第9讲解答题之二次函数压轴题原卷版1.docx
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第9讲解答题之二次函数压轴题原卷版1
解答题之二次函数压轴题
复习攻略:
(1)二次函数线段问题
(2)二次函数面积问题
(3)二次函数与定值问题
(4)二次函数与定点问题
(5)二次函数与定直线问题
(6)二次函数与角度问题
(7)二次函数与平行四边形问题
(8)二次函数与相似三角形问题
(9)二次函数与最终问题
(10)二次函数与存在性问题
1
1.如图,抛物线y=
4
x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为M,
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对称轴交x轴于E,点D在第一象限,且在抛物线的对称轴上,DE=OC,DM=.
4
(1)求抛物线的对称轴方程;
(2)若DA=DC,求抛物线的解析式;
(3)在
(2)的条件下,点P是抛物线对称轴上的一个动点,若在直线BM上只存在一个点Q,使∠PQC=45°,求点P的坐标.
2.如图1,抛物线y=2ax2﹣5ax﹣3a与x交于A、B两点(A在B左侧),与y轴交于点C,且3OC=2OB.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,连接BC,在线段BC上有一动点P,过P作y轴的平行线l1,交抛物线于点N,交x轴于点M,若以
C、P、N为顶点的三角形与△BPM相似时,求P点的横坐标;
(3)如图3,T(t,0)为x轴上一动点,过T作y轴的平行线l2,Q为x轴上方抛物线上任意一点,直线AQ、BQ
分别交l2于点E、F,则当t为何值时,TE+TF为定值,并求出该定值.
3.抛物线y=ax2+x+c的对称轴为x=1,与x轴交于点A(4,0)和点B,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D是抛物线的顶点,点E为抛物线对称轴上一点,点Q为抛物线对称轴右侧上一点,若△BOC与△DEQ相似,求点Q的坐标;
(3)点P是直线y=5上的动点(点P不在抛物线的对称轴上),过点P的两条直线l1,l2与抛物线均只有唯一公共点且都不与y轴平行,l1,l2分别交抛物线的对称轴于点M、N,点G为抛物线对称轴上点M、N下方一点,若恒有
GP2=GM·GN,求点G的坐标.
4.已知抛物线y=ax2+x+3与x轴交于点A、点B,点A在点B的左边,交y轴于点C,OB=2OC,
2
(1)求a的值.
(2)P为抛物线上一动点,过点P的直线l:
y=kx+b(k<0)交x轴于(n,0),l与抛物线有且只有一个公共点,当n取最小值时,求点P坐标.
(3)点P坐标为(0,3),过点P作直线PE与抛物线有且只有一个公共点E,同时作直线PG交抛物线于点F、G,
EF交y轴于点M,EG交y轴于点N,试探究CM、CN之间的数量关系.
5.已知直线y=kx﹣2k+3(k≠0)与抛物线y=a(x﹣2)2(a>0)相交于A、B两点(点A在点B的左侧).
(1)不论k取何值,直线y=kx﹣2k+3必经过定点P,直接写出点P的坐标.
(2)如图
(1),已知B,C两点关于抛物线y=a(x﹣2)2的对称轴对称,当a=时,求证:
直线AC必经过一
2
定点;
(3)如图
(2),抛物线y=a(x﹣2)2的顶点记为点D,过点A作AE⊥x轴,垂足为E,与直线BD交于点F,求线段EF的长.
6.如图,抛物线y=ax2-1x+c(a≠0)交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=1x-2经过点B,C.
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(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线上一动点,过P作x轴的垂线,交直线BC于M.设点P的横坐标是t.
①当∆PCM是直角三角形时,求点P的坐标;
②当点P在点B右侧时,存在直线l,使点A,C,M到该直线的距离相等,求直线解析式y=kx+b(k,b可用含t的式子表示).
7.已知点(4,0)、(-2,3)为二次函数图像抛物线上两点,且抛物线的对称轴为直线x=2.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线平移,使顶点与原点重合,已知点M(m,-1),点A、B为抛物线上不重合的两点(B在A的左侧),且直线MA与抛物线仅有一个公共点.
①如图1,当点M在y轴上时,过点A、B分别作AP⊥y轴于点P,BQ⊥x轴于点Q.若△APM与△BQO
相似,求直线AB的解析式;
②如图2,当直线MB与抛物线也只有一个公共点时,记A、B两点的横坐标分别为a、b.当点M在y轴上时,
m-a
直接写出
m-b
的值为;当点M不在y轴上时,求证:
m-a为一个定值,并求出这个值.
m-b
8.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点(A在B左边),与y轴交于点C.
(1)如图1,若OB=OC,AB=2OA,求抛物线的解析式;
(2)如图2,P为抛物线上一动点(P在A左边),若b+c+1=0,c>1,且tan∠PAO-tan∠PBO=2.
①求c的值;
②如图3,直线PA,PB分别与直线l:
y=-2交于C,D两点,AM⊥l于M,BN⊥l于N.求而1+1
的值.
CNDM
9.抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(1,0),B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,直线CD交抛物线于另一点D,过点D作DE⊥x轴于点E,过点E作EF//AC交CD于点F.求证:
BF//y轴;
(3)如图2,P,Q为抛物线上两点,直线BP,BQ交y轴于点M,N,OM⋅ON=9,求APQ面积的最小值.
10.如图.抛物线y=x2+bx+c交x轴于A,B两点.其中点A坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,-3).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图①,连接AC.点P在抛物线上﹐且满足∠PAB=2∠ACO.求点P的坐标;
(3)如图②,点Q为x轴下方抛物线上任意一点,点D是抛物线对称轴与x轴的交点,直线AQ,BQ分别交抛物线的对称轴于点M,N,求DM+DN的值.
