最新高三数学+立体几何经典例题优秀名师资料.docx
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最新高三数学+立体几何经典例题优秀名师资料
高三数学立体几何经典例题
厦门一中立体几何专题
一、选择题(10×5′=50′)
1.如图,设O是正三棱锥P-ABC底面三角形ABC的中心,
过O的动平面与P-ABC的三条侧棱或其延长线的交点分别记
111,,为Q、R、S,则()PQPRPS
A.有最大值而无最小值
B.有最小值而无最大值
C.既有最大值又有最小值,且最大值与最小值不等第1题图
D.是一个与平面QRS位置无关的常量
在正n棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是()2.
n,2n,1n,1n,2,,,,,,,,,,,,,,,0,,,,A.B.C.D.,,,,,,,,nn2nn,,,,,,,,
3.正三棱锥P-ABC的底面边长为2a,点E、F、G、H分别是PA、PB、BC、AC的中点,则四边形EFGH的面积的取值范围是()
,,,331,,222,,,,aa,,,a,,,,,,A.(0,+?
)B.C.D.,,,,,,236,,,,,,
4.已知二面角α-a-β为60?
,点A在此二面角内,且点A到平面α、β的距离分别是AE=4,AF=2,若B?
α,C?
β,则?
ABC的周长的最小值是()
A.43773B.2C.4D.2
5.如图,正四面体A-BCD中,E在棱AB上,F在棱CD上,
AECF使得=λ(0<λ<+?
),记f(λ)=α+β,其中α表示EF,λλλEBFD
与AC所成的角,β表示EF与BD所成的角,则()λ
A.f(λ)在(0,+?
)单调增加
B.f(λ)在(0,+?
)单调减少
C.f(λ)在(0,1)单调增加,在(1,+?
)单调减少第5题图
D.f(λ)在(0,+?
)为常数
46.直线a?
平面β,直线a到平面β的距离为1,则到直线a的距离与平面β的距离都等于的点的集5合是()
A.一条直线B.一个平面C.两条平行直线D.两个平面
7.正四棱锥底面积为Q,侧面积为S,则它的体积为()
112222Q(S,Q)Q(S,Q)A.B.63
1122QSC.D.Q(S,Q)32
8.已知球O的半径为R,A、B是球面上任意两点,则弦长|AB|的取值范围为()
C.(0,2R)D.,R,2R,A.,0,2R,B.(0,2R]
9.已知平面α?
平面β=l,m是平面α内的一条直线,则在平面β内()
A..一定存在直线与直线m平行,也一定存在直线与直线m垂直
B.一定存在直线与直线m平行,但不一定存在直线与直线m垂直
C.不一定存在直线与直线m平行,但一定存在直线与直
线m垂直
D.不一定存在直线与直线m平行,也不一定存在直线与
直线m垂直
如图为一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折10.
叠即可还原),则这个多面体的顶点数为()
A.6B.7C.8D.9
第10题图二、填空题(4×4′=16′)
11.边长为a的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值,这个定值为;推广到空间,棱长为a的正四面体内任一点到各面距离之和为.
12.在?
ABC中,AB=9,AC=15,?
BAC=120?
,其所在平面外一点P到A、B、C三个顶点的距离都是14,则P点到直线BC的距离为.
13.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个所有二面角都相等的六面体,并且该六面体的最短棱的长为2,则最远的两顶点间的距离是.
14.有120个等球密布在正四面体A-BCD内,问此正四面体的底部放有个球.三、解答题(4×10′+14′=54′)
15.定直线l?
平面α,垂足为M,动直线l在平面α内过定点N,但不过定点M.MN=a为定值,在l、121l上分别有动线段AB=b,CD=c.b、c为定值.问在什么情况下四面体ABCD的体积最大,最大值是多少,2
16.如图所示,已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形,点P、Q分别是ED和AC的中点,求:
PM
(1)与所成的角;FQ
(2)P点到平面EFB的距离;
(3)异面直线PM与FQ的距离.
第16题图
17.如图,在梯形ABCD中,AB?
CD,?
ADC,90?
3AD=DC=3,AB=2,E是CD上一点,满足DE,1,连结AE,将?
DAE沿AE折起到?
DAE的位置,使得?
DAB,60?
