全等三角形证明辅助线分析实例及复习题答案.docx
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全等三角形证明辅助线分析实例及复习题答案
全等三角形证明辅助线分析实例及复习题答案
初二数学第十一章全等三角形综合复习
切记:
“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。
例1.如图,求证:
A,F,E,B四点共线,AC?
CE,AC?
BD。
?
ACF?
?
BDE。
BD?
DF,AE?
BF,
思路:
从结论?
ACF?
?
BDE入手,全等条件只有AC?
BD;AE?
BF两边同时减去EF得到AF?
BE,又得到一个全等条件。
还缺少一个全等条件,可以是CF?
DE,也可以是?
A?
?
B。
条件AC?
CE,BD?
DF可得?
ACE?
?
BDF?
90,再加上AE?
BF,AC?
BD,可以证明?
ACE?
?
BDF,从而得到?
A?
?
B。
证明?
AC?
CE,BD?
DF
ACE?
?
BDF?
90?
在Rt?
ACE与Rt?
BDF中?
AE?
BF?
?
AC?
BD?
∴Rt?
ACE?
Rt?
BDF(HL)
?
?
A?
?
B?
AE?
BF
?
AE?
EF?
BF?
EF,即AF?
BE在?
ACF与?
BDE中?
AF?
BEA?
?
B?
AC?
BDACF?
?
BDE(SAS)
思考:
本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法:
一方面从问题或结论入手,看还需要什么条件;另一方面从条件入手,看可以得出什么结论。
再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系,从而得出解题思路。
小结:
本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件,而且告诉我们如何去分析一个题目,得出解题思路。
例2.
如图,在?
ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD?
BE,垂足为D。
求证:
?
2?
?
1?
?
C。
思路:
直接证明?
2?
?
1?
?
C比较困难,我们可以间接证明,即找到?
?
,证明?
2且1?
?
C。
也可以看成将?
2“转移”到?
?
。
1
那么?
?
在哪里呢?
角的对称性提示我们将AD延长交BC于F,则构造了△FBD,可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB,可以三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。
证明:
延长AD交BC于F在?
ABD与?
FBD中?
?
ABD?
?
FBD?
?
?
BD?
BDADB?
?
FDB?
90?
?
ABD?
?
FBD(ASA?
?
2?
?
DFB
又?
?
DFB?
?
1?
?
C ?
?
2?
?
1?
?
C。
思考:
于角是轴对称图形,所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。
例3.如图,在?
ABC中,AB?
BC,?
ABC?
90?
。
F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE?
BF,连接AE,EF和CF。
求证:
AE?
CF。
思路:
可以利用全等三角形来证明这两条线段相等,关键是要找到这两个三角形。
以线段AE为边的?
ABE绕点B顺时针旋转90到?
CBF的位置,而线段CF正好是?
CBF的边,故只要证明它们全等即可。
证明:
?
?
ABC?
90?
,F为AB延长线上一点
ABC?
?
CBF?
90?
在?
ABE与?
CBF中?
AB?
BCABC?
?
CBF?
BE?
BFABE?
?
CBF(SAS)?
AE?
CF。
思考:
利用旋转的观点,不但有利于寻找全等三角形,而且有利于找对应边和对应角。
小结:
利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法,但有时不容易找到需证明的三角形。
这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。
例4.如图,AB//CD,AD//BC,求证:
AB?
CD。
思路:
关于四边形我们知之甚少,通过连接四边形的对角线,可以把原问题转化为全等三角形的问题。
证明:
连接AC
2
?
AB//CD,AD//BC?
?
1?
?
2,?
3?
?
4在?
ABC与?
CDA中?
?
1?
?
2AC?
CA?
?
4?
?
3ABC?
?
CDA(ASA)?
AB?
CD。
思考:
连接四边形的对角线,是构造全等三角形的常用方法。
例5.如图,AP,CP分别是?
ABC外角?
MAC和?
NCA的平分线,它们交于点P。
求证:
BP为?
MBN的平分线。
思路:
要证明“BP为?
MBN的平分线”,可以利用点P到BM,BN的距离相等来证明,故应过点P向BM,BN作垂线;另一方面,为了利用已知条件“AP,CP分别是?
MAC和?
NCA的平分线”,也需要作出点P到两外角两边的距离。
证明:
过P作PD?
BM于D,PE?
AC于E,PF?
BN于F
?
AP平分?
MAC,PD?
BM于D,PE?
AC于E?
PD?
PE
?
CP平分?
NCA,PE?
AC于E,PF?
BN于F?
PE?
PF
?
PD?
PE,PE?
PF
?
PD?
PF
?
PD?
PF,且PD?
BM于D,PF?
BN于F?
BP为?
