高二数学 91平面的基本性质第二课时大纲人教版必修.docx
- 文档编号:18530954
- 上传时间:2023-08-19
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:105.98KB
高二数学 91平面的基本性质第二课时大纲人教版必修.docx
《高二数学 91平面的基本性质第二课时大纲人教版必修.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高二数学 91平面的基本性质第二课时大纲人教版必修.docx(21页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
高二数学91平面的基本性质第二课时大纲人教版必修
2019-2020年高二数学9.1平面的基本性质(第二课时)大纲人教版必修
●教学目标
(一)教学知识点
1.平面基本性质的公理3的三个推论.
2.平面的基本性质及其推论的作用.
3.推论的图形语言、符号语言.
4.性质与推论的简单应用.
(二)能力训练要求
1.掌握公理3的三个推论.
2.会用图形语言、符号语言表示推论的文字语言.
3.掌握平面的基本性质及其推论的作用.
4.初步掌握推论与性质的简单应用.
(三)德育渗透目标
使学生通过空间想象能力的初步训练,加深对我们所处的三维空间的认识,培养学生的辩证唯物主义世界观.
●教学重点
平面基本性质公理3的三个推论,在学习中要注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言,并掌握熟记它们.
●教学难点
三个推论的证明及性质、推论的简单应用.
●教学方法
指导学生自学法
上节课我们学习了平面的基本性质——三个公理,本节课所学的三个推论是在上节课公理的基础上推出的结论,教师给予必要的点拨指导,学生对推论的学习与掌握应该是没有问题的.启发引导学生对推论的证明(也可根据学情让学生模仿证明),既可让学生尝试探索证明途径,培养学生的逻辑推理能力,又可突出学生的主体参与,使学生体会到参与的乐趣,学会自学的方法,增强自己获取知识的能力.至于公理与推论的简单应用,教师应在方法上予以必不可少的指导.
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
[师]上节课我们学习了平面的基本性质——三个公理,请同学们回忆一下,三个公理的具体内容是什么?
[生甲]如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
[师]好!
用图形表示是怎样的呢?
[生乙](上讲台在黑板上作图)
[师]用符号表示是怎样的呢?
[生丙](板书于黑板上)
.
[师]很好!
lα就说直线l在平面α内,也就是说直线l上的所有的点都在平面α内,请同学们考虑一下,怎样的直线l我们就说它在平面α外呢?
[生丁]不在平面α内的直线l,我们就说它在平面α外.
[生戊]直线l上没有两点在平面α内,我们就说它在平面α外.
[生己]直线l上有一个点不在平面α内,我们就说它在平面α外.
[生庚]直线l上最多有一个点在平面α内,我们就说它在平面α外.
[师]生丁、戊、己、庚谁谈得正确呢?
(学生考虑,然后回答:
都正确)
[师]刚才四位同学的回答都是正确的!
那么同学们谁来谈一下,直线l在平面α外时,直线与平面的位置关系可能是怎样的?
[生辛]直线与平面只有一个公共点或直线与平面没有公共点.
[师]好!
直线与平面没有公共点或直线与平面只有一个公共点,都叫直线在平面外.
(这个讨论,为日后研究直线与平面的位置关系打下伏笔)
[师]再请一位同学来谈一下公理2的内容.
[生壬]如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.
其图形语言为
用符号表示为P∈α∩βα∩β=l且P∈l.
[师]很好!
这个公理告诉我们,如果两个平面有一个公共点,那么它们相交于过这个公共点的一条直线.在画两个平面相交时,一定要把它们的交线画出来.再请一位同学来谈一下公理3.
[生癸]经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.
其图形语言为
用符号表示为A、B、C不共线存在唯一的平面α,使得
[师]公理3实质上是确定平面的条件.从刚才大家的回答来看,对各个公理,大家记忆得很好,但关键还在于理解,要把各个公理的作用弄清楚、弄透彻,正确、合理地运用它去解决具体问题.
在平面几何中,我们知道两点确定一条直线,在立体几何中,我们又知道,不在一直线上的三点确定一个平面.后者就是公理3的实质.由公理3,我们还可得到下面的一些推论,请同学们再看课本P6.
Ⅱ.指导自学
(学生看课本时,教师将三个推论板书写在黑板上)
推论1:
经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面.
推论2:
经过两条相交直线有且只有一个平面.