设AC与BE的交点为O.11
ADODABAE
(1)试用基向量,,表示向量11
(2)求异面直线OD与AE所成的角.1
(3)判断平面DAE与平面ABCE是否垂直,并说明理由.1
第17题图
18.如图,在斜棱柱ABC—ABC中,底面为正三角形,侧棱长等于底面边长,且侧棱与底面所成的111
角为60?
顶点B在底面ABC上的射影O恰好是AB的中点.1
(1)求证:
BC?
CA;11
(2)求二面角C-AB-C的大小.1
第18题图
3319.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC,BC=2a,AC=a,AB=a,点P到平面ABC的距离为a.2
(1)求二面角P-AC-B的大小;
(2)求点B到平面PAC的距离.
第19题图
立体几何练习参考答案
一、选择题
1.D设正三棱锥P-ABC中,各棱之间的夹角为α,棱与底面夹角为β,h为点S到平面PQR的距离,
111则V=S?
h=(PQ?
PR?
sinα)?
PS?
sinβ,另一方面,记O到各平面的距离为d,则有?
S-PQRPQR332
111dd11V=V+V+V=S?
d+S?
d+S?
d=?
?
PQ?
PR?
sinα+?
PS?
PR?
sin?
?
?
S-PQRO-PQRO-PRSO-PQSPQRPRSPQS3333322
sin,111d1,,α+?
?
PQ?
PS?
sinα.故有PQ?
PR?
PS?
sinβ=d(PQ?
PR+PR?
PS+PQ?
PS),即==PQPRPSd32
常量.
2.B设正n棱锥的高为h,相邻两侧面所成二面角为θ.当h?
0时,正n棱锥的极限为正n边形,这时相邻两侧面所成二面角为平面角,即二面角θ?
π.
n,2当h?
?
时,正n棱锥的极限为正n棱柱,这时相邻两侧面所成二面角为正n边形的内角,即θ?
nπ.故选B.
3.B如图,易知四边形EFGH为矩形,当P?
底面?
ABC的中心O时,矩形EFGH?
矩形EFGH.11
332=EF?
FG=a?
a=a.S111矩形EFGH1133
32即S?
a.当P?
?
时,S?
?
.矩形矩形EFGHEFGH3
,32,,a,,,?
S?
.故选B.矩形EFGH,,3,,
第4题图解
第3题图解
4.C如图,?
a?
AE,a?
AF,?
a?
平面AEF.
设a交平面AEF于点G,则?
EGF是二面角α-a-β的平面角,?
EGF=60?
?
EAF=120?
且易知当?
ABC的周长最小时,B?
EG,C?
FG.
设点A关于平面α的对称点为A′,点A关于平面β的对称点为A″,连结A′A″,分别交线段EG、FG于点B、C,则此时?
ABC的周长最短,记为l.由中位线定理及余弦定理得
224,2,2,4,2cos120:
7l=2EF=2=4.
5.D因为ABCD是正四面体,故AC?
BD,作EG?
AC交BC于G,连结GF,则α=?
GEF,且λCGAECF,,,GBEBFD
?
GF?
BD,故GF?
EG,且β=?
EFG,?
f(λ)=α+β=90?
为常数.λλλ
16.C这两条直线在距a为的平面上,分布在a在该平面上的射影的两侧.5
237.A设正四棱锥各棱长均为1,则Q=1,S=,此时,正四棱锥的高h=,2
213?
V=Qh=,将Q=1,S=代入选择支,知A正确.63
8.B考虑A、B两点在球面上无限靠近但又不重合,及A、B两点应为直径的两端点时的情况.
点评若忽视几何里的两点、两直线、两平面等均应是相异的两元素,就会误选A,球的最长弦就是直径,但球没有最短弦.
9.C若m?
l,则β内必有与m平行的直线;若m与l相交,则β内无直线与m平行.
?
不一定存在直线与直线m平行,排除A、B.又β内一定存在与m在β内的射影垂直的直线,由三垂
线定理知,β内一定存在直线与m垂直,故选C.
该多面体是正方体切割10.B本题考查简单多面体的表面展开与翻折,着重考查考生的空间想像能力,掉一个顶点,故有7个顶点.
二、填空题
6311.;a本题通过等积找规律.a32
712.分析P点到A、B、C距离相等,故P点在平面ABC上的射影是三角形ABC的外心,故72
可由?
ABC的已知条件求出?
ABC外接圆半径,进而求得P点到平面ABC的距离,及外心到直线BC的
距离,从而最终解决问题.
