九年级数学上册一元二次方程教学案五份.docx
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九年级数学上册一元二次方程教学案五份
九年级数学上册第22章一元二次方程教学案(五份)
初三数学第23章一元二次方程复习讲义一、一元二次方程的定义方程中只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式的方程叫做一元二次方程,通常可写成如下的一般形式:
ax2+bx+c=0(a≠0)其中二次项系数是a,一次项系数是b,常数项是c.例1.求方程x2+3=2x-4的二次项系数,一次项系数及常数项的积.
例2.若关于x的方程(m+3)+(m-5)x+5=0是一元二次方程,试求m的值,并计算这个方程的各项系数之和.
例3.若关于x的方程(k2-4)x2+x+5=0是一元二次方程,求k的取值范围.
例4.若α是方程x2-5x+1=0的一个根,求α2+的值.
1.关于的一元二次方程的一个根为1,则实数的值是()A.B.或C.D.2.一个三角形的两边长为3和6,第三边的边长是方程的根,则这个三角形的周长是( )A.11B.11或13C.13D.11和133.如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为,求道路的宽.(部分参考数据:
,,)
二、一元二次方程的一般解法基本方法有:
(1)配方法;
(2)公式法; (3) 因式分解法。
联系:
①降次,即它的解题的基本思想是:
将二次方程化为一次方程,即降次.②公式法是由配方法推导而得到.③配方法、公式法适用于所有一元二次方程,因式分解法适用于某些一元二次方程.区别:
①配方法要先配方,再开方求根.②公式法直接利用公式求根.③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式等于0.例1、用三种方法解下列一元二次方程1、x2+8x+12=02、3x2-x-6=0
用适当的方法解一元二次方程1、x2-2x-2=02、2x2+1=2x
3、x(2x-3)=(3x+2)(2x-3)4、4x2-4x+1=x2+6x+9
5、(x-1)2-2(x2-1)=0
注意:
选择解方程的方法时,应先考虑直接开平方法和因式分解法;再考虑用配方法,最后考虑用公式法三、判定一元二次方程的根的情况?
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△=b2-4ac,1.△=b2-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根;2.△=b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数;3.△=b2-4ac<0一元二次方程没有实根.例1、不解方程判断下列方程根的情况1、x2-(1+2)x++4=02、x2-2kx+(2k-1)=0
例2、关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2+3a-4=0有一个实数根是x=0.则a的值为例3、已知a、b、c是△ABC的三边长,且方程a(1+x2)+2bx-c(1-x2)=0的两根相等,则△ABC为例5、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根求的值
例6、(2006.广东)将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?
若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.
四、一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1x2x1+x2=-x1x2=例1.方程的x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1,x2,则(x1-1)(x2-1)=
例2.设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,
(1)试推导x1+x2=-,x1•x2=;
(2)求代数式a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)的值.
五、一元二次方程与实际问题的应用步骤:
①审②设③列④解⑤答应用题常见的几种类型:
1.增长率问题[增长率公式:
]例1:
某工厂一月份产值为50万元,采用先进技术后,第一季度共获产值182万元,二、三月份平均每月增长的百分率是多少?
例2:
某种产品的成本在两年内从16元降至9元,求平均每年降低的百分率。
1、某工厂今年利润为a万元,比去年增长10%,去年的利润为万元。
2、某商品连续两次降价10%后的价格为a元,该商品的原价应为3、某林场第一年造林100亩,以后造林面积逐年增长,第二年、第三年共造林375亩,后两年平均每年的增长率是多少?
2.面积问题[提示:
面积问题一定要画图分析]例:
一张长方形铁皮,四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形,再折起来做成一个无盖的小盒子。
已知铁皮的长是宽的2倍,做成的小盒子的容积是1536cm3,求长方形铁皮的长与宽。
1、要给一幅长30cm,宽25cm的照片配一个镜框,要求镜框的四条边宽度相等,且镜框所占面积为照片面积的四分之一,设镜框边的宽度为xcm,则依据题意列出的方程是_________.2、要建成一面积为130�O的仓库,仓库的一边靠墙(墙宽16m),并在与墙平行的一边开一个宽1m的门,现有能围成32m的木板。
求仓库的长与宽各是多少?
3.定价问题[提示:
单位利润×销量=总利润]例1:
某电视机专卖店出售一种新面市的电视机,平均每天售出50台,每台盈利400元。
为了扩大销售,增加利润,专卖店决定采取适当降价的措施。
经调查发现,如果每台电视机每降价10元,平均每天可多售出5台。
专卖店降价第一天,获利30000元。
问:
每台电视机降价多少元?