推论3:
经过两条平行直线有且只有一个平面.
[师]对于推论1,可以这样来理解:
公理3告诉我们不在同一直线上的三点确定一个平面,由于这三点中的任意两点可确定一条直线,而第三点在这条直线外,所以由公理3这条直线与它外面的一点可确定一个平面.
这样理解是可以的,但对于推论的正确性,还是需要进行严格证明的.
分析:
(1)与平面几何的证明一样,证明立体几何问题的一般步骤是:
第一步:
根据题意作图,写出已知、求证;
第二步:
写出证明过程.
(2)对于“有且只有”型命题的证明,要从“有”和“只有”两方面证明,即既证明存在性——“有”,又证明唯一性——“只有”.
(3)化生疏为熟悉、化未知为已知是我们常用的解(证)题方法.
[师]推论1的图形语言是怎样的?
请一位同学来黑板上画出.
[生](上黑板画图)
[师]请根据推论1的文字语言和图形写出已知和求证.
[生]已知:
点Al.
求证:
过点A和直线l有且只有一个平面.
[师]很好.下面我们一起来作出证明,由刚才的分析,对于这个“有且只有”型的命题,既要证“存在性”,又要证“唯一性”.
证明:
①存在性.在直线l上任取两点B、C,
据题意,A、B、C三点不共线.
由公理3,经过A、B、C三点有一个平面α.
∵B∈l,C∈l,∴lα(公理1).
又A∈α,∴平面α是经过点A和直线l的平面.
②唯一性
根据公理3,经过不共线的三点A、B、C的平面只有一个,所以经过直线l和点A的平面只有一个.
由①、②,可知经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面.
[师]这个推论用符号语言可表示为.
[生]Al存在唯一的平面α,使得A∈α且lα.
[师]上面我们给出了推论1的证明,请同学们仿照,尝试给出推论2、推论3的证明.
(同学试证,教师巡视,可让同学将证明过程板书于黑板上)
(推论2:
经过两条相交直线有且只有一个平面)
已知:
直线a、b且a∩b=P.
求证:
过a、b有且只有一个平面.
证法一:
①存在性
在直线a、b上分别取不同于点P的点A、B,
则点A、B、P是不共线的三点(否则与a、b是两条相交直线矛盾).
根据公理3,过A、B、P三点有一个平面α.
∵A∈α,P∈α,∴APα,即aα.
同理bα,因此过直线a、b有平面α.
②唯一性
∵经过直线a、b的平面一定经过点A、B、P,根据公理3,经过不共线的三点A、B、P的平面只有一个,∴经过a、b的平面只有一个.
由①、②,可知经过两条相交直线有且只有一个平面.
证法二:
①存在性
在直线a上取不同于点P的点A,
则点A直线b.
根据推论1,过点A和直线b有一个平面α.
∵bα,P∈b,∴P∈α.
又A∈α,∴APα,即aα.
∴经过相交直线a、b有平面α.
②唯一性
∵经过直线a、b的平面一定经过点A和直线b,而Ab,
根据推论1,经过点A和直线b的平面只有一个.
∴经过a、b的平面只有一个.
由①、②,可知经过两条相交直线有且只有一个平面.
推论3:
经过两条平行直线有且只有一个平面.
已知:
直线a、b且a∥b.
求证:
经过a、b有且只有一个平面.
证明:
①存在性
∵a∥b,由平行线的定义,a、b在同一平面内,
∴过直线a、b有一个平面α.
②唯一性
在直线b上任取一点B,
则Ba(否则与a∥b矛盾),且B、a在过a、b的平面α内.
又由推论1,过点B和直线a的平面只有一个,
∴过直线a、b的平面只有一个.
由①、②,可知经过两条平行直线的平面有且只有一个.
[师]推论2与推论3用符号语言可分别表示为什么呢?
[生]推论2可表示为
a∩b=P存在唯一平面α,使得aα,bα.
推论3可表示为
a∥b有且只有一个平面α,使得aα,bα.
[师]“有且只有一个平面”可以说成“确定一个平面”.比如公理3可以表述为“不在同一直线上的三点确定一个平面”.类似地,公理3的三个推论可以分别叙述为——
[生]一条直线与它外面的一点确定一个平面.
两条相交直线确定一个平面.
两条平行直线确定一个平面.