MBN的平分线。
思考:
题目已知中有角平分线的条件,或者有要证明角平分线的结论时,常过角平分线上的一点向角的两边作垂线,利用角平分线的性质或判定来解答问题。
例6.如图,D是?
ABC的边BC上的点,且CD?
AB,?
ADB?
?
BAD,AE是?
ABD的中线。
求证:
AC?
2AE。
3
思路:
要证明“AC?
2AE”,不妨构造出一条等于2AE的线段,然后证其等于AC。
因此,延长AE至F,使EF?
AE。
证明:
延长AE至点F,使EF?
AE,连接DF
在?
ABE与?
FDE中?
AE?
FEAEB?
?
FED?
BE?
DEABE?
?
FDE(SAS)?
?
B?
?
EDF
?
?
ADF?
?
ADB?
?
EDF,?
ADC?
?
BAD?
?
B又?
?
ADB?
?
BAD?
?
ADF?
?
ADC
?
AB?
DF,AB?
CD?
DF?
DC
在?
ADF与?
ADC中?
AD?
ADADF?
?
ADC?
DF?
DCADF?
?
ADC(SAS)?
AF?
AC又?
AF?
2AE?
AC?
2AE。
思考:
三角形中倍长中线,可以构造全等三角形,继而得出一些线段和角相等,甚至可以证明两条直线平行。
例7.如图,在?
ABC中,AB?
AC,?
1?
?
2,P为AD上任意一点。
求证:
AB?
AC?
PB?
PC。
原图 法一图 法二图
思路:
欲证AB?
AC?
PB?
PC,不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。
于结论中是差,
4
故用两边之差小于第三边来证明,从而想到构造线段AB?
AC。
而构造AB?
AC可以采用“截长”和“补短”两种方法。
证明:
法一:
在AB上截取AN?
AC,连接PN在?
APN与?
APC中?
AN?
AC1?
?
2?
AP?
APAPN?
?
APC(SAS)?
PN?
PC
?
在?
BPN中,PB?
PN?
BN
?
PB?
PC?
AB?
AC,即AB-AC>PB-PC。
法二:
延长AC至M,使AM?
AB,连接PM在?
ABP与?
AMP中?
AB?
AM1?
?
2?
AP?
APABP?
?
AMP(SAS)?
PB?
PM
?
在?
PCM中,CM?
PM?
PC?
AB?
AC?
PB?
PC。
思考:
当已知或求证中涉及线段的和或差时,一般采用“截长补短”法。
具体作法是:
在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段,再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段,称为“截长”;或者将一条较短线段延长,使其等于另外的较短线段,然后证明这两条线段之和等于较长线段,称为“补短”。
小结:
本题组总结了本章中常用辅助线的作法,以后随着学习的深入还要继续总结。
我们不光要总结辅助线的作法,还要知道辅助线为什么要这样作,这样作有什么用处。
同步练习
一、选择题:
1.能使两个直角三角形全等的条件是( )
A.两直角边对应相等C.两锐角对应相等
B.一锐角对应相等D.斜边相等
B.AB?
4,BC?
3,?
A?
30
?
D.?
C?
90,AB?
6
?
2.根据下列条件,能画出唯一?
ABC的是( )A.AB?
3,BC?
4,CA?
8
?
?
C.?
C?
60,?
B?
45,AB?
4
3.如图,已知?
1?
?
2,AC?
AD,增加下列条件:
①AB?
AE;②BC?
ED;③?
C?
?
D;④?
B?
?
E。
其中能使?
ABC?
?
AED的条件有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
5
4.如图,?
1?
?
2,?
C?
?
D,AC,BD交于E点,下列不正确的是( )
A.?
DAE?
?
CBEC.?
DEA不全等于?
CBE
B.CE?
DE
D.?
EAB是等腰三角形
5.如图,已知AB?
CD,BC?
AD,?
B?
23,则?
D等于( )
?
A.67
?
B.46
?
C.23
?
D.无法确定
二、填空题:
6.如图,在?
ABC中,?
C?
90,?
ABC的平分线BD交AC于点D,且CD:
AD?
2:
3,
?
AC?
10cm,则点D到AB的距离等于__________cm;
?
7.如图,已知AB?
DC,AD?
BC,E,F是BD上的两点,且BE?
DF,若?
AEB?
100,
?
ADB?
30?
,则?
BCF?
____________;
8.将一张正方形纸片按如图的方式折叠,BC,BD为折痕,则?
CBD的大小为_________;
6
9.如图,在等腰Rt?
ABC中,?
C?
90?
,AC?
BC,AD平分?
BAC交BC于D,DE?
AB于
E,若AB?
10,则?
BDE的周长等于____________;
10.如图,点D,E,F,B在同一条直线上,且AEC?
FAB//CD,AE//CF,则EF?
___________;
,若BD?
10,BF?
