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基于模糊可靠性的减速器优化设计
基于模糊可靠性的减速器优化设计
刘善超
摘要:
随着现代机械的不断发展,各种现代机械设计方法越来越多的被应用到机械设计中。
模糊可靠性优化设计是一种比较优越的现代机械设计方法。
本文将常规的减速器可靠性设计方法和模糊数学结合起来,把模糊可靠性设计的方法应用到减速器的设计中,完成了三级行星传动的单目标模糊可靠性优化设计。
优化设计过程包括:
建立实际问题的优化数学模型,其中将可靠性指标和模糊因素处理成约束条件;通过建立多级综合评判将这些约束条件转化成普通约束,即把模糊可靠性优化转化成普通优化设计问题,运用Matlab优化工具箱进行求解,得到最优的设计方案。
关键词:
模糊理论;可靠性;减速器;优化;MATLAB工具箱
Abstract:
Withthedevelopmentofmodernmachinery,variouskindsofmodernmechanicaldesignmethodsareincreasinglybeingappliedtothemechanicaldesign.Thefuzzyreliabilityoptimizationdesignisarelativelysuperiormodernmechanicaldesignmethod.Inthispaper,single-objectivefuzzyreliabilityoptimizationdesignof3-stageplanetarygeardrivingisimplementedbyapplyingfuzzyreliabilitydesignmethodwhichcombiningconversionalreliabilitydesignmethodsandfuzzymathematicstothedesignofgear.Designprocessinclude:
theestablishmentofoptimizationmodelofthepracticalproblems,whichdealswithreliabilitytargetandfuzzyfactorsasconstraints;conversingtheseconstraintsintogeneralconstraints,thatis,transformingfuzzyreliabilityoptimizationtogeneraloptimizationproblemsthroughestablishingtwo-levelandmorecomprehensiveevaluation;solvingtheoptimaldesignbyuseofMatlabOptimizationToolbox.
Keywords:
Fuzzytheory;reliability;reducer;optimization;MATLABtoolbox
1.引言
随着社会现代化的进程,最优化问题已经渗进于人类的生活和工作中的各个领域。
在机械设计和制造中,经常遇到大量的各种各样的优化问题,如机械零件的设计和切削过程的控制等。
优化设计是指在满足功能和约束条件的前提下,使机构体积最小,或是效率最高,或是造价最低,或是达到某一专项目标,或是同时达到几项目标。
但在设计过程中,时常会遇上大量的模糊概念,如“重量不超过…”、“体积不大于…”等等。
由于缺乏处理手段和方法而把这些概念当成确定性量来对待,这样把设计的约束条件和目标函数人为简单化,以至于设计结果不符合要求。
随着设计学的发展,大量的模糊信息需要定量描述,使设计达到真正的优化目的。
在普通优化的基础上引入模糊数学,建立在模糊集理论基础上的模糊优化设计方法产生了。
模糊优化设计为解决具有上述模糊概念的优化问题提供了可行的方法和有效的手段。
本文针对三级行星减速器的在设计时的优化设计问题,运用模糊优化设计方法和MATLAB工具箱对三级行星减速器设计时的体积等要素进行理论探讨和仿真分析。