[师]好.由此可以看出公理3及它的三个推论,给出了确定一个平面时经常使用的一些条件,我们要予以准确把握.下面我们来进行有关的练习.
Ⅲ.课堂练习
课本P8习题9.11,2,5.
Ⅳ.课时小结
本节课,我们学习了公理3的三个推论,这三个推论连同公理3都是确定平面的条件,它们是把平面几何知识应用于立体几何知识的桥梁,为立体几何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体方法.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P96,7,8.
(二)1.预习课本P7例题.
2.预习提纲证三线共面的方法是什么?
●板书设计
9.1.2平面
(二)
学生画的图
推论1证明
推论2证明
推论3证明
小结
2019-2020年高二数学9.2空间的平行直线与异面直线(备课资料)大纲人教版必修
Ⅰ.思考与练习
1.一条直线与两条异面直线中的一条相交,那么它与另一条之间的位置关系是
A.平行B.相交
C.异面D.可能平行、可能相交、可能异面
答案:
D
2.已知a、b是异面直线,c∥a,那么c与b
A.一定是异面直线B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线
答案:
C
3.两条异面直线指的是
A.没有公共点的两条直线
B.分别位于两个不同平面的两条直线
C.某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
D.不同在任何一个平面内的两条直线
答案:
D
4.如图,已知△ABC的各边对应平行于△A1B1C1的各边,点E、F分别在边AB、AC上,且AE=AB,AF=AC,则EF与B1C1的关系是
A.平行B.相交
C.异面D.异面或共面
答案:
A
5.两条直线不相交是这两条直线异面的
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案:
A
6.两条直线不平行是这两条直线异面的
A.充分必要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
答案:
C
7.设a、b为异面直线,下列结论中正确的是
①a∩b=且ab②a平面α,b平面β,且a∩b=③a平面α,b平面β,且α∩β=④a平面α,b平面α⑤不存在平面α,能使a平面α且b平面α同时成立
A.①B.①②
C.②④D.①⑤
答案:
D
8.设a、b、c是空间中三条直线,下面给出四个命题,下列命题中,真命题的个数是
①如果a⊥b,b⊥c,则a∥c②若a、b相交,b、c相交,则a、c相交③若a、b共面,b、c共面,则a、c共面④若a、b异面,b、c异面,则a、c异面
A.0B.1
C.2D.3
答案:
A
9.下列命题中,其中正确的个数为
①若两条直线没有公共点,则这两条直线互相平行②若两条直线都和第三条直线相交,那么这两条直线互相平行③若两条直线都和第三条直线平行,则这两条直线互相平行
④若两条直线都和第三条直线异面,则这两条直线互相平行
A.4B.3
C.2D.1
答案:
D
10.三个平面两两相交,所得的三条交线
A.交于一点B.互相平行
C.有两条平行D.或交于一点或互相平行
答案:
D
11.线段AB、CD在两条异面直线上,M、N分别是AB、CD的中点,则下面能成立的关系是
A.MN=AC+BDB.MN=(AC+BD)
C.MN<(AC+BD)D.MN>(AC+BD)
答案:
C
12.下列各图中,直线a与b平行的关系只可能是
答案:
D
Ⅱ.参考例题
[例题](xx年高考,理16)已知a、b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a、b在α上的射影有可能是①两条平行线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.在上面的结论中,正确结论的编号是(写出所有正确结论的编号).
解析:
拿两支笔或小棍作为不垂直的异面直线,向水平桌面上投影,易验证①②④正确.
又设a、b在α上的射影为同一条直线,则a、b必共面,这与a、b是异面直线矛盾.故③不正确.
●备课资料
《名师授课录》
思考与练习
1.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,但方向都相反,这两个角关系怎样?
试画图并证明.
提示:
证明方法与等角定理的证法相同.
2.空间的两个角的两边分别平行,则这两个角的大小关系是.
答案:
相等或互补
3.在空间一个角的两边与另一个角的两边分别垂直相交,则这两个角的大小关系是.
答案:
不能确定
4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,∠CBB1的两边与哪个角的两边平行且方向相同?
∠CBB1的两边与哪个角的两边平行且方向相反?
∠CBB1的两边与哪个角的两边平行,且一边方向相同而另一边方向相反?
