与名师对话理函数模型及其应用.docx
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与名师对话理函数模型及其应用
第十节 函数模型及其应用
高考概览:
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义;2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
[知识梳理]
1.几种常见的函数模型
2.三种函数模型的性质比较
3.解答函数应用题的一般步骤
(1)审题:
弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;
(2)建模:
将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
(3)求模:
求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原:
将数学问题还原为实际问题的意义.
以上过程用框图表示如下:
[辨识巧记]
一个防范——实际问题的定义域
要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域.
[双基自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.( )
(2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.( )
(3)不存在x0,使ax0 (4)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增长速度.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.某沙漠地区的某天某时段气温(℃)与时间(h)的函数关系是f(t)=-t2+24t-101(4≤t≤18),则该沙漠地区在该时段的最大温差是( ) A.54℃B.58℃C.64℃D.68℃ [解析] 易知当t=12时,f(t)max=43,当t=4时,f(t)min=-21,故最大温差为43-(-21)=64(℃).故选C. [答案] C 3.用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积增大,则隔墙的长度为( ) A.3B.4C.6D.12 [解析] 设隔墙的长为x(0 [答案] A 4.(2019·湖北孝感模拟)将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中,tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent;假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过mmin甲桶中的水只有L,则m的值为( ) A.5B.8C.9D.10 [解析] 由题意得ae5n=a-ae5n,可得e5n=0.5,若再过mmin甲桶中的水只有L,可得ae(5+m)n=,解得m=5.故选A. [答案] A 5.(2019·江西六校联考)A、B两只船分别从在东西方向上相距145km的甲乙两地开出.A从甲地自东向西行驶.B从乙地自北向南行驶,A的速度是40km/h,B的速度是16km/h,经过________小时,AB间的距离最短. [解析] 设经过xh,A,B相距为ykm, 则y=,求得函数的最小值时x的值为. [答案] 考点一 一次函数、二次函数模型 【例1】 (2019·江西三校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P(单位: 万元)、种黄瓜的年收入Q(单位: 万元)与投入a(单位: 万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单位: 万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位: 万元). (1)求f(50)的值; (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大? [思路引导] [解] (1)依题意f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,其中 所以20≤x≤180. 故f(50)=-×50+4+250=277.5. (2)由 (1)知f(x)=-x+4+250(20≤x≤180), 令=t,则2≤t≤6, y=-t2+4t+250=-(t-8)2+282, 因此当t=8时函数取得最大值282,此时x=128, 故投入甲大棚128万元,乙大棚72万元时,总收益最大,最大总收益是282万元. 二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.解决实际中的优化问题时,一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时,一定要注意对称轴与给定区间的关系: 若对称轴在给定的区间内,可在对称轴处取最值,在离对称轴较远的端点处取另一最值;或对称轴不在给定的区间内,最值都在区间的端点处取得. [对点训练] 某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图①;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②(注: 利润和投资单位: 万元). (1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式; (2)已知该企业已筹集到18万元投资资金,并将全部投入A,B两种产品的生产. ①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润? ②问: 如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润? 其最大利润约为多少万元? [解] (1)设甲、乙两种产品分别投资x万元(x≥0),所获利润分别为f(x)、g(x)万元, 由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2, ∴根据图象可解得f(x)=0.25x(x≥0), g(x)=2(x≥0). (2)①由 (1)得f(9)=2.25,g(9)=2=6, ∴总利润y=8.25(万元). ②设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元, 则y=(18-x)+2,0≤x≤18. 令=t,t∈[0,3], 则y=(-t2+8t+18)=-(t-4)2+. ∴当t=4时,ymax==8.5, 此时x=16,18-x=2. ∴当A、B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润8.5万元. 考点二 指数函数、对数函数模型 【例2】 (1)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各式中与最接近的是( ) (参考数据: lg3≈0.48) A.1033B.1053C.1073D.1093 (2)研究发现,当对某学科知识的学习次数x不超过6次时,对该学科的掌握程度f(x)=0.1+15ln.根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127],(127,133].当学习某学科知识6次时,其掌握程度是85%,则该学科是(参考数据: e0.05≈1.05,e0.85≈2.34)( ) A.甲B.乙C.丙D.三者均可能 [解析] (1)因为lg3361=361×lg3≈361×0.48≈173,所以M≈10173,则≈=1093,故选D. (2)由题意可知,0.1+15ln=0.85,整理得=e0.05,解得a=×6≈21×6=126,因为126∈(121,127],所以该学科是乙.