1、合肥百货大搂服装柜在销售中发现:
“宝乐”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“十•一”国庆节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存.经市场调查发现:
如果每件童装降价4元,那平均每天就可多售出8件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装因应降价多少元?
2、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?
每件商品应定价?
4.球赛问题(注:
单循环必须除2)例:
某校初二年级组织象棋比赛,每两个参赛选手之间都必须赛一场,全年级共进行了28场比赛,问这次参赛的选手有几位?
1、新年到了,初三
(2)班同学每人都互发贺卡祝福对方,共发了132张贺卡,问全班多少人?
2、要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
5.倍增问题例1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几人?
例2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分干总数是91,每个支干长出多少小分支?
6.数位问题[123=1×100+2×10+3×1;十位数字是a,个数字是b,则这个两位数可表示为:
10a+b]例:
有一个两位数,它的个位上的数字与十位上的数字的和是6,如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置,所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008,求调换位置后得到的两位数。
1、一个两位数,它的数字和为9,如果十位数字是a,那么这个两位数可表示为,若这个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数,这个新数可表示为。
2、一个两位数,十位数字比个位数字小2,如果把这个数的十位数字和个位数字对调,那么得到的新两位数与原来两位数的积为1855,若设十位为数字为X,则可列方程为:
3、一个两位数,个位数字比十位数字大3,个位数字的平方刚好等于这个两位数,则这个两位是。
7.中考题选讲1、如图A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16cm,BC=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,点Q以2cm/s的速度向点D移动.当点P运动到点B停止时,点Q也随之停止运动。
问几秒后,点P和点Q的距离是10cm?
2、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为15米的无盖长方体箱子,且此长方体箱子的底面长比宽多2米,现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱,问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱?
3、云南省2006年至2007年茶叶种植面积与产茶面积情况如表所示,表格中的、分别为2006年和2007年全省茶叶种植面积:
年 份种植面积(万亩)产茶面积(万亩)2006年2007年合 计
(1)请求出表格中、的值;
(2)在2006年全省种植的产茶面积中,若平均每亩产茶52千克,为使我省2008年全省茶叶种植产茶总产量达到22万吨,求2006年至2008年全省年产茶总产量的平均增长率(精确到0.01).(说明:
茶叶种植面积产茶面积未产茶面积)4、2008年5月1日,目前世界上最长的跨海大桥――杭州湾跨海大桥通车了.通车后,苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米.已知运输车速度不变时,行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时.
(1)求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程.
(2)若货物运输费用包括运输成本和时间成本,已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元,时间成本是每时28元,那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元?
(3)A地准备开辟宁波方向的外运路线,即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港,再从宁波港运到B地.若有一批货物(不超过10车)从A地按外运路线运到B地的运费需8320元,其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与
(2)中相同,从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是:
一车800元,当货物每增加1车时,每车的海上运费就减少20元,问这批货物有几车?
第22章一元二次方程复习题一、选择题1.下面关于x的方程中①ax2+bx+c=0;②3(x-9)2-(x+1)2=1;③x+3=;④(a2+a+1)x2-a=0;④=x-1.一元二次方程的个数是()A.1B.2C.3D.42.要使方程(a-3)x2+(b+1)x+c=0是关于x的一元二次方程,则()A.a≠0B.a≠3C.a≠1且b≠-1D.a≠3且b≠-1且c≠03.若(x+y)(1-x-y)+6=0,则x+y的值是()A.2B.3C.-2或3D.2或-34.若关于x的一元二次方程3x2+k=0有实数根,则()A.k>0B.k<0C.k≥0D.k≤05.下面对于二次三项式-x2+4x-5的值的判断正确的是()A.恒大于0B.恒小于0C.不小于0D.可能为06.下面是某同学在九年级期中测试中解答的几道填空题:
(1)若x2=a2,则x=a;
(2)方程2x(x-1)=x-1的根是x=0;(3)若直角三角形的两边长为3和4,则第三边的长为5.其中答案完全正确的题目个数为()A.0B.1C.2D.37.某种商品因换季准备打折出售,如果按原定价的七五折出售,将赔25元,而按原定价的九折出售,将赚20元,则这种商品的原价是()A.500元B.400元C.300元D.200元8.利华机械厂四月份生产零件50万个,若五、六月份平均每月的增长率是20%,则第二季度共生产零件()A.100万个B.160万个C.180万个D.182万个二、填空题9.若ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程,则不等式3a+6>0的解集是________.10.已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是-1,则k=_______.11.若x=2-,则x2-4x+8=________.12.若(m+1)+2mx-1=0是关于x的一元二次方程,则m的值是________.13.若a+b+c=0,且a≠0,则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根,它是_______.14.若矩形的长是6cm,宽为3cm,一个正方形的面积等于该矩形的面积,则正方形的边长是_______.15.若两个连续偶数的积是224,则这两个数的和是__________.三、计算题(每题9分,共18分)16.按要求解方程:
(1)4x2-3x-1=0(用配方法);
(2)5x2-x-6=0(精确到0.1)17.用适当的方法解方程:
(1)(2x-1)2-7=3(x+1);
(2)(2x+1)(x-4)=5;
(3)(x2-3)2-3(3-x2)+2=0.
