乘法简便算法.docx
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乘法简便算法
乘法简便算法
王贵存
用阿拉伯数字0至9可组成无数的数字,任取两个数字组合作乘法,这无数个的乘法算式有三种特殊情况存在。
以下就对这三种特殊情况一一进行研究。
一、建立一个乘法算式数字模型;
AC×BD=QH
A,B-------分别表示两个因数十位数(含)以前的数字
C,D------分别表示两个因数的个位数字
Q--------表示乘积百位数(含)以前的数字
H-------表示乘积十位数(含)以后的数字
二、第一种特殊情况:
当A=B,C+D=10时
则有:
Q=A×(B+1)
H=C×D
例题1:
63X67
乘积百位数(含)以前的数字是6×(6+1)=42
乘积十位数(含)以后的数字是3×7=21
运算结果:
63×67=4221
例题2:
54×56=3024(过程略)
例题3:
121×129=15609(十位数为0时不能省略)
例题4:
用此法记忆5的平方数
15²=22525²=62535²=102545²=2025
55²=302565²=422575²=5625-----------
第一种特殊情况用一句话记,积是:
前边等于一(个)乘一(个)加1,
后边等于个位积。
三、第二种特殊情况:
当:
A>B,A-B之差为偶数,
C=D=5时
则有:
Q=A×(B+1)-(A-B)÷2
H=C×D=25
在这里A>B,把A称为大数,简称大,
把B称为小数,简称小,
(A-B)÷2称为差的一半。
例题1:
65×25
一个因数十位数(含)以前的数字A=6
另一个因数十位数(含)以前的数字B=2
A>B,A-B=6-2=4,
差为偶数,其一半是2
Q=A×(B+1)-(A-B)÷2
=6×(2+1)-(6-2)÷2
=16
H=C×D
=5×5
=25
运算结果:
65×25=1625
例题2:
135×75
=13×(7+1)―(13-7)÷2|(5X5)
=13×8-3|25
=10125
在这里:
“|”是十位和百位的分界符号
四、第三种特殊情况:
当:
A>B,A-B之差为奇数,
C=D=5时
则有:
Q=A×(B+1)―(A-B+1)÷2
H==100―C×D=75
例题1:
135×65
一个因数十位数(含)以前的数字A=13
另一个因数十位数(含)以前的数字B=6
A>B,A-B=13-6=7,差为奇数,
(A-B+1)÷2=﹙7+1﹚÷2=4,其大半是4
Q=A×(B+1)―(A-B+1)÷2
=13×(6+1)―(13-6+1)÷2=87
H=75
运算结果:
135×65=8775
在这里把﹙A-B+1﹚÷2称作差的大半,
把﹙A-B-1﹚÷2称作差的小半。
例题2:
85×35
大×(小+1)=32
差的大半=3
Q=大×﹙小+1﹚―差的大半
=32―3
=29
差为奇数
H=75
运算结果:
85×35=2975
综上二、三两种特殊情况看出:
1、运算结果前半部分由两部分组成,大×﹙小+1﹚是相同的,不同的是差为偶数减一半,差为奇数减大半。
2、差为偶数后两位是25,差为奇数后两位是75。
五、三种特殊情况小结
三种特殊情况有一共同点,首先是把两个因数分成了两部分,在求积时又把积分成了两部分考虑,这样就好比是把一个三位数乘法分成了一个两位数乘法,另一个是一个一位数乘法,其结果是把复杂的问题简单化了。
这正是我们研究以上三种特殊情况的目的所在。
通过研究以上三种特殊情况我们获得了一个把多位数乘法变成简单乘法的方法,甚至於说,把算乘法变成了算加减法;把笔算、纸算变成了心算、口算。
六、应用
1、我们遇到的问题复杂多变,特殊情况毕竟是少数。
特殊情况的问题我们有了解决的办法,那么我们把一般情况的问题转换成特殊问题的形式来表示,问题就迎刃而解了。
下面用几个例题说明。
例1∶84×93
=﹙85-1﹚×﹙95-2﹚
=95×85-95-2×85+2
=8075-263
=7812
例2∶67×72
=﹙65+2﹚×﹙75-3﹚
=75×65+2×75-3×65-6
=4875-51
=4824
2、在讨论第二、第三种特殊情况时总结出的这样两句话
“大×﹙小+1﹚”,“差为偶数减一半,差为奇数减大半”,改作“小×﹙大+1﹚,差为偶数加一半,差为奇数加小半”也可以。
既然这样两句话可以反过来,那么45×55、