通过模糊优化设计得出了最优设计的方案。
2.模糊优化理论和模糊可靠性设计
2.1模糊优化理论
2.1.1简介
模糊优化设计是近来设计领域新发展起来的一个分支,是指在优化设计中考虑种种模糊因素,在模糊数学的基础上发展起来的一种新的优化理论和方法。
机械产品的模糊优化问题融合了模糊数学、优化技术、有限元分析和计算机技术的综合性现代设计方法。
目前,比较成熟的模糊分析方法有:
最优水平截集法、工程设计参数的多级模糊综合评判法等,这些方法能够从量上比较准确的处理设计过程中的多种模糊因素。
2.1.2模糊优化的基本知识
模糊集合是将建立在二值逻辑基础上的经典集合概念的推广,一个元素与集合之间不再是绝对的隶属关系。
给定论域X上的一个模糊集合
是指:
对于任何x∈X,都指定了一个数,
∈[0,1]与之对应,它叫做x对
的隶属度,即:
这个映射称为
的隶属函数。
波浪号表示变量或运算中含有模糊信息,如图2.1所示。
模糊集合完全由隶属函数刻画。
的大小反映了、对于模糊集合的从属程度。
的值接近1表示、从属
的程度很高。
图2.1模糊集合的隶属函数
模糊集合是通过隶属函数定义的,那么如果从模糊集合中挑选出符合设计要求的集合,即模糊集合向普通集合转化,可以去一定的阀值或置信水平λ。
设
是论域X上的模糊集合,对任意λ∈[0,1],记
其中,
是一个经典集合,称为
的λ截集;λ叫做置信水平。
模糊数学已经总结出确定隶属函数的多种方法,给出了多种隶属函数。
判别确定和选定的隶属函数是否符合实际,不是看单个元素隶属度的数值如何,而是看这个函数是否正确反映了元素从属于集合到不属于集合这一变化过程的整体特性。
常用的隶属函数有:
正态分布、半梯形分布于梯形分布、矩形分布、Γ型分布、柯西分布、岭形分布、抛物分布等。
机械模糊优化设计的全过程一般分为如下的几个步骤:
①根据机械设计实际问题对设计所提出的要求,建立机械模糊优化设计的数
学模型;
②依据所建立的数学模型的性质,选择合适的模糊优化方法;
③依据已建立的机械模糊优化设计数学模型和选择的优化方法编写包括设计
问题的专用和优化方法有关的通用的计算机程序;
④准备初始数据,上机调试并进行求解运算,求得模型的最优解;
⑤对模糊优化的结果进行分析与评判。
分析与评判优化的结果的目的是验证
优化设计的结果是否满足设计的要求。
若不能满足设计的要求,则需要对所建立
的数学模型、选择的优化方法和输入的初始数据进行检查、修改。
与普通设计的数学模型一样,模糊优化的数学模型也包括设计变量、目标函数和约束条件三个基本要素。
同时模糊优化还涉及了专用的一些基本概念,如模糊目标集、模糊约束集、模糊判决集、模糊最优解、模糊最优集、模糊优化的数学模型等。
2.2模糊可靠性优化设计
2.2.1机械零件的模糊可靠性设计
在通常的可靠性设计中,约束条件的值以极限状态为标志。
以统计的观点来说,极限状态可以用零件功能函数给子精确表达。
常规的可靠性设计,按照功能函数的值分为三个不同状态,即:
式中,x为随机变量矢量,x=(x1,x2,...,xn)为零件功能的影响因素,如载荷、零件尺寸、材料强度、应力集中、表面粗糙度等。
在设计中式按照安全与失效两个状态来进行可靠性设计的,这样零件从安全到失效是以一种突变的形式发生。
而模糊可靠性设计的准则是考虑零件从安全状态到失效状态的中间过渡区,零件在两个状态之间存在一个过渡的区域,它描述设计中存在模糊性或失效逐渐发生的特征。
这种设计方法能更好的符合工程实际情况。
这样,将零件从安全状态到失效状态之间的中间过渡区称为模糊极限状态,并以极限状态作为模糊可靠性设计的依据。
考虑零件从安全状态到失效状态中间的过度区域,则零件所处的安全状态就是一个模糊事件
可以用功能函数z对
的隶属度
习来描述模糊事件
,即
机械零件的模糊可靠性设计是对常规可靠性设计理论进行的推广,把零件失效处理成一种渐变发生的过程,故这种设计具有了广泛的灵活性和适应性,能够比较客观的逼近工程实际情况,但是模糊可靠性设计中隶属函数的选取并不是工程实际的反应,它的选取与设计人员的经验和主观判断有很大的关系。