18.若方程x2-2x+(2-)=0的两根是a和b(a>b),方程x-4=0的正根是c,试判断以a、b、c为边的三角形是否存在.若存在,求出它的面积;若不存在,说明理由.
19.已知关于x的方程(a+c)x2+2bx-(c-a)=0的两根之和为-1,两根之差为1,其中a,b,c是△ABC的三边长.
(1)求方程的根;
(2)试判断△ABC的形状.20.某服装厂生产一批西服,原来每件的成本价是500元,销售价为625元,经市场预测,该产品销售价第一个月将降低20%,第二个月比第一个月提高6%,为了使两个月后的销售利润达到原来水平,该产品的成本价平均每月应降低百分之几?
21.李先生乘出租车去某公司办事,下午时,打出的电子收费单为“里程11公里,应收29.10元”.出租车司机说:
“请付29.10元.”该城市的出租车收费标准按下表计算,请求出起步价N(N<12)是多少元.里程(公里)0
【中考真题】22.(2008广州)方程的根是()ABCD23.(2008襄樊)某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的,则平均每次降价()A.B.C.D.24.(2008威海)关于x的一元二次方程的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定25.(2008四川省资阳)已知a、b、c分别是三角形的三边,则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况是( )A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根26.(200年湖北省仙桃市潜江市江汉油田)关于的一元二次方程的一个根为1,则方程的另一根为.27.(2008江苏省淮安市)小华在解一元二次方程x2-4x=0时.只得出一个根是x=4,则被他漏掉的一个根是x=_____.28.(2008东莞市)在长为10cm,宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形,使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,求所截去小正方形的边长。
29.(2008年湘潭)阅读材料:
如果,是一元二次方程的两根,那么有.这是一元二次方程根与系数的关系,我们利用它可以用来解题:
设是方程的两根,求的值.解法可以这样:
则.请你根据以上解法解答下题:
已知是方程的两根,求:
(1)的值;
(2)的值.
顶尖教育一元二次方程单元测试卷(考试时间:
120分,满分:
150分)姓名成绩评定一、选一选(每小题3分,共36分)1.方程x2+4x=2的正根为()A.2-B.2+C.-2-D.-2+2.已知关于x的一元二次方程的两个根是1和-2,则这个方程是()A.B.C.D.3.某商品两次价格上调后,单价价格从4.05元变为5元,则平均每次调价的百分率约为()A.9%B.10%C.11%D.12%4.若使分式的值为零,则x的取值为()A.1或-1B.-3或1C.-3D.-3或15.将方程3(2x2-1)=(x+)(x-)+3x+5化成一般形式后,其二次项系数,一次项系数,常数项分别为。
()A.5,3,5B.5,-3,-5C.7,,2D.8,6,16.某商店卖出A、B两种价格不同的商品,商品A连续两次提价20%,同时商品B连续两次降价20%,结果都以a元出售,则两种商品的原价分别是()A.(1+20%)2;a(1-20%)2B.;;a(1-20%)27.已知一个三角形的两边长是方程的根,则第三边长y的取值范围是()A.y<8B.2 三、解答题(仔细是我们要培养的良好习惯)23.(5分)(用配方法)24.(5分) 29.(10分)已知关于x的方程(m+1)x+(m-2)x-1=0,问: (1)m取何值时,它是一元二次方程? 并求方程的解; 30.(10分)如图,在长为32m,宽为20m的矩形地面上修建同样宽度的道路(图中阴影部分),余下的部分种植草坪,要使草坪的面积为540m2,求道路的宽? 31.(10分)某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用作购物,剩下的1000元及应得的利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后得本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率。 