65×75等类似问题算起来就更简单了。
前面计算过5的平方数,现在相邻两数的乘积也可脱口而出。
3、遇有小数、负数时只考虑数字不考虑小数点和正负号,前面讲的简便算法仍然适用,算完数字再按小数乘法和正负数乘法的规则确定小数点位置及正负号就可以了。
4、此方法应用时具体问题具体分析,既然只是一种简便算法,那么能简便就用,不简便就不用,但是这种算法适用于各种情况勿容置疑。
七、典型题解
例题1、755×745
分析:
两因数个位均为5,剩余部分75>74,差是1为奇数,积的后两位肯定是75;
大×﹙小+1﹚-差的大半,大×﹙小+1﹚=75×75,
差的大半=1,Q=75×75-1;
75×75是一个75²,到此得出结果:
755×745
=75²-1|75
=5625-1|75
=562475
例题2、655×345
分析:
两因数个位均为5,剩余部分65>34,差是31为奇数,差的大半是16积的后两位肯定是75;
大×﹙小+1﹚-差的大半=65×35-16,在65×35中6>3,差是3为奇数,差的大半=2,后两位又是一个75,这个75在前面分析所得出的75的前面,
75-16=59;
又一次大×﹙小+1﹚-大半=6×﹙3+1﹚-2,
即24-2=22
结果已经分析出来了:
655×345=225975
例题3、8655×8345
分析:
两个因数在前面多了一个8其他都一样,结果应是积的前面多了一个72,因为上题后一个大×﹙小+1﹚是6和4,6+4=10,属第一种特殊情况。
8655×8345=72225975
2012年2月2日
特殊数字5和10的乘法
在乘法算式中遇有5和10这样的特殊数字,可以用特殊的方法进行运算。
1、遇有数字10的情况,比如63×6754×5642×48,
在每个算式中每个乘数的前面数字相同,而个位数之和是10,这种特殊情况用以下特殊的方法进行运算:
乘积后两位是个位数之积,后两位之前的数是一个数×﹙一个数+1﹚。
即:
63×67=6×﹙6+1﹚|﹙3×7﹚
=4221
“|”是积的十位和百位之间的分界符号
54×56=5×﹙5+1﹚|﹙4×6﹚
=3024
42×48=4×﹙4+1﹚|﹙2×8﹚
=2016
31×39=3×﹙3+1﹚|﹙1×9﹚
=1209遇有数字1和9时十位要补0
65×65=6×﹙6+1﹚|﹙5×5﹚
=4225
5+5=10,65×65=65²,那末5的平方数都很容易算出来了,那就是:
55×55=3025,45×45=2025,35×35=1225,
75×75=5625,85×85=7225,95×95=9025,------
2、再说5的乘法,上面遇到了个位数都是5的情况,而且前面数字相同,若是前面数字不相同时怎么办?
比如:
85×3585×45135×75125×115-------
记住下面口诀,问题迎刃而解。
口诀是:
后面俩5先舍去,算完前面再补齐。
剩下大小比一比,求差判(断)偶、奇。
(再按以下方法运算得到乘积)
大×(小+1﹚,多的再减去。
差奇减大半,后补75;(差是奇数时乘积后两位定是75)
差偶减一半,后补25。
(差是偶数时乘积后两位定是25)
例1、85×35
后面俩5先舍去,剩下8和3,8>3,差是5为奇数,差的大半是3,大×(小+1﹚就是8×(3+1﹚=32,
多的再减去就是32-3=29,差奇减大半,后补75
则有:
85×35=2975
例2、85×45
后面俩5先舍去,剩下8和4,8>4,差是4为偶数,差的一半是2,大×(小+1﹚就是8×(4+1﹚=40,
多的再减去,差偶减一半就是40-2=38,后补25
则有:
85×45=3825
例3、135×75
后面俩5先舍去,剩下13和7,13>7,差6为偶数,差的一半是3,大×(小+1﹚多的再减去就是:
13×(7+1﹚-3=101,差为偶数,后两位是25,
则有:
135×75=10125
例4、125×115
后面俩5先舍去,剩下12和11,12>11,差1为奇数,差的大半是1,大×(小+1﹚多的再减去是:
12×(11+1﹚-1=143,差为奇数,后两位是75。
则有:
125×115=14375
差为奇数时,将差拆分成相邻的两个自然数,大的称作差的大半,小的称作差的小半,或(差+1﹚/2称作差的大半,(差-1﹚/2称作差的小半
(待续)
2012、3、8
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