在一定条件下,零件的模糊可靠性设计能够得到比常规设计更好的设计结果。
通常将零件可靠性条件按
进行的设计称为模糊极限状态设计。
故零件的可靠性是指模糊事件
的概率,即
得概率,表达式写为:
(2.1)
2.2.2模糊可靠性设计方法和隶属函数
零件的模糊可靠性设计常用的有两种方法:
概率密度函数联合积分法和功能密度函数积分法。
上文简述了模糊可靠性优化的原理,在工程实际中,模糊可靠性优化的结果是否精确主要是随机变量的隶属函数的选取是否符合实际,经过多次的实验、统计能够得到满足实际的隶属函数。
隶属函数是通过大量的模糊统计得到的,是人脑反映的东西,包含着人脑的加工和某种心理过程。
实际计算时,常常选择一些具有代表性的隶属函数,然后确定其参数。
通常将实数域上的隶属函数称为模糊分布。
隶属函数的理论分布有很多种,鉴于工程设计中很多设计变量都是连续型随机变量。
在机械可靠性设计中常遇到的问题有,允许的磨损量、允许的变形量、允许的制动距离等。
对于这类问题常采用戒上型的隶属函数,如降半矩形、降半梯形、降半正态、降半Γ、降半哥西等隶属函数。
其中常用的是降半矩形、降半梯形和降半正态隶属函数。
可靠性设计中常用概率分布与上述的不同形式的隶属函数的各种组合的模糊事件的概率推导出具体的表达式。
通常用R表示模糊可靠度。
论域中变量服从指数分布、论域中变量服从正态分布、论域中变量服从对数正态分布等的可靠度都可以计算推导出来。
2.2.3模糊综合评判
工程实际中,人们需要比较各种事物进而评价其优劣。
但由于一个事物由多种属性,在评价它时应兼顾到各个方面,尤其对于生产规划、管理调度等复杂系统,在做出决策腔时必须对多个相关的因素进行综合的考虑,这就是综合评判。
在这些评判中涉及了模糊因素便是模糊综合评判。
1模糊综合评判的步骤
模糊综合评判就是应用模糊变化原理对考虑的事物做出的综合评价。
主要分为两步:
首先按照单个因素进行评价,其次对所有因素进行综合评价。
1)建立因素集;2)建立备择集;3)单因素评判;4)建立权重集;5)模糊综合评判。
2多级模糊综合评判
复杂系统需要考虑的因素是很多的,各因素之间往往还有层次之分,且因素之间还有模糊性,若只采用一级模糊综合评判,则难以比较系统中事物之间的优劣次序,得不出有意义的评判结果。
故需要采用多级模糊综合评判数学模型。
3.三级行星减速器的模糊可靠性优化
根据上文叙述的模糊可靠性优化的理论知识,现对三级行星减速器的传动比和各级齿轮参数进行模糊可靠性的优化。
已知:
输入转矩T=1489N.m,输入转速n1=1145.6rpm,循环次数NL=50000000,工况系数Ka=1.35,不均载系数为1.1,传动比50左右。
各级齿轮参数如下表3.1所示。
三级行星齿轮传动示意如图3.1。
图3.1三级行星减速器示意图
表3.1三级行星减速器各级几何参数
3.1行星减速器优化数学模型的建立
模糊优化就是用数学明确的关系描述结构中的尺寸,故首先要建立起优化的数学模型,用数学函数关系表示结构尺寸中的参数大小。
优化数学模型主要包括设计变量、目标函数和约束条件三个主要方面。
1设计变量
设计的减速器共有三级,每级的齿轮齿数、模数、齿宽都决定了减速器整体的性能,故在选取设计变量时要考虑到这些决定整体性能的基本参数,为此选取了各级齿轮的齿数、模数和齿宽系数作为设计变量。
选取的变量有各级的模数ml、m2、m3,各级行星齿轮齿数zp1、zp2、zp3各级太阳轮的齿数Zsl、Zs2、Zs3各级齿轮的齿宽系数
,共12个自变量。
外齿圈的齿数根据太阳轮和行星轮齿数计算得到
(3.1)
②目标函数
行星齿轮传动设计中可以采用多种指标作为优化目标,本文主要考虑的是在满足强度和寿命的条件下质量最轻。
由于该减速器是悬臂梁形式固定在屑构机上的,质量和长度的减小能够减小悬臂的长度,降低减速器自身重力产生的弯矩,这也就减小了重力产生的变形,齿轮啮合性能也能得到提高,整体提高减速器的寿命。
选用了各级太阳轮和行星轮的体积和作为目标函数,即:
(3.2)
③约束条件
行星齿轮减速器约束条件主要包括性能约束和边界约束。