11.如图1,已知:
抛物线y=ax2+bx+c过点(1,0)、(4,3)、(5,8),交x轴于点C,点B(C在B左边),交y轴于点A.
(1)求抛物线的解析式;
(2)D为抛物线上一动点,∠ABD=∠CAB+∠ABC,求点D的坐标;
(3)如图2,l:
y=kx-3k+7(k≠0)交抛物线于M,N两点(M,N不与C,B重合),直线MC,NC分别交y轴于点I,点J,试求此时OIOJ是否为定值?
如果是,请求出它的值;如果不是,请说明理由.
6
12.已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(
5
侧).
(1)求抛物线的解析式:
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,-),经过点C(0,-1),且与x轴交于A、B两点(A在B的左
5
(2)P为抛物线上一点,连CP交OD于点Q,若S△COQ=S△PDQ,求P点的横坐标;
(3)点M为直线BC下方抛物线上一点,过M的直线与x轴、y轴分别交于E、F,且与抛物线有且只有一个公共点.若
∠FCM=∠OEF,求点M的坐标.
13.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(3,0),经过点P(﹣2,5).
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线向右平移m(m>0)个单位长度,新抛物线交线段PA于点M,若OM⊥AP,求m的值;
4
(3)将抛物线向右平移m(m>0)个单位长度,设新抛物线的顶点为N,与x轴的右交点为Q,若tan∠PNQ=,
3
求m的值.
14.将抛物线y=x2先向右平移1个单位长度,再向下平移4个单位长度后得到抛物线y=ax2+bx+c.
(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;
(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴负半轴、y轴分别交于点A,C,P为y轴上一点.
①如图所示,若点P在点C上方,过点P作AC的平行线与第四象限内的抛物线交于点D,若PD=PC,求点D
的横坐标;
②如图所示,若P(0,t)在点C下方,点M,N分别是位于y轴两侧的抛物线上的点,直线PM,PN都与抛物线只有一个公共点(点M在点N的左侧),连接MN与y轴交于点Q(0,s),探究s与t之间的数量关系式.
15.经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于O,A两点.
(1)若抛物线的对称轴为直线x=2,点C(6,-6)在抛物线上.
①直接写出抛物线的解析式;
②如图1,B为抛物线的顶点,抛物线的对称轴与x轴相交于点D,在抛物线上取点E,使∠EOB=∠CBD,求E点的坐标.
(2)如图2,若A点的坐标为(4,0),a>0,P为抛物线上第四象限内的一点,过点P作PN⊥x轴于点N,过点N
作直线MN//AP交y轴于点M,求证:
直线PM与抛物线只有唯一的公共点.
16.如图,抛物线y=ax2经过C(t,4)和Q(4,b)两点,C,Q两点关于y轴对称,动直线y=kx-4k+6与抛物线交于点A,B(点A在C,Q之间的抛物线上,点B在点Q的右侧).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若△ABQ的面积为4
,求k的值;
(3)如图2,连接CB,CQ与y轴分别交于点M,E,连接CA并延长交轴于点N,设ME=m,NE=n,试探究
m,n之间的数量关系.
17.如图,经过(1,0)和(2,3)两点的抛物线y=ax2+c交x轴于A、B两点,P是抛物线上一动点,平行于x
轴的直线l经过点(0,﹣2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,y轴上有点C(0,-3),连接PC,设点P到直线l的距离为d,PC=t.童威在探究d﹣t的值的过
4
程中,是这样思考的:
当P是抛物线的顶点时,计算d﹣t的值;当P不是抛物线的顶点时,猜想d﹣t是一个定值.请你直接写出这个定值,并证明;
(3)如图2,点P在第二象限,分别连接PA、PB,并延长交直线l于M、N两点.若M、N两点的横坐标分别为
m、n,试探究m、n之间的数量关系.
18.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ADBC的顶点A(0,3)、B(3,0)、D(2,3)抛物线与x轴的另一交点为E,经过点E的直线l将▱ADBC分割成面积相等的两部分,与抛物线交于另一点F,点P在直线l上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为t.
(1)求抛物线的解析式.
(2)当t为何值时,PFE的面积最大?
并求出PFE的面积最大值.
(3)点Q为直线AB下方抛物线上一动点,是否存在点Q使QAB为直角三角形?
若存在,求出Q点的横坐标;若不存在,请说明理由.
19.如图1,抛物线C1
:
y=x2+b交y轴于A(0,1).
(1)直接写出抛物线C1的解析式.
(2)如图1,x轴上两动点M,N满足:
-Xm=Xn=n.若B,C(B在C左侧)为线段MN上的两个动点,且满足:
B点和C点关于直线l:
x=1对称.过B作BB'⊥x轴交C1于B',过C作CC'⊥x轴交C1于C',连接B'C'.求B'C'的最大值(用含n的代数式表示).
(3)如图2,将抛物线C向下平移7个单位长度得到抛物线C.C对称轴左侧的抛物线上有一点M,其横坐标
1822
为m.以OM为直径作K,记⊙K的最高点为Q.若Q在直线y=-2x上,求m的值.
20.直线BE:
y=-x+1与x轴、y轴分别交于点B、E,抛物线L:
y=ax2+bx-3经过点A(-3,0)、点B,与
y轴交于点C.
(1)求抛物线L的解析式;
(2)如图1,点P在y轴上,连接BP,若∠OCB+∠OPB=45︒,求点P的坐标;
(3)如图2,将抛物线L平移,使其顶点是坐标原点O,得到抛物线L1,平移直线BE经过原点O,交抛物线L1
于点F.点M(-1,0),点N是L第一象限内一动点,MN交L于Q点,QRx轴分别交OF、ON于S、R,
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试探究QS与SR之间的数量关系.
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