圆知识点总结及归纳.docx
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圆知识点总结及归纳
第一讲圆的方程
知识清单
(一)圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合
(轨迹)
标准
方程
222
(X—a)+(y—b)=r(r>0)
圆心:
(a,b),半径:
r
一般
方程
22
x+y+Dx+Ey+F=0(D+E2—4F>0)
圆心
DE
—2,—2,
1
半径
刃&+E2—4F
1圆的标准方程与一般方程的互化
(1)将圆的标准方程(x—a)2+(y—b)2=r2展开并整理得x2+y2—2ax—2by+a2+b2-r2
22222
=0,取D=—2a,E=—2b,F=a+b—r,得x+y+Dx+Ey+F=0.
(2)将圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0通过配方后得到的方程为:
F+E2-4F
4
D2E2
①当D2+E2—4F>0时,该方程表示以
(x+^)2+(y+2)2=
(—^,—E)为圆心,+E—4F为半径的圆;
E);③当cf+E2—4F<0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.
2、圆的一般方程的特征是:
x2和y2项的系数都为1,没有xy的二次项.
3、圆的一般方程中有三个待定的系数DE、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确
定了.
(二)点与圆的位置关系
圆(x—a)2+(y—b)2=r2的位置关系:
(3)直线与圆的位置关系
方法一:
方法
(4)圆与圆的位置关系
1外离
2外切
3相交
4内切
5内含
(5)圆的参数方程
(6)温馨提示
1、方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是:
(1)B=0;
(2)A=Cm0;(3)D2+E2-4AF>0.
2、求圆的方程时,要注意应用圆的几何性质简化运算.
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上.
(2)圆心在任一弦的中垂线上.
(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.
,点Mx,y)是
3、中点坐标公式:
已知平面直角坐标系中的两点A(x1,y1),B(x2,y2)
线段AB的中点,贝x=*x2,y=土壮.
22
考点一:
有关圆的标准方程的求法
222
【例1】圆
xaybmm0的圆心是,半径是.
22
【例2】点(1,1)在圆(x—a)+(y+a)=4内,则实数a的取值范围是()
A.(—1,1)B.(0,1)
C.(—s,—1)U(1,+^)D.(1,+^)
【例3】圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为()
2222
A.x+(y—2)=1B.x+(y+2)=1
2222
C.(x—1)+(y—3)=1D.x+(y—3)=1
【例4】圆(X+2)+y=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()
22
A.(x—2)+y=5
29
C.(x+2)+(y+2)=5
B.x+(y—2)=5
【变式1】已知圆的方程为
y40,则圆心坐标为
yx对称,则圆C的方程为
22
【变式2】已知圆C与圆x1y21关于直线
该圆的标准方程是()
C.(x—1)2+(y—3)2=1
【变式4】已知ABC的顶点坐标分别是A1,5
圆的方程•
方法总结:
1•利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a,b,r的方程组.
2•利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程,体现了数形结合思想的运用.
考点二、有关圆的一般方程的求法
【例1】若方程x2+y+4mx-2y+5m=0表示圆,则m的取值范围是()
D.m>1
D.x—y+3=0
111
A.4V*1B水4或停1C•*4
【例2】将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是()
Ax+y—1=0B.x+y+3=0C.x-y+1=0
【例3】圆x2—2x+y2—3=0的圆心到直线x+3y—3=0的距离为
2xy10的对称点也在圆C上,则实数a=
的方程•
【变式3】平面直角坐标系中有A0,1,B2,1,C3,4,D1,2四点,这四点能否
在同一个圆上为什么
【变式4】如果三角形三个顶点分别是O(0,0),A(0,15),B(—8,0),则它的内切圆方程
为.
方法总结:
1•利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于
2•熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化
D,E,F的方程组.
考点三、与圆有关的轨迹问题
【例1】动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍,则动点P的轨迹方程为
()
八22cs
A.x+y=32
22
C.(x—1)+y=16
【例2】方程y25-x表示的曲线是()
A.一条射线B.一个圆C.两条射线
22…
B.x+y=16
22
D.x+(y—1)=16
D.半个圆
【例3】在ABC中,
若点
B,C的坐标分别是(
-2,0)和(2,0),中线AD的长度是3,
则点A的轨迹方程是(
)
八22c
A.xy3
B.
22
xy
4
22
C.xy9y
0
D.
22
xy
9x0
【例4】已知一曲线是与两个定点
00,0),A(3,0)距离的比为*的点的轨迹.求这个曲线
的方程,并画出曲线.
【变式1】方程x1V1y12所表示的曲线是()
A.一个圆B.两个圆C.一个半圆D.两个半圆
【变式2】动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍,则动点P的轨迹方程为()
2222
A.x+y=32B.x+y=16
—2222
C.(x—1)+y=16D.x+(y—1)=16
【变式3】如右图,过点M—6,0)作圆C:
x2+y2—6x—4y+9=0的割线,交圆C于A、B
两点,求线段AB的中点P的轨迹.
【变式4】如图,已知点A—1,0)与点巳1,0),C是圆X2+y2=1上的动点,连接BC并延长至D,使得|CD=|BQ,求AC与OD的交点P的轨迹方程.
方法总结:
求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:
(1)直接法:
根据题目条件,建立坐标系,设出动点坐标,找出动点满足的条件,然后化简.
(2)定义法:
根据直线、圆等定义列方程.
(3)几何法:
利用圆与圆的几何性质列方程.
(4)代入法:
找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.
考点四:
与圆有关的最值问题
22
【例1】已知圆x+y+2x—4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称,则a—b的取值范围是
【例2】已知x,y满足x2+y2=1,则y—的最小值为.
【例3】已知点M是直线3x+4y—2=0上的动点,点N为圆(x+1)2+(y+1)2=1上的动点,则|MN的最小值是()
B.1
【例4】已知实数x,y满足(x—2)2+(y+1)2=1则2x—y的最大值为,最小值为
【变式1】P(x,y)在圆C:
(x—1)2+(y—1)2=1上移动,则x2+y2的最小值为
【变式2】由直线y=x+2上的点P向圆C:
(X—4)2+(y+2)2=1引切线PT(T为切点),当|PT最小时,点P的坐标是()
A.(—1,1)B.(0,2)C.(—2,0)D.(1,3)
【变式3】已知两点A—2,0),巳0,2),点C是圆x+y—2x=0上任意一点,则△ABC面积的最小值是.
【变式4】已知圆M过两点C(1,—1),D(—1,1),且圆心M在x+y—2=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PAPB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAM面积的最小值.
方法总结:
解决与圆有关的最值问题的常用方法
y—b
(1)形如u=的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问
x—a
题
(2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;
(3)
dr(其中d为圆
形如(x—a)2+(y—b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的最值问题.
(4)一条直线与圆相离,在圆上找一点到直线的最大(小)值:
心到直线的距离)
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