答案:
∠CBB1与∠DAA1的两边平行且方向相同;
∠CBB1与∠DD1A1、∠CC1B1的两边平行且方向相反;
∠CBB1与∠ADD1、∠AA1D1的两边平行,且一边方向相同而另一边方向相反.
5.如图,已知线段AA′、BB′、CC′相交于点O,且.
求证:
△ABC∽△.
证明:
△∽△AOB
●备课资料
《名师授课录》
思考与练习
一、选择题
1.下列命题中,正确的是
A.垂直于同一条直线的两条直线平行
B.有三个角是直角的四边形是矩形
C.两平行线中,有一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线
D.与两异面直线都垂直的直线是它们的公垂线
答案:
C
2.已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有
A.1条B.2条
C.3条D.4条
答案:
B
3.直线a、b相交于点O,且a、b成60°角,过点O与a、b都成60°角的直线有
A.1条B.2条
C.3条D.4条
答案:
C
4.异面直线a、b所成的角为80°,P是空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是60°的直线有
A.1条B.2条
C.3条D.4条
答案:
D
5.若a、b是异面直线,c是a、b的公垂线,d∥c,则d和a、b的公共点的个数是
A.1B.最多为1
C.2D.1或2
答案:
B
6.已知直线a与b、b与c都是异面直线,且a与b的公垂线同时也是b与c的公垂线,那么a与c的位置关系是
A.平行或相交B.异面
C.平行或相交或异面D.相交或异面
答案:
C
7.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,下列说法正确的是
A.A1B与D1C是距离为a的异面直线
B.异面直线AA1与BC的公垂线是A1B1
C.异面直线AA1与BC的公垂线是a
D.异面直线AA1与BC的公垂线段的长是a
答案:
D
二、填空题
1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,与BD1成异面直线的有条.
答案:
6
2.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N、P、Q分别是相应棱的中点,则
(1)MN与PQ的位置关系是,它们所成的角是;
(2)MN与B1D的位置关系是,它们所成的角是;
(3)异面直线MN与B1D1间的距离为.
答案:
(1)相交60°
(2)异面90°(3)a
3.在空间四边形ABCD中,对角线AC=BD=2a,M、N分别是边AB、CD的中点,若MN=a,则AC和BD所成的角为,MN和AC所成的角为.
答案:
90°45°
4.在长方体ABCD—A1B1C1D1中,M是DC的中点,AD=AA1=,AB=2,那么
(1)AA1与BC1所成角的度数是;
(2)DA1与BC1所成角的度数是;
(3)BC1与D1M所成角的余弦值是.
答案:
(1)45°
(2)90°(3)
5.在空间四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,若AC=6,BD=4,M、N分别是AB、CD的中点,则MN=,MN与BD所成角的正切值为.
答案:
6.空间四边形ABCD的各边与两条对角线的长都为1,点P在边AB上移动,点Q在边CD上移动,则点P和点Q的最短距离为.
答案:
7.如图,空间四边形ABCD中,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是CB、CD上的点且,若BD=6cm,梯形EFGH的面积为28cm2,则平行线EH与FG间的距离为.
答案:
8cm
●备课资料
Ⅰ.思考与练习
1.空间四边形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,且AB=CD.求证:
MN与AB所成的角等于MN与CD所成的角.
证明:
连结BD,设P是BD的中点,连结MP、NP,
∵M、N分别是AD、BC的中点,
∴MP∥AB且MP=AB,
NP∥CD且NP=CD.
∴∠PMN、∠PNM分别是MN与AB、CD所成的角.
又∵AB=CD,∴MP=NP.
∴∠PMN=∠PNM,
即MN与AB所成角等于MN与CD所成的角.
2.已知棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是BC、A1D1的中点.
(1)求证:
B1EDF是菱形;
(2)求A1C与DE所成角的余弦值.
(1)证明:
取AD的中点G,连结A1G、EG,则B1EA1GFD.
∴B1EDF是平行四边形.
又∵FB1=DF=,
∴B1EDF是菱形.
(2)解:
延长AD至点M,使DM=AD=BC=EC.
连结CM,则CM∥ED.
∴∠A1CM即为A1C与DE所成的角.
∵A1C=a,CM=a,
A1M=a,
∴cosA1CM=
=
=.
