拉普拉斯定理--行列式乘法.ppt
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拉普拉斯定理--行列式乘法.ppt
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一、k级子式余子式代数余子式,二、拉普拉斯(Laplace)定理,8拉普拉斯定理、行列式乘法法则,三、行列式乘法法则,第二章行列式8拉普拉斯定理行列式乘法法则,一、k级子式与余子式、代数余子式,定义,在一个n级行列式D中任意选定k行k列,按照原来次序组成一个k级行列式M,称为行列,(),位于这些行和列的交叉点上的个元素,式D的一个k级子式;在D中划去这k行k列后,式,称为k级子式M的余子式;,余下的元素按照原来的次序组成的级行列,第二章行列式8拉普拉斯定理行列式乘法法则,若k级子式M在D中所在的行、列指标分别是,,则在M的余子式前,余子式,记为.,注:
k级子式不是唯一的.,(任一n级行列式有个k级子式),时,D本身为一个n级子式,第二章行列式8拉普拉斯定理行列式乘法法则,例1:
四阶行列式,选定1、3行,2、4列的一个二级子式M,M的余子式和代数余子式分别为,第二章行列式8拉普拉斯定理行列式乘法法则,例2:
五阶行列式,中,与,是一对互余的子式.,第二章行列式8拉普拉斯定理行列式乘法法则,二、拉普拉斯(Laplace)定理,引理,行列式D的任一子式M与它的代数余子式,A的乘积中的每一项都是行列式D的展开式中,的一项,而且符号也一致,第二章行列式8拉普拉斯定理行列式乘法法则,Laplace定理,由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的,设在行列式D中任意取k()行,,代数余子式的乘积和等于D即,若D中取定k行后,由这k行得到的k级子式,则.,第二章行列式8拉普拉斯定理行列式乘法法则,时,,即为行列式D按某行展开;,注:
为行列式D取定前k行运用Laplace定理结果,第二章行列式8拉普拉斯定理行列式乘法法则,例对于四阶行列式,选定2、3行得子式和代数余子式分别为,第二章行列式8拉普拉斯定理行列式乘法法则,第二章行列式8拉普拉斯定理行列式乘法法则,例3:
计算行列式,解:
选定一二行得六个子式,第二章行列式8拉普拉斯定理行列式乘法法则,它们的代数余子式为,第二章行列式8拉普拉斯定理行列式乘法法则,三、行列式乘法法则,设有两个n级行列式,其中,则,第二章行列式8拉普拉斯定理行列式乘法法则,证:
作一个2n级的行列式,由拉普拉斯定理,第二章行列式8拉普拉斯定理行列式乘法法则,第二章行列式8拉普拉斯定理行列式乘法法则,又对D作初等行变换:
可得,这里,第二章行列式8拉普拉斯定理行列式乘法法则,从而,
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- 拉普拉斯 定理 行列式 乘法