本文的性能约束主要包括接触强度、弯曲强度、重合度约束等,边界约束主要包括模数、齿数、齿宽、传动比限制、行星轮装配等约束。
1)设计变量约束
设计变量的取值范围受到一定的限制,在模糊优化中设计变量存在的上下界的约束如下表述:
(3.3)
2)行星轮相邻条件
设计行星轮传动时,为了进行功率分流,而提高其承载能力,同时也是为了减少其结构尺寸,使其结构紧凑,常在太阳轮与内齿圈之间均匀对称地设置儿个行星轮。
为使行星轮不产生相互碰撞,必须保证它们齿顶之间在其连心线上有一定的间隙。
(3.4)
式中:
k齿圈齿数与行星轮齿数比。
3)重合度条件
一对齿轮的啮合传动区间是有限的,为了满足两轮能够连续地传动,必须保证前一对轮齿尚末脱离啮合时,后一对轮齿就要及时进入啮合。
为了达到此条件,齿轮啮合的重合度必须大于等于1,理论上讲等于1就能保证齿轮连续传动,在实际中由于制造、装配等误差等因素,就必须使重合度大于等于许用值。
(3.5)
4)安装条件
在行星齿轮传动中,若将几个行星轮均匀地分布在中心轮周围,各齿轮的齿数必须满足安装条件,即:
(3.6)
5)齿面接触疲劳强度的可靠度约束
(3.7)
假设齿面应力和强度均服从对数正态分布。
由对数正态分布的干涉模型可知,可靠度R与可靠度系数有一对应关系。
故上式也可表示为
(3.8)
其中,
的值由规定的可靠度主旨标
查正态分布表查得到。
而
根据
齿轮接触疲劳强度的可靠性理论计算得到。
6)齿根弯曲疲劳强度的可靠度约束
齿根弯曲疲劳强度模糊约束的表达形式为
(3.9)
假设齿根应力和强度均服从对数正态分布。
由对数正态分布的干涉模型可知,可靠度R与可靠度系数有一一对应关系。
故上式可以表示为
(3.10)
上式中,
值由规定的可靠度指标
查正态分布表得到,而
则根据齿轮齿根弯曲疲劳强度的可靠性理论计算得到。
3.2模糊约束转化为普通约束
在对齿轮减速器的尺寸约束和性能约束进行处理时,由于它们直接由设计变量值决定,而值的选取受收到设计水平、制造水平、材质好坏、使用条件等模糊因素的影响,故在本文中采用模糊数学的方法对各种约束进行处理。
模糊约束的隶属函数,应根据约束的性质来确定,对几何约束采用了梯形分布的隶属函数。
然后采用水平截集法可以将模糊的几何约束条件转化为普通的几何约束条件,也可将模糊的性能约束条件转化为普通的性能约束条件。
用一系列λ值(λ∈[0,1])截取模糊集合,得到不同设防水平下的λ水平截集。
λ越大表明约束越严,方案越安全但成本就越高。
取值需要综合考虑多方面的因素。
本文采用模糊综合评判法求解最优λ*的值。
3.3用模糊综合评判法求最优水平截集值
①建立因素集
本文选择影响齿轮减速器最大的六个因素:
设计水平、制造水平、材质好坏、使用条件、重要程度和维修费用。
每一因素又按其影响的重要程度分为五个等级,其等级的隶属度
设定因素集:
表3.2影响因素、因素等级及隶属度
②确定备择集
本设计的评判对象是水平截集λ,根据设计条件及要求离散为11个值,其备择集为:
(3.11)
3建立权重集
1)因素的等级权重集
将表3.2中因素uj的第j个等级对该因素的隶属度uij归一化后,作为该因素等级权重,
最后求得因素等级权重集为
(3.12)
2)因素类权重集为
(3.13)
④建立因素等级矩阵
由于各因素的等级次序是按照影响λ取值的趋势一致进行排列的,故各因素的等级评判矩阵均为:
(3.14)
式中,
⑤一级模糊综合评判
根据模糊交换原理,作为一级模糊评判
(3.15)
求得一级模糊综合评判矩阵
(3.16)
⑥二级模糊综合评判
(3.17)
⑦评判指标的处理
按加权平均法处理,取bj为权数,对各个备择集元素λj进行加权平均的值作
为评判的结果,求得λ*=0.618。
4.模型的确定、求解及结果分析
4.1优化模型的确定
将λ*=0.618代入式中可得到三级减速器模糊可靠性优化的模型
用Matlab优化工具箱对上述模糊可靠性数学模型进行优化求解,可得到该数学模型的最优值。
4.2模型的求解和结果分析
4.2.1模型的求解
最优求解是通过Matlab优化工具箱中的fmincon函数[11]运算求解的。