解记P点在平面ABC上的射影为O,则AO、BO、CO分别是PA、PB、PC在平面ABC上的射影
?
PA=PB=PC,?
OA=OB=OC,
?
O为?
ABC的外心.
229,15,9,15在?
ABC中,BC==21
21由正弦定理,2R=,?
R=73sin120:
22,,14,73,7P点到平面ABC的距离为.
2217,,2(73),,3O点到直线BC的距离OD=(D为BC边的中点),,22,,
?
OP?
平面ABC,OD?
BC,?
PD?
BC.
277,,27,3,7?
P到BC的距离PD=.,,22,,
13.3如图所示,作CE?
AD,连结EF,易证EF?
AD,
则?
CEF为面ADF和面ACD所成二面角的平面角.设G为
CD的中点,同理?
AGB为面ACD和面BCD所成二面角的
平面角,由已知?
CEF=?
AGB.
设底面?
CDF的边长为2a,侧棱AD长为b.在?
ACD中,
22ba2aAG2a,,,CE?
b=AG?
2a,所以CE=,bb
2,,234第13题图解222,,b,a,2b,a在?
ABC中,易求得AB=2,,,33,,
4222b,a223b,aABAG,,由?
CEF?
?
AGB得,即22CFCE2ab,a,2ab
4解得b=a,因此b=2时,2a=3,?
最远的两顶点间距离为3.3
14.36正四面体ABCD的底部是正?
BCD,假设离BC边最近的球有n个,则与底面?
BCD相切的球
n(n,1)也有n排,各排球的个数分别为n、n-1、…、3、2、1,这样与底面相切的球共有1+2+…+n=个.由2
于正四面体各面都是正三角形.因此,正四面体内必有n层球,自上而下称为:
第1层、第2
层、…第n层,那么第n-1层,第n-2层,…第2层,第1层球的个数分别是:
n(n,1)(n,1)n1+2+…+n=、1+2+…+n-1=,22
1,22,31+2=,1=22
n(n,1)(n,1)n1,2?
,,?
,,120,222
1即n(n+1)(n+2)=120.6
8,92即(n-8)(n+11n+90)=0,?
n=8,因此正四面体内共有8层小球,其底部所放球数为=36(个).2
三、解答题
15.分析在四面体ABCD的基础上,补上一个三棱锥B-MCD.
解如图,连结MC、MD,则
?
AM?
平面MDC,BM?
平面MDC
1?
V=V-V=S?
(AM-BM)?
A-BCDA-MDCB-MDCMDC3
1=S?
AB?
MDC3
11第15题图解设M到CD的距离为x,则S=CD?
x=cx,?
MDC22
111?
V=×cx?
b=bcxA-BCD362
?
x?
MN=a,?
当x=a时,
1即MN为l与l的公垂线时,V最大,它的最大值为abc.12A-BCD6
点评x?
MN,包含x=MN,也包含x 16.解建立空间直角坐标系,使得D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),M(0,0,a),E(a,0,a),F(0,a,a), aaaa则由中点坐标公式得P(,0,),Q(,,0),2222 aaaaaaa32PMPM (1)所以=(-,0,),(,-,-a),? =(-)×+0+×(-a)=-a,FQFQ22222224 32,aPM,FQ3624PMPM,,,且||=a,||=a,所以cos,=.FQFQ22262||||PMFQa,a22故得两向量所成的角为150? ; EFBE (2)设n=(x,y,z)是平面EFB的单位法向量,即|n|=1,n? 平面EFB,所以n? 且n? 3x,,,3222,,x,y,z,1,,,3,,,0,又=(-a,a,0),=(0,-a,a),即有axay得其中的一个解是EFBEy,,,,3,,ay,az,0,,,3z,;,3, ,333aa,,,,,,,0,? n=,=,PE,,,,22333,,,, 3a设所求距离为d,则d=|? n|=;PE3 (3)设e=(x,y,z)是两异面直线的公垂线上的单位方向向量,111 aaaa,,,,,,0,,,,,a则由=,=,PMFQ,,,,2222,,,, 222,x,y,z,1,111,,,,333aa,,,,,得求得其中的一个e=,,x,z,0,,11,,33322,,,aa,xyaz,,,0.111,22, 33MFMF而=(0,a,0),设所求距离为m,则m=|]? e|=|-a|=a.3317.解 (1)根据已知,可得四边形ABCE为平行四边形,所以O为BE中点. 