Ⅱ.异面直线所成的角
异面直线所成的角是非常重要的知识点,是每年高考的必考内容,要求学生牢固掌握两条异面直线所成角的求法.教学中注意以下几点:
1.平移方法:
直接平移法、中位线平移法、补形平移法.
2.平移直线寻找两条异面直线所成角的过程,线的平移是在某个平面中进行的,该面的特点:
①该平面包含其中一条异面直线;②该平面与另一条异面直线相交.
3.求角或求角的三角函数值的一般步骤是:
①找角;②求角或求角的三角函数值.
●备课资料
思考与练习
1.a、b是异面直线,且分别在平面α、β内,α∩β=l.求证:
a、b中至少有一条与l相交.
证明:
假设a、b都与l不相交,
∵aα,lα,∴a∥l.同理b∥l.
∴a∥b.这与a、b是异面直线矛盾,
∴假设错误.故a、b中至少有一条与l相交.
2.如图,a、b是异面直线,A、B∈a,C、D∈b,E、F分别是线段AC和BD的中点,判断EF与a、EF与b的位置关系,并证明你的结论.
证明:
假设EF与a共面于α,
则EFα,ABα.
∴A、B、E、F∈α.
∴EA、FBα.则A、B、C、D∈α.
∴CDα,ABα,即a、b共面.
这与已知a、b是异面直线矛盾,
∴假设错误.故EF与a是异面直线.
同理可证EF与b也是异面直线.
3.求证:
空间四边形的两条对角线是异面直线.
已知:
ABCD是空间四边形.
求证:
AC、BD是异面直线.
证明:
假设AC、BD不是异面直线,即AC、BD共面于α,
则ACα,BDα.
∴A、B、C、D∈α,
即A、B、C、D都在平面α内.
这与ABCD是空间四边形(四个顶点不在同一平面内)相矛盾,
∴假设错误.故AC、BD是异面直线.
4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点P、Q分别是正方形ABB1A1、BCC1B1的中心.
(1)求证:
A1Q与D1P是异面直线;
(2)求异面直线A1Q与D1P所成角的余弦值.
(1)证明:
连结A1B、BC1、A1C1,
则P∈A1B,Q∈BC1.
∴A1Q面A1BC1.
∵P∈A1B,A1B面A1BC1,
∴P∈面A1BC1.
又D1面A1BC1,PA1Q,
由过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线,
得D1P与A1Q是异面直线.
(2)解:
设BQ的中点为R,连结PR,
则PR∥A1Q.
∴D1P与PR所成的锐角(或直角)为异面直线D1P与A1Q所成的角.
连结D1R.在Rt△D1C1R中,
D1R2=D1C12+C1R2.
设正方体的棱长为a,
则D1R2=a2+()2=a2(因为Q是BC1的中点,R是BQ的中点).
在Rt△D1A1P中,
D1P2=D1A12+A1P2=a2+()2=a2.
在Rt△A1QB中,A1Q=
而D、R分别为A1B、BQ的中点,
∴PR=.
∴cosD1PR=
<0.
故异面直线A1Q与D1P所成角的余弦值为.
5.S是矩形ABCD所在平面外的一点,SA⊥BC、SB⊥CD、SA与CD成60°角,SD与BC成30°角,SA=a.
(1)求证:
AD是异面直线SA、CD的公垂线段,并求SA与CD之间的距离;
(2)求证:
AB是异面直线SB、AD的公垂线段,并求SB与AD之间的距离.
证明:
(1)在矩形ABCD中,BC∥AD,
∵SA⊥BC,∴SA⊥AD.
又CD⊥AD,
∴AD是异面直线SA与CD的公垂线段,
其长度为异面直线SA与CD的距离.
在Rt△SAD中,
∵∠SDA是SD与BC所成的角,
∴∠SDA=30°.
又SA=a,∴AD=a.
(2)在矩形ABCD中,AB∥CD,
∵SB⊥CD,∴SB⊥AB.
又AB⊥AD,
∴AB是异面直线SB、AD的公垂线段,
其长度为异面直线SB与AD的距离.
在Rt△SBA中,∵∠SAB是SA与CD所成的角,
∴∠SAB=60°.
又SA=a,
∴AB=acos60°=a,
即直线SB与AD的距离为a.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高二数学 91平面的基本性质第二课时大纲人教版必修 数学 91 平面 基本 性质 第二 课时 大纲 人教版 必修