故选B. [答案] (1)D (2)B (1)在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示,通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系. (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时,一般先需要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图象求解最值问题,必要时可借助导数. [对点训练] (2018·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进化大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位: m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog3(其中a、b是实数).据统计,该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1m/s. (1)若出a、b的值; (2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要多少个单位? [解] (1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0m/s,此时耗氧量为30个单位,故有a+blog3=0, 即a+b=0;当耗氧量为90个单位时,速度为1m/s,故有a+blog3=1,整理得a+2b=1. 解方程组得 (2)由 (1)知,v=-1+log3. 所以要使飞行速度不低于2m/s,则有v≥2, 即-1+log3≥2,即log3≥3,解得Q≥270. 所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要270个单位. 考点三 分段函数模型 【例3】 (2019·山西孝义二轮模考)某旅游区为了提倡低碳生活,在景区提供自行车出租,该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分). (1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域; (2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多? [思路引导] (1)→ (2)→→ [解] (1)当x≤6时,y=50x-115, 令50x-115>0,解得x>2.3, ∵x为整数,∴3≤x≤6. 当x>6时,y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115. 令-3x2+68x-115>0,有3x2-68x+115<0,结合x为整数得6 故y= (2)对于y=50x-115(3≤x≤6,x∈Z). 显然当x=6时,ymax=185, 对于y=-3x2+68x-115=-32+(6 ∵270>185, ∴当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多. (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一块,要注意各段自变量的范围,特别是端点值. (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理不重不漏. [对点训练] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位: 千米/小时)是车流密度x(单位: 辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明: 当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数. (1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式; (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位: 辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时) [解] (1)由题意,当0≤x≤20时,v(x)=60; 当20 再由已知得解得 故函数v(x)的表达式为 v(x)= (2)依题意及 (1)可得 f(x)= 当0≤x≤20时,f(x)为增函数, 故当x=20时,f(x)取得最大值,其最大值为60×20=1200; 当20 ≤2=, 当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立. 所以,当x=100时,f(x)取得最大值. 综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333,即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/时. 审题系列③——数学建模与实际应用 素养解读: 数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括: 在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,求解结论,验证结果并改进模型,最终解决实际问题. 数学模型构建了数学与外部世界的桥梁,是数学应用的重要形式.数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段,也是推动数学发展的动力. 在数学建模核心素养的形成过程中,积累用数学解决实际问题的经验.学生能够在实际情境中发现和提出问题;能够针对问题建立数学模型;能够运用数学知识求解模型,并尝试基于现实背景验证模型和完善模型;能够提升应用能力,增强创新意识. 【典例】 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为l1、l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l.如图所示,M、N为C的两个端点,测得点M到l1、l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1、l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2、l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型. (1)求a,b的值; (2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域; ②当t为何值时,公路l的长度最短? 求出最短长度. [切入点] (1)分析已知条件,在图形中标出,从而得出M、N点坐标,列方程求解; (2)公路l与曲线C相切于P点,设出直线l的方程,列式求解. [关键点] (1)由M、N点坐标求出a,b; (2)构建关于t的函数模型并求解. [规范解答] (1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5). 将其分别代入y=, 得 解得 (2)①由 (1)知,y=(5≤x≤20),则点P的坐标为, 设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,y′=-, 则l的方程为y-=-(x-t), 由此得A,B. 故f(t)= =,t∈[5,20]. ②设g(t)=t2+,则g′(t)=2t-. 令g′(t)=0,解得t=10. 当t∈(5,10)时,g′(t)<0,g(t)是减函数; 当t∈(10,20)时,g′(t)>0,g(t)是增函数. 从而,当t=10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300, 此时f(t)min=15. 综上所述,当t=10时, 公路l的长度最短,最短长度为15千米. 解决函数应用问题的答题步骤 [感悟体验] (2018·福建三明第一中学期中)某公司为了变废为宝,节约资源,新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似地表示为: y= 且每处理一吨生活垃圾,可得到能利用的生物柴油价值为200元,若该项目不获利,政府将给予补贴. (1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利.