单叶双曲面.ppt
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单叶双曲面.ppt
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4.5双曲面,1.单叶双曲面,定义4.5.1在直角坐标系下,方程,(4.5-1),所表示的曲面叫做单叶双曲面,,方程(4.5-1)叫做,单叶双曲面的标准方程,,其中,是任意的正常数.,现在我们从方程(4.4-1)出发来讨论椭球面的一些最简单的图形性质.,单叶双曲面与z轴不相交,,与x轴与y轴分别交于点,这四点叫做单叶双曲面的,顶点.,因为方程仅含有坐标的平方项,可见当,满足方程时,,点,也一定,关于三坐标平面,,三坐标轴及坐标原点都对称.,满足,,其中正负号可任意选取,,所以单叶双曲面,
(1)对称性,
(2)顶点,1.单叶双曲面关于坐标原点、各坐标面、坐标轴对称,单叶双曲面与x和y坐标轴的交点分别为,这四个点叫做单叶双曲面的顶点,与z轴没有交点,下面继续讨论一般单叶双曲面的形状特点.,对称性已经讨论,利用平行截割法即平行平面的截口来研究曲面图形的方法.,如果用三个坐标平面,分别截割曲面,那么所得的截线顺次为,y,x,z,o,这三个截口叫做主截线,
(1),
(2),(3),
(1),
(2),(3),当我们用一组平行平面,来截割单叶双曲面(4.5-1),便得到椭圆,(4),它的两半轴分别是,两轴的端点分别为,容易知道这两对端点分别在主双曲线
(2)与(3)上.,
(2),(3),单叶双曲面可以看成是由一个椭圆的变动(大小位置都改变)而产生的,,这个椭圆在变动中,这样,,保持所在的平面与,面平行,,且两对顶点分别沿着两个定双曲线
(2)与(3)滑动,单叶双曲面,那么截线为?
先看方程是什么,如果用平行于,的平面,来截割单叶,双曲面(4.5-1),那么截线的方程为:
(2),当,时,,截线
(2)为双曲线,,轴,,实半轴长为,它的实轴平行于,虚半轴长为,且双曲线
(2)的顶点?
轴,,实半轴长为,虚半轴长为,且双曲线
(2)的顶点,在腰椭圆
(1)上,
(2),顶点在腰椭圆上,y,x,z,当,时,,截线仍为双曲线,,但它的实轴平行于z轴,,实半轴长为,虚半轴平行于x轴,,虚半轴长为,而且它的顶点,在主双曲线上.,当,时,,截线仍为双曲线,,但它的实轴平行于z轴,,实半轴长为,虚半轴平行于x轴,,虚半轴长为,而且它的顶点,在主双曲线上.,y,x,z,当,时,,截线变成,或,这是两条直线,或,或,当,时,,截线变成两条直线,或,当,时,,截线变成两条直线,如果,那么两条直线交于(0,-b,0).,如果,那么两条直线交于点(0,b,0),(0,b,0),(0,-b,0),y,x,在单叶双曲面方程中,如果,那么它就成为,单叶旋转双曲面(4.3-3).,方程,与,所表示的图形,也都是单叶双曲面.,如果,那么两条直线交于(-a,0,0).,如果,那么两条直线交于点(a,0,0),求这些椭圆焦点得轨迹。
解,这一族椭圆的方程为,即,因为,所以椭圆的长半轴为,短半轴为,从而椭圆焦点的坐标为,消去参数得,显然这族椭圆焦点的轨迹是一条在坐标面上的双曲线,双曲线的实轴为轴虚轴为轴。
思考与练习:
第166页.1.4.作业:
第166页.3.5.,
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- 双曲面