人教版A数学必修第二册 第8章 863 平面与平面垂直.docx
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人教版A数学必修第二册第8章863平面与平面垂直
8.6.3 平面与平面垂直
学习目标
核心素养
1.理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单二面角平面角的大小.(难点、易错点)
2.了解面面垂直的定义,掌握面面垂直的判定定理和性质定理,初步学会用定理证明垂直关系.(重点)
3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化.(重点)
1.通过学习平面与平面垂直的判定定理和性质定理,提升直观想象、逻辑推理的数学素养.
2.通过学习二面角,提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.
1.二面角的概念
(1)定义:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
(2)相关概念:
①这条直线叫做二面角的棱,②两个半平面叫做二面角的面.
(3)画法:
(4)记法:
二面角αlβ或αABβ或PlQ或PABQ.
(5)二面角的平面角:
若有①O∈l;②OA⊂α,OB⊂β;
③OA⊥l,OB⊥l,则二面角αlβ的平面角是∠AOB.
(6)平面角是直角的二面角叫做直二面角,二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.
思考1:
二面角的平面角的大小,是否与角的顶点在棱上的位置有关?
[提示] 无关.如图,根据等角定理可知,∠AOB=∠A′O′B′,即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关.
2.平面与平面垂直
(1)定义:
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
(2)画法:
(3)记作:
α⊥β.
(4)判定定理:
文字语言
如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直
图形语言
符号语言
l⊥α,l⊂β⇒α⊥β
思考2:
两个平面垂直,则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗?
[提示] 不一定,只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面.
3.平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言
⇒a⊥β
图形语言
作用
①面面垂直⇒线面垂直
②作面的垂线
思考3:
如果α⊥β,则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗?
[提示] 正确.若设α∩β=l,a⊂α,b⊂β,b⊥l,则a⊥b,故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.
1.如图所示的二面角可记为( )
A.αβl B.MlN C.lMN D.lβα
B [根据二面角的记法规则可知B正确.]
2.已知直线l⊥平面α,则经过l且和α垂直的平面( )
A.有一个B.有两个
C.有无数个D.不存在
C [经过l的任一平面都和α垂直.]
3.平面α⊥平面β,直线l⊂α,直线m⊂β,则直线l,m的位置关系是.
相交、平行或异面 [根据题意,l,m可能相交、平行或异面.]
4.如图所示,三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角BPAC的大小等于.
90° [∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,PA⊥AC,∴∠BAC为二面角BPAC的平面角,又∠BAC=90°.所以所求二面角的大小为90°.]
二面角的计算问题
【例1】 如图,已知三棱锥ABCD的各棱长均为2,求二面角ACDB的余弦值.
[解] 如图,取CD的中点M,连接AM,BM,则AM⊥CD,BM⊥CD.
由二面角的定义可知∠AMB为二面角ACDB的平面角.
设点H是△BCD的重心,
则AH⊥平面BCD,且点H在BM上.
在Rt△AMH中,AM=
×2=
,
HM=
×2×
=
,则cos∠AMB=
=
,
即二面角的余弦值为
.
1.求二面角大小的步骤
(1)找出这个平面角;
(2)证明这个角是二面角的平面角;
(3)作出这个角所在的三角形,解这个三角形,求出角的大小.
2.确定二面角的平面角的方法:
(1)定义法:
在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.
(2)垂面法:
过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.
1.如图,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=
AD,求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小.
[证明] 因为AC⊥平面BCD,BD⊂平面BCD,
所以BD⊥AC.
又因为BD⊥CD,AC∩CD=C,
所以BD⊥平面ACD.
因为AD⊂平面ACD,所以AD⊥BD,
所以∠ADC即为平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角.
在Rt△ACD中,AC=
AD,所以∠ADC=30°.
平面与平面垂直的判定
【例2】 如图所示,在四面体ABCS中,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.
求证:
平面ABC⊥平面SBC.
[证明]
(1)法一:
(利用定义证明)
因为∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,
所以△ASB和△ASC是等边三角形,
则有SA=SB=SC=AB=AC,
令其值为a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.
取BC的中点D,如图所示,
连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC,
所以∠ADS为二面角ABCS的平面角.
在Rt△BSC中,因为SB=SC=a,
所以SD=
a,BD=
=
a.
在Rt△ABD中,AD=
a,
在△ADS中,因为SD2+AD2=SA2,
所以∠ADS=90°,即二面角ABCS为直二面角,故平面ABC⊥平面SBC.
法二:
(利用判定定理)
因为SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,
所以SA=AB=AC,
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.
因为△SBC为直角三角形,
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点,
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面SBC.
\证明面面垂直常用的方法:
(1)定义法:
即说明两个半平面所成的二面角是直二面角;
(2)判定定理法:
在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为线面垂直;
(3)性质法:
两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.
2.如图所示,四边形ABCD是边长为a的菱形,PC⊥平面ABCD,E是PA的中点,求证:
平面BDE⊥平面ABCD.
[证明] 连接AC,设AC∩BD=O,连接OE.
因为O为AC中点,E为PA的中点,
所以EO是△PAC的中位线,
所以EO∥PC.
因为PC⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD.
又因为EO⊂平面BDE,
所以平面BDE⊥平面ABCD.