如果获利,求出最大利润;如果不获利,则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? [解] (1)当x∈[200,300]时,该项目获利为S, 则S=200x-=-(x-400)2, ∴当x∈[200,300]时,S<0,因此,该项目不会获利. 当x=300时,S取得最大值-5000, ∴政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损. (2)由题意可知,生活垃圾每吨的平均处理成本为: = 当x∈[120,144)时,=x2-80x+5040=(x-120)2+240, ∴当x=120时,取得最小值240. 当x∈[144,500)时,=x-200+≥2-200=400-200=200, 当且仅当=,即x=400时,取得最小值200. ∵240>200,∴当每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低. 课后跟踪训练(十三) 基础巩固练 一、选择题 1.下列函数中,随着x的增大,y的增大速度最快的是( ) A.y=0.001exB.y=1000lnx C.y=x1000D.y=1000·2x [解析] 在对数函数、幂函数、指数函数中,指数函数的增长速度最快,故排除B,C;指数函数中,底数越大,函数增大速度越快,故选A. [答案] A 2.一种放射性元素的质量按每年10%衰减,这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是( ) (精确到0.1,参考数据: lg2≈0.3010,lg3≈0.4771) A.5.2年B.6.6年 C.7.1年D.8.3年 [解析] 设这种放射性元素的半衰期是x年,则(1-10%)x=,化简得0.9x=,即x=log0.9==≈≈6.6(年).故选B. [答案] B 3.物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( ) [解析] 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得,曲线上的点的切线斜率应逐渐增大,故函数的图象应一直是下凹的.故选B. [答案] B 4.某种动物的繁殖量y(单位: 只)与时间x(单位: 年)的关系为y=alog3(x+1),设这种动物第2年有100只,到第8年它们将发展到( ) A.200只B.300只 C.400只D.500只 [解析] ∵繁殖量y与时间x的关系为y=alog3(x+1),这种动物第2年有100只,∴100=alog3(2+1),解得a=100,∴y=100log3(x+1),∴当x=8时,y=100log3(8+1)=100×2=200.故选A. [答案] A 5.某商场销售A型商品,已知该商品的进价是每件3元,且销售单价与日均销售量的关系如表所示: 销售单价/元 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量/件 400 360 320 280 240 200 160 请根据以上数据分析,要使该商品的日均销售利润最大,则此商品的定价(单位: 元/件)应为( ) A.4B.5.5C.8.5D.10 [解析] 由题意可设定价为x元/件,利润为y元,则y=(x-3)[400-40(x-4)]=40(-x2+17x-42),故当x=8.5时,y有最大值,故选C. [答案] C 二、填空题 6.一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,tmin后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一. [解析] 当t=0时,y=a,当t=8时,y=ae-8b=a, ∴e-8b=,容器中的沙子只有开始时的八分之一时, 即y=ae-bt=a,e-bt==(e-8b)3=e-24b, 则t=24,所以再经过16min. [答案] 16 7.(2019·湖北省百校联考)如图所示,多边形ABCEFGD由一个矩形ABCD和一个去掉一个角的正方形组成,AD=EF=4,CE=DG=3,现有距离为2且与边AB平行的两条直线l1,l2,截取该多边形所得图形(阴影部分)的面积记为S(t),其中t表示l1与AB间的距离,当3 [解析] 易求得AB=,当3 [答案] t2-4t+2+4 8.(2018·山西省太原市期中考试)某品牌手机销售商今年1,2,3月份的销售量分别是1万部,1.2万部,1.3万部,为估计以后每个月的销售量,以这三个月的销售为依据,用一个函数模拟该品牌手机的销售量y(单位: 万部)与月份x之间的关系,现从二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)或函数y=abx+c(b>0,b≠1)中选用一个效果好的函数进行模拟,如果4月份的销售量为1.37万部,则5月份的销售量为________万部. [解析] 由题意可知,当选用函数f(x)=ax2+bx+c时,解得∴f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7,∴f(4)=1.3; 当选用函数g(x)=abx+c时, 解得 ∴g(x)=-0.8×0.5x+1.4,∴g(4)=1.35. ∵g(4)比f(4)更接近于1.37,∴选用函数g(x)=abx+c模拟效果较好,∴g(5)=-0.8×0.55+1.4=1.375,即5月份的销售量为1.375万部. [答案] 1.375 三、解答题 9.(2019·湖北省部分重点中学第一次联考)某科研小组研究发现: 一棵水果树的产量w(单位: 百千克)与肥料费用x(单位: 百元)满足如下关系: w(x)=此外,还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元.已知这种水果的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克),且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润为L(x)(单位: 百元). (1)求L(x)的函数关系式; (2)当投入的肥料费用为多少时,该水果树获得的利润最大? 最大利润是多少? [解] (1)L(x)=16w(x)-2x-x = (2)当0≤x≤2时,L(x)max=L (2)=42. 当2 2=43,当且仅当=3(x+1),即x=3时等号成立. 综上可知,当投入的肥料费用为300元时,种植该果树获得的利润最大,最大利润为4300元. 10.某企业采用新工艺,把生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该企业每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到的化工产品的价值为100元. (1)该企业每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该企业每月能否获利? 如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该企业不亏损? [解] (1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为=x+-200≥2-200=200, 当且仅当x=,即x=400时等号成立, 故每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元. (2)设该企业每月获利S元,则 S=100x-y=100x-=-x2+300x-80000=-(x-300)2-35000. 因为400≤x≤600,所以当x=400时,S有最大值-40000. 故该企业不获利,且需要国家每月至少补贴40000元,才能不亏损. 能力提升练 11.(2019·湖南、衡阳、长郡中学等十三校联考)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2016年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据: lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.3)( ) A.2018年B.
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