2,
三、解答题:
11.如图,?
ABC为等边三角形,点M,N分别在BC,AC上,且BM?
CN,AM与BN交于Q点。
求?
AQN的度数。
12.如图,?
ACB?
90,AC?
BC,D为AB上一点,AE?
CD,BF?
CD,交CD延长线于F点。
求证:
BF?
CE。
?
7
同步练习的答案
一、选择题:
1.A
2.C
3.B
4.C
5.C
二、填空题:
6.4
7.70?
8.90?
9.1010.6
三、解答题:
11.解:
?
?
ABC为等边三角形
?
AB?
BC,?
ABC?
?
C?
60?
在?
ABM与?
BCN中AB?
BC?
?
ABC?
?
C?
?
BM?
CN?
?
ABM?
?
BCN(SAS)?
?
NBC?
?
BAM
?
?
AQN?
?
ABQ?
?
BAM?
?
ABQ?
?
NBC?
60?
。
12.证明:
?
AE?
CD,BF?
CD?
?
F?
?
AEC?
90?
?
?
ACE?
?
CAE?
90?
?
?
ACB?
90?
?
?
ACE?
?
BCF?
90?
?
?
CAE?
?
BCF在?
ACE与?
CBF中?
?
F?
?
AECCAE?
?
BCF?
?
AC?
BC?
?
ACE?
?
CBF(AAS)?
BF?
CE。
8
初二数学第十一章全等三角形综合复习
切记:
“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。
例1.如图,求证:
A,F,E,B四点共线,AC?
CE,AC?
BD。
?
ACF?
?
BDE。
BD?
DF,AE?
BF,
思路:
从结论?
ACF?
?
BDE入手,全等条件只有AC?
BD;AE?
BF两边同时减去EF得到AF?
BE,又得到一个全等条件。
还缺少一个全等条件,可以是CF?
DE,也可以是?
A?
?
B。
条件AC?
CE,BD?
DF可得?
ACE?
?
BDF?
90,再加上AE?
BF,AC?
BD,可以证明?
ACE?
?
BDF,从而得到?
A?
?
B。
证明?
AC?
CE,BD?
DF
ACE?
?
BDF?
90?
在Rt?
ACE与Rt?
BDF中?
AE?
BF?
?
AC?
BD?
∴Rt?
ACE?
Rt?
BDF(HL)
?
?
A?
?
B?
AE?
BF
?
AE?
EF?
BF?
EF,即AF?
BE在?
ACF与?
BDE中?
AF?
BEA?
?
B?
AC?
BDACF?
?
BDE(SAS)
思考:
本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法:
一方面从问题或结论入手,看还需要什么条件;另一方面从条件入手,看可以得出什么结论。
再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系,从而得出解题思路。
小结:
本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件,而且告诉我们如何去分析一个题目,得出解题思路。
例2.
如图,在?
ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD?
BE,垂足为D。
求证:
?
2?
?
1?
?
C。
思路:
直接证明?
2?
?
1?
?
C比较困难,我们可以间接证明,即找到?
?
,证明?
2且1?
?
C。
也可以看成将?
2“转移”到?
?
。
1
那么?
?
在哪里呢?
角的对称性提示我们将AD延长交BC于F,则构造了△FBD,可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB,可以三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。
证明:
延长AD交BC于F在?
ABD与?
FBD中?
?
ABD?
?
FBD?
?
?
BD?
BDADB?
?
FDB?
90?
?
ABD?
?
FBD(ASA?
?
2?
?
DFB
又?
?
DFB?
?
1?
?
C ?
?
2?
?
1?
?
C。
思考:
于角是轴对称图形,所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。
例3.如图,在?
ABC中,AB?
BC,?
ABC?
90?
。
F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE?
BF,连接AE,EF和CF。
求证:
AE?
CF。
思路:
可以利用全等三角形来证明这两条线段相等,关键是要找到这两个三角形。
以线段AE为边的?
ABE绕点B顺时针旋转90到?
CBF的位置,而线段CF正好是?
CBF的边,故只要证明它们全等即可。
证明:
?
?
ABC?
90?
,F为AB延长线上一点
ABC?
?
CBF?
90?
在?
ABE与?
CBF中?
AB?
BCABC?
?
CBF?
BE?
BFABE?
?
CBF(SAS)?
AE?
CF。
思考:
利用旋转的观点,不但有利于寻找全等三角形,而且有利于找对应边和对应角。
小结:
利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法,但有时不容易找到需证明的三角形。
这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。
例4.如图,AB//CD,AD//BC,求证:
AB?
CD。
思路:
关于四边形我们知之甚少,通过连接四边形的对角线,可以把原问题转化为全等三角形的问题。
证明:
连接AC
2
?
AB//CD,AD//BC?
?