32.(12分)某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件; (1)若商场平均每天要赢利1200元,每件衬衫应降价多少元? 一、1.B点拨: 方程①与a的取值有关;方程②经过整理后,二次项系数为2,是一元二次方程;方程③是分式方程;方程④的二次项系数经过配方后可化为(a+)2+.不论a取何值,都不为0,所以方程④是一元二次方程;方程⑤不是整式方程.也可排除,故一元二次方程仅有2个.2.B点拨: 由a-3≠0,得a≠3.3.C点拨: 用换元法求值,可设x+y=a,原式可化为a(1-a)+6=0,解得a1=3,a2=-2.4.D点拨: 把原方程移项,变形为: x2=-.由于实数的平方均为非负数,故-≥0,则k≤0.5.B点拨: -x2+4x-5=-(x2-4x+5)=-(x2-4x+4+1)=-(x-2)2=-1.由于不论x取何值,-(x-2)2≤0,所以-x2+4x-5<0.6.A点拨: 第 (1)题的正确答案应是x=±a;第 (2)题的正确答案应是x1=1,x2=.第(3)题的正确答案是5或.7.C点拨: 设商品的原价是x元.则0.75x+25=0.9x-20.解之得x=300.8.D点拨: 五月份生产零件: 50(1+20%)=60(万个)六月份生产零件50(1+20%)2=72(万个)所以第二季度共生产零件50+60+72=182(万个),故选D.二、9.a>-2且a≠0点拨: 不可忘记a≠0.10.±点拨: 把-1代入方程: (-1)2+3×(-1)+k2=0,则k2=2,所以k=±.11.14点拨: 由x=2-,得x-2=-.两边同时平方,得(x-2)2=10,即x2-4x+4=10,所以x2-4x+8=14.注意整体代入思想的运用.12.-3或1点拨: 由解得m=-3或m=1.13.1点拨: 由a+b+c=0,得b=-(a+c),原方程可化为ax-(a+c)x+c=0,解得x1=1,x2=.14.3cm点拨: 设正方形的边长为xcm,则x2=6×3,解之得x=±3,由于边长不能为负,故x=-3舍去,故正方形的边长为3cm.15.30或-30点拨: 设其中的一个偶数为x,则x(x+2)=224.解得x1=14,x2=-16,则另一个偶数为16,-14.这两数的和是30或-30.三、16.解: (1)4x2-3x-1=0,称,得4x2-3x=1,二次项系数化为1,得x2-x=,配方,得x2-x+()2=+()2,(x-)2=,x-=±,x=±,所以x1=+=1,x2=-=. (2)5x2-x-6=0原方程可化为(x+2)(x-3)=0,+2=0或-3=0,所以x1=≈=0.9,x2=≈1.3.点拨: 不要急于下手,一定要审清题,按要求解题.17.解: (1)(2x-1)2-7=3(x+1)整理,得4x2-7x-9=0,因为a=4,b=-7,c=-9.所以x=.即x1=,x2=. (2)(2x+1)(x-4)=5,整理,得2x2-7x-9=0,(x+1)(2x-9)=0,即x+1=0或2x-9=0,所以x1=-1,x2=.(3)设x2-3=y,则原方程可化为y2+3y+2=0.解这个方程,得y1=-1,y2=-2.当y1=-1时,x2-3=-1.x2=2,x1=,x2=-.当y2=-2时,x2-3=-2,x2=1,x3=1,x4=-1.点拨: 在解方程时,一定要认真分析,选择恰当的方法,若遇到比较复杂的方程,审题就显得更重要了.方程(3)采用了换元法,使解题变得简单.18.解: 解方程x2-2x+(2-)=0,得x1=,x2=2-.方程x2-4=0的两根是x1=2,x2=-2.所以a、b、c的值分别是,2-,2.因为+2-=2,所以以a、b、c为边的三角形不存在.点拨: 先解这两个方程,求出方程的根,再用两边的和与第三边相比较等来判断.19.解: (1)设方程的两根为x1,x2(x1>x2),则x1+x1=-1,x1-x2=1,解得x1=0,x2=-1. (2)当x=0时,(a+c)×02+2b×0-(c-a)=0.所以c=a.当x=-1时,(a+c)×(-1)2+2b×(-1)-(c-a)=0.a+c-2b-c+a=0,所以a=b.即a=b=
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