111.OD,AD,AO,AD,(AB,AE),AD,AB,AE1111222 11112 (2)OD,AE,(AD,AB,AE),AE,1,2,cos45: ,2,2cos45: (2),,1.112222 22113ODAD? ()=(--)=,ABAE11222 6OD? ||=.12 OD,AE,131,,,OD? cos<,>=,AE136|OD|,|AE|1,22 3所以OD与AE所成角为arccos.13 1ADMD(3)设AE的中点为M,则=-AE.112 11ADMD? ? AB=? AB-AE? AB=1×2×cos60? -××2cos45? =0,21122MD? ? AB.1 1122ADAEMDMD? AE=? AE-=cos45? -×()=0,? ? AE.2211122 所以MD垂直于平面ABCE内两条相交直线,? MD? 平面ABCE.11 而DM平面ADE,所以平面ADE? 平面ABCE.111 18. (1)解法一连结BC、CO,? BO? 平面ABC,CO? AB,? BC? AB,111 C? BC,又? 在菱形BBCC中,B1111 ? BC? 平面ABC,? BC? CA.1111 (2)作CQ? 平面ABC于Q点,连接AQ,1 ? ? CCQ是侧棱与底面所成的角,即? CCQ=60? 11 31在? CCQ中,CQ=CC=AO,CQ=CC,111122 BC,OQ平行且相等,又? CO? AB,? QA? AB,? CA? AB,由BC,111? ? QAC是二面角C-AB-C的平面角,11 在? AQC中,CQ=AQ,? ? QAC=45? 111 第18题图解 (1)第18题图解 (2) 解法二 (1)以O为原点,OC所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,建立空间直角坐标系,如图, ? BO? 平面ABC,1 ? ? BBO是侧棱与底面所成角,? ? BBO=60? .11 设棱长为2a,则OB=3a,BO=a,又CO为正三角形的中线,? CO=3a.1 则A(0,a,0),B(0,-a,0),C(3a,0,0),B(0,0,3a),C(3a,a,3a).11BCCA=(3a,0,-3a),=(-3a,0,-3a).11 22BCCA? ? =-3a+0+3a=0,? BC? CA.1111 CABC63310 (2)在? CAB中,||=a,||=|(a,2a,a)|=a,|AB|=2a,111 26? S=a,? C1AB 3作CQ? 平面ABC于Q点,则Q(a,a,0).1 23? S=a,设二面角C-AB-C的平面角为θ,? ABQ1 S,ABQ2,则cosθ=.S2,CAB1 二面角C-AB-C的平面角为45? .1 19. (1)解法一由条件知? ABC为直角三角形,? BAC=90? ? PA=PB=PC,? 点P在平面ABC上的射影是? ABC的外心,即斜边BC的中点E,取AC中点D,连 结PD、DE、PE,PE? 平面ABC. 第19题图解 DE? AC(? DE? AB).? AC? PD,? PDE为二面角P-AC-B的平面角. 3aPE2tanPDE=,,,3DE3a2 ? ? PDE=60? 故二面角P-AC-B的平面角为60? .解法二设O为BC的中点,则可证明PO? 面ABC,建立如图空间直角坐标系, ,133,,,,a,,a,0则A,B(-a,0,0),C(a,0,0),P0,0a,,,,,222,,,, ,3,3,,a,a,0AC中点D,,,44,, ,,,33333,,,,,a,a,0,a,a,a=,=ABDP,,,,22442,,,, ? AB? AC,PA=PC,PD? AC, cos<,>即为二面角P-AC-B的余弦值.ABDP 3333()()0,a,a,a,a,12424,而cos<,>=ABDP29393922222a,a,0,a,a,a4416164二面角P-AC-B的平面角为60? 392222PE,DE,a,a,3a (2)解法一PD=,44 312S=? AC? PD=a? APC22 设点B到平面PAC的距离为h, 11则由V=V得? S? PE=? S? h,? ? P-ABCB-APCABCAPC33 133,a,a,aS,PE3,ABC22,,ah=.2S32,APCa2 3故点B到平面PAC的距离为.a2 3解法二点E到平面PAC的距离容易求得,为a,而点B到平面PAC的距离是其2倍,4 3? 点B到平面PAC的距离为.a2
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