1?
?
2,?
3?
?
4在?
ABC与?
CDA中?
?
1?
?
2AC?
CA?
?
4?
?
3ABC?
?
CDA(ASA)?
AB?
CD。
思考:
连接四边形的对角线,是构造全等三角形的常用方法。
例5.如图,AP,CP分别是?
ABC外角?
MAC和?
NCA的平分线,它们交于点P。
求证:
BP为?
MBN的平分线。
思路:
要证明“BP为?
MBN的平分线”,可以利用点P到BM,BN的距离相等来证明,故应过点P向BM,BN作垂线;另一方面,为了利用已知条件“AP,CP分别是?
MAC和?
NCA的平分线”,也需要作出点P到两外角两边的距离。
证明:
过P作PD?
BM于D,PE?
AC于E,PF?
BN于F
?
AP平分?
MAC,PD?
BM于D,PE?
AC于E?
PD?
PE
?
CP平分?
NCA,PE?
AC于E,PF?
BN于F?
PE?
PF
?
PD?
PE,PE?
PF
?
PD?
PF
?
PD?
PF,且PD?
BM于D,PF?
BN于F?
BP为?
MBN的平分线。
思考:
题目已知中有角平分线的条件,或者有要证明角平分线的结论时,常过角平分线上的一点向角的两边作垂线,利用角平分线的性质或判定来解答问题。
例6.如图,D是?
ABC的边BC上的点,且CD?
AB,?
ADB?
?
BAD,AE是?
ABD的中线。
求证:
AC?
2AE。
3
思路:
要证明“AC?
2AE”,不妨构造出一条等于2AE的线段,然后证其等于AC。
因此,延长AE至F,使EF?
AE。
证明:
延长AE至点F,使EF?
AE,连接DF
在?
ABE与?
FDE中?
AE?
FEAEB?
?
FED?
BE?
DEABE?
?
FDE(SAS)?
?
B?
?
EDF
?
?
ADF?
?
ADB?
?
EDF,?
ADC?
?
BAD?
?
B又?
?
ADB?
?
BAD?
?
ADF?
?
ADC
?
AB?
DF,AB?
CD?
DF?
DC
在?
ADF与?
ADC中?
AD?
ADADF?
?
ADC?
DF?
DCADF?
?
ADC(SAS)?
AF?
AC又?
AF?
2AE?
AC?
2AE。
思考:
三角形中倍长中线,可以构造全等三角形,继而得出一些线段和角相等,甚至可以证明两条直线平行。
例7.如图,在?
ABC中,AB?
AC,?
1?
?
2,P为AD上任意一点。
求证:
AB?
AC?
PB?
PC。
原图 法一图 法二图
思路:
欲证AB?
AC?
PB?
PC,不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。
于结论中是差,
4
故用两边之差小于第三边来证明,从而想到构造线段AB?
AC。
而构造AB?
AC可以采用“截长”和“补短”两种方法。
证明:
法一:
在AB上截取AN?
AC,连接PN在?
APN与?
APC中?
AN?
AC1?
?
2?
AP?
APAPN?
?
APC(SAS)?
PN?
PC
?
在?
BPN中,PB?
PN?
BN
?
PB?
PC?
AB?
AC,即AB-AC>PB-PC。
法二:
延长AC至M,使AM?
AB,连接PM在?
ABP与?
AMP中?
AB?
AM1?
?
2?
AP?
APABP?
?
AMP(SAS)?
PB?
PM
?
在?
PCM中,CM?
PM?
PC?
AB?
AC?
PB?
PC。
思考:
当已知或求证中涉及线段的和或差时,一般采用“截长补短”法。
具体作法是:
在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段,再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段,称为“截长”;或者将一条较短线段延长,使其等于另外的较短线段,然后证明这两条线段之和等于较长线段,称为“补短”。
小结:
本题组总结了本章中常用辅助线的作法,以后随着学习的深入还要继续总结。
我们不光要总结辅助线的作法,还要知道辅助线为什么要这样作,这样作有什么用处。
同步练习
一、选择题:
1.能使两个直角三角形全等的条件是( )
A.两直角边对应相等C.两锐角对应相等
B.一锐角对应相等D.斜边相等
B.AB?
4,BC?
3,?
A?
30
?
D.?
C?
90,AB?
6
?
2.根据下列条件,能画出唯一?
ABC的是( )A.AB?
3,BC?
4,CA?
8
?
?
C.?
C?
60,?
B?
45,AB?
4
3.如图,已知?
1?
?
2,AC?
AD,增加下列条件:
①AB?
AE;②BC?
ED;③?
C?
?
D;④?
B?
?
E。
其中能使?
ABC?
?
AED的条件有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
5
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- 全等 三角形 证明 辅助线 分析 实例 复习题 答案