优化工具箱中fmincon函数能够求解多变量有约束的非线性最小值。
按照约束条件编写MATLAB可识别的函数语言,分别编写了目标函数、约束函数和自变量边界条件三个M文件,通过MATALB命令窗口调用已编写的函数。
通过[x,fval]=fmincon(fun,xO,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)求解得到最优值,圆整后结果如表4.1。
表4.1模糊可靠性优化计算结果
表4.2行星轮啮合性能优化前后对比表
表4.3太阳轮啮合性能优化前后对比表
表4.4齿圈啮合性能优化前后对比表
表4.5优化前后体积变化表
4.2.2结果分析
表4.1为减速器优化前后基本参数的值。
结果显示各级齿轮的模数没有变化,前两级齿轮的齿数减小,第三级齿轮齿数增加,同时三级的齿宽都变小了。
齿数的变化而引起各级传动比的变化,与优化前相比传动比变化较小,优化前总传动比为51.4,优化后为50.9560。
表4.2为优化前后各级行星齿轮性能及可靠度的变化情况。
行星齿轮既和太阳轮啮合同时又和齿圈啮合,a-g代表和太阳轮啮合,g-b代表和齿圈啮合。
将4.1中优化前后的参数值代入各计算公式中得到了齿面接触应力、齿根弯曲应力和相应的可靠度。
变化规律显示:
优化后降低了前两级的齿面接触应力可靠度和齿根弯曲应力的可靠度,提高了第三级的可靠度。
由于优化前前两级行星齿轮的可靠度较高设计偏于保守,而第三级齿轮的可靠度较低,造成可靠度的分配不合理,而优化后,使三级的可靠度趋于一致,基本达到了等可靠度的设计。
比较齿面接触应力的可靠度和齿根弯曲应力的可靠度发现,齿面接触应力的可靠度小于弯曲应力的可靠度,说明行星齿轮容易发生齿面接触疲劳损坏,其寿命主要受接触应力的影响。
结果显示优化后的参数值优于优化前的参数值,优化是合理有效的。
表4.3和表4.4分别为太阳轮和齿圈优化前后性能的对比。
与行星轮相似,减低了前两级齿面接触应力和齿根弯曲应力的可靠度,提高了第三级的可靠度。
纵向比较各级行星齿轮、太阳轮和齿圈,其中行星齿轮的可靠度是最低的,特别是第三级和太阳轮啮合时的齿面接触应力较大,优化后虽然减低了接触应力的值,但还是有较高的接触应力。
三者相比较,行星齿轮的可靠度是最低的,其寿命相对是最短的,故可以说行星齿轮的寿命决定了该减速器的寿命。
优化前后相比较,优化后系统总的可靠度有所提高,各级的可靠度分配趋于一致,使系统可靠度的分配更加合理,延长了该减速器的使用寿命。
表4.5为优化前后各级及总体积的变化情况。
结果表明前两级的体积有明显的减小,而第三级体积有所增加,系统的总体积是减小的,减小了12.3%。
各级齿轮的齿宽有所减小,共减小了42mm,降低了减速器自重而产生的弯矩,使箱体的应力应变有所减小。
优化后系统的可靠度有所提高,同时体积有所减低,即达到了优化的目的。
说明此优化是有效的。
5.结论
本文介绍了模糊可靠性优化的基本原理和步骤,建立了三级行星减速器模糊可靠性优化的数学模型,并通过引入综合评判和最优水平截集把模糊约束转化为普通约束。
运用MATLAB优化工具箱求解建立的模型,得到优化的结果。
优化后总传动比为50.956,总体积为1.27x107mm3,相对于优化前体积优化率为12.3%。
同时,降低了前两级的齿面接触疲劳和齿根弯曲疲劳的可靠度,提高了原来可靠度较低的第三级的可靠度。
齿轮最容易的失效形式为齿面接触疲劳,优化后系统齿面接触疲劳可靠度由0.9125提高到了0.9791。
通过对模糊优化设计这种现代机械设计方法的应用和深入学习。
加深了对现代机械设计方法应用的体会。
模糊优化设计方法不仅仅是运用在行星减速器的可靠性优化设计中。
它还有着更多的应用,尤其是在对机械设计中存在模糊因素的情况下,这种优化方法对机械设计时非常实用的。
当然,现代机械设计时一个很大的范畴,各种各样的现代设计方法会不断的改进和提升。
相信在未来的时光里,现代机械设计将越来越成熟,越来越完善。
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