、两个角相等两条直线互相垂直的重要依据。
点评:
从实际图形中发现结论,并验证结论,这也是探究几何问题的方法之一。
3、深入实际,应用举例
例1已知:
如图2,点D、E在⊿ABC的边BC上,AB=AC,
AD=AE,BD与CE相等吗?
为什么?
启发学生分析,然后按P132的例题写出解答,
并说明每一步的依据。
4、巩固练习,加深理解
⑴(口答题)等腰直角三角形的每一个锐角都等
于多少?
为什么?
⑵如果等腰三角形的一个底角等于75°,那么它
的顶角等于多少度?
⑶等腰直角三角形斜边上的高把直角三角形
分成两个角,求这两个角的度数。
⑷填空:
如图4,根据等腰三角形的性质定
理的推论填空,在△ABC中AB=AC时,
①∵AD⊥BC,
∴∠BAD =∠CAD , BD = CD ;
②∵AD是中线,
∴ AD ⊥ BC , ∠BAD = ∠CAD
③∵AD是角平分线,
∴ AD ⊥ BC , BD = CD 。
(5)已知等腰三角形的两条边长分别为5、10则这个三角形的周长是多少?
若把边长改为5、8;答案是否一样?
为什么?
三、课堂小结
1、等腰三角形有关概念。
2、 等腰三角形的性质;
四、作业:
P136 A组 1、2题
第8课时5.14
课题:
5.6等腰三角形
(2)
教学目标使学生熟练地掌握等腰三角形的性质。
教学重点、难点等腰三角形性质的应用。
教学过程
一、知识回顾
1、等腰三角形有哪些特殊的性质?
2、等腰三角形的底角一定是什么角?
3、等腰三角形的底角为20°,求它的顶角度数。
二、讲解与练习
1、等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm的两部分,求这三角形各边的长。
学生可能利用算术的方法,计算出腰长为10底边长为1、也可能算不出来,这里教师可作如下引导:
在图中,AB=AC,D为AB的中点(即AD=DB),设AD=xcm,则AB=AC=2cm(中线定义)。
由AC+AD=15cm,得
2x+x=15、解得x=5,……
本题是利用列方程的方法解得的,此法对于某些几何计算题来说,简捷而有效。
试一试。
2、已知:
图2,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD。
求△ABC各角的度数。
分析:
欲求三角形各角度数。
只需求出∠A度数,把∠A度数作为一个未知数x,则∠A=∠1=x°,∠2=∠A+∠1=2x°,∠ABC=∠C=∠2=2x°。
应用三角形内角和定理于△ABC,求出方程所对应的几何等式:
∠A+∠ABC+∠C=180°,即可得出关于x的方程。
2、已知:
如图3,点D、E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE。
求证:
BD=CE
通过分析使学生发现,要作AF⊥BC即底边上的高这条辅助线(这是证明的关键所在),并告诉学生这是等腰三角形中一种常见的辅助线。
利用这条辅助线就很容易证得结论。
并说明,这是利用等腰三角形的“三线合一”性质来证明的题目。
做一做:
(1)等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗?
为什么?
(2)P132练习题第2题
三、小结
1。
列方程解几何计算题是几何计算题的一种重要解法,在这种解法中,寻求几何等式是基础,把几何等式的各项转化为未知数x的代数式是关键。
2、对于等腰三角形的”三线合一”性质要灵活运用。
常常作它们为辅助线。
四、作业:
P143或补充
思考题:
在例题中辅助线改为△ABC的顶角平分线AF,写出证明过程。
第9课时5.15
课题:
5.6等腰三角形等(3)
教学目标:
知道等腰三角形的判定定理,能运用定理进行简单的推理和计算。
教学重点:
等腰三角形的判定
教学过程
一、复习引入
1、请同学们回顾等腰三角形的性质有哪些?
2、反过来:
如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等吗?
二、探究新知
作出图形,根据图形在△ABC中,∠C=∠B。
问AB=AC吗?
作一个有两个角相等的三角形,量一量它们所对的边,你发现有什么结论?
在
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- 轴对称图形 第五 轴对称 图形 教案