面面垂直性质定理的应用
【例3】 如图,在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.
求证:
BC⊥AB.
[证明] 如图,在平面PAB内,作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC,
且平面PAB∩平面PBC=PB,AD⊂平面PAB,
∴AD⊥平面PBC.
又BC⊂平面PBC,∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC,
又∵PA∩AD=A,∴BC⊥平面PAB.
又AB⊂平面PAB,∴BC⊥AB.
1.证明或判定线面垂直的常用方法:
(1)线面垂直的判定定理;
(2)面面垂直的性质定理;
(3)若a∥b,a⊥α,则b⊥α(a、b为直线,α为平面);
(4)若a⊥α,α∥β,则a⊥β(a为直线,α,β为平面);
2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直,方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.
3.如图,四棱锥VABCD的底面是矩形,侧面VAB⊥底面ABCD,又VB⊥平面VAD.
求证:
平面VBC⊥平面VAC.
[证明] ∵平面VAB⊥平面ABCD,且BC⊥AB,平面VAB∩平面ABCD=AB,BC⊂平面ABCD.
∴BC⊥平面VAB,
又VA⊂平面VAB,∴BC⊥VA,
又VB⊥平面VAD,∴VB⊥VA,
又VB∩BC=B,∴VA⊥平面VBC,
∵VA⊂平面VAC,∴平面VBC⊥平面VAC.
线线、线面、面面垂直的综合应用
[探究问题]
试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系.
[提示] 垂直问题转化关系如下所示:
【例4】 如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证:
(1)DE=DA;
(2)平面BDM⊥平面ECA;
(3)平面DEA⊥平面ECA.
[思路探究]
(1)设出BD,分别求出DE、DA的长度或证明DM⊥AE,即证DM为AE的中垂线即可.
(2)(3)只需证明DM⊥平面ECA即可.
[证明]
(1)设BD=a,如图,作DF∥BC交CE于F,
则CF=DB=a.因为CE⊥平面ABC,
所以BC⊥CF,DF⊥EC,
所以DE=
=
a.
又因为DB⊥平面ABC,
所以DA=
=
a,
所以DE=DA.
(2)取CA的中点N,连接MN,BN,则MN綊
CE綊DB.
所以四边形MNBD为平行四边形,所以MD∥BN.
又因为EC⊥平面ABC,所以EC⊥BN,EC⊥MD.
又DE=DA,M为EA的中点,所以DM⊥AE.
所以DM⊥平面AEC,所以平面BDM⊥平面ECA.
(3)由
(2)知DM⊥平面AEC,而DM⊂平面DEA,
所以平面DEA⊥平面ECA.
本例条件不变,试求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小.
[解] 如图延长ED交CB延长线于点N,连接AN,设BD=a,由例题知,CE=AC=BC=AB=2a,
在△CEN中,由
=
知B为CN中点,
∴CB=BN=2a.
∴△ABN中,∠ABN=120°,∠BAN=∠BNA=30°,
∴∠CAN=90°,即NA⊥CA.
又EC⊥平面ABC,∴EC⊥NA,又CA∩CE=C,
∴NA⊥平面ACE,∴NA⊥AE,NA⊥AC,
且AN为平面ADE与平面ABC的交线.
∴∠CAE为平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角,
在Rt△ACE中,AC=CE,∴∠CAE=45°.
所以平面ADE与平面ABC所成二面角为45°.
垂直关系的互化及解题策略:
空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则,解题时,要抓住几何图形自身的特点,如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形,产生一些题目所需要的条件,对于一些较复杂的问题,注意应用转化思想解决问题.
1.求二面角大小的步骤
简称为“一作、二证、三求”.
2.平面与平面垂直的判定定理的应用思路
(1)本质:
通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直,即线面垂直⇒面面垂直.
(2)证题思路:
处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题,进一步转化为处理线线垂直问题来解决.
3.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系,体现了数学中的化归转化思想,其转化关系如下:
1.直线l⊥平面α,l⊂平面β,则α与β的位置关系是( )
A.平行 B.可能重合
C.相交且垂直D.相交不垂直
C [由面面垂直的判定定理,得α与β垂直,故选C.]
2.从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线,则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是( )
A.互为余角B.相等
C.其和为周角D.互为补角
D [画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线,则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角,所以选D.]
3.已知l⊥平面α,直线m⊂平面β.有下面四个命题:
①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β.
其中正确的两个命题是( )
A.①②B.③④
C.②④D.①③
D [∵l⊥α,α∥β,∴l⊥β,∵m⊂β,∴l⊥m,故①正确;∵l∥m,l⊥α,∴m⊥α,又∵m⊂β,∴α⊥β,故③正确.]
4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,二面角ABCA1的平面角等于.
45° [根据正方体中的位置关系可知,AB⊥BC,A1B⊥BC,根据二面角的平面角定义可知,∠ABA1即为二面角ABCA1的平面角.又AB=AA1,且AB⊥AA1,所以∠ABA1=45°.]
5.如图,棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B.
证明:
平面AB1C⊥平面A1BC1.
[证明] 因为BCC1B1是菱形,
所以B1C⊥BC1,又B1C⊥A1B,且BC1∩A1B=B,
所以B1C⊥平面A1BC1,
又B1C⊂平面AB1C,
所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
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