数学模型姜启源答案.docx
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数学模型姜启源答案
数学模型姜启源答案
【篇一:
姜启源课后习题】
xt>第1章建立数学模型
1.1在稳定的椅子问题中,如设椅子的四脚连线呈长方形,结论如何?
(稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页)
1.2在商人们安全过河问题中,若商人和随从各四人,怎样才能安全过河呢?
一般地,有n名商人带n名随从过河,船每次能渡k人过河,试讨论商人们能安全过河时,n与k应满足什么关系。
(商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页)
1.3人、狗、鸡、米均要过河,船需要人划,另外至多还能载一物,而当人不在时,狗要吃鸡,鸡要吃米。
问人、狗、鸡、米怎样过河?
1.4有3对夫妻过河,船至多载两人,条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。
问怎样过河?
1.5如果银行存款年利率为5.5%,问如果要求到2010年本利积累为100000元,那么在1990年应在银行存入多少元?
而到2000年的本利积累为多少元?
1.6某城市的logistic模型为
dn11
dt?
25n?
25?
10
6n2,如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。
设该市1990
年人口总数为8000000人,试求该市在未来的人口总数。
当t?
?
时发生什么情况。
1.7假设人口增长服从这样规律:
时刻t的人口为x(t),最大允许人口为xm,t到t?
?
t时间内人口数量与xm?
x(t)成正比。
试建立模型并求解,作出解的图形并与指数增长模型和阻滞
增长模型的结果进行比较。
1.8一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间?
如何求出这些时间?
1.9你在十层楼上欲乘电梯下楼,如果你想知道需要等待的时间,请问你需要有哪些信息?
如果你不愿久等,则需要爬上或爬下几个楼层?
1.10居民的用水来自一个由远处水库供水的水塔,水库的水来自降雨和流入的河流。
水库的水可以通过河床的渗透和水面的蒸发流失。
如果要你建立一个数学模型来预测任何时刻水塔的水位,你需要哪些信息?
第2章初等模型
2.1学校共1000名学生,235人住在a宿舍,333人住在b宿舍,432人住在c宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会,试用下列办法分配各宿舍的委员数:
(1)按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者.
(2)2.1节中的q值方法.
(3)d’hondt方法:
将各宿舍的人数用正整数n?
1,2,
3,?
相除,其商数如下表:
将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线,表中a,b,c行有横线的数分别为2,3,5,这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人,用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.
(4)你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额.2.2在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种想象了吗.比如洁银牙膏50克装的每支1.50元,120克装的每支3.00元,二者单位的重量的价格比是1.2:
1,试用比例方法构造模型解释这个现象.
(1)分析商品的价格c与商品重量w的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定,这些成本中有的与重量w成正
比,有的与表面积成正比,还有与w无关的因素。
(2)给出单位重量价格c与w的关系。
画出它的简图,说明w越大c越小,但是随着w的增加c减小的程度变小。
解释实际意义是什么。
2.3一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生,打算按照放生的鱼的重量给予奖励,俱乐部只准备了一把软尺用与测量,请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假设鱼池中只有一种鲈鱼,并且得到了8条鱼的如下数据(胸围指鱼身的最大周长):
先用机理分析建立模型,再用数据确定参数。
2.4用已知尺寸的矩形板材加工一定的圆盘,给出几种简便、有效的排列方法使加工出尽可能多的圆盘。
2.5雨滴匀速下降,空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比,试确定雨速与雨滴质量的关系。
2.6生物学家认为,对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温,能量与从心脏到全身的血流量成正比,而体温主要通过身体表面散失,建立一个动物体重与心率之间关系的模型,并用下面的数据加以检验。
2.7举重比赛按照运动员的体重分组,你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。
下面是一界奥运会竞赛的成绩,可供检验你的模型。
2.8速度为v的风吹在迎风面积s为的风车上,空气密度是
?
。
用量纲分析方法确定风车获得的功率p与v,s,?
的关系。
2.9雨速的速度v与空气密度?
、粘滞系数?
和重力加速度g有关,其中粘滞系数的定义是:
运动物体在流体中受的摩力与速度梯度和接触面积的乘积成正比,比例系数为粘滞系数。
用量
纲分析方法给出速度v的表达式。
2.10原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播。
据分析在时刻t冲击波达到的半径r与释放能量e,大气密度?
,大气压强p有关(设t?
0时r?
0)。
用量纲分析方法
证明,r?
?
?
?
?
et2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
p5t6?
?
e2?
3?
?
?
,?
是未定函数。
2.11用量纲分析方法研究人体浸在匀速流动的水里时损失
的热量。
记水的流速v,密度?
,比热c,粘性系数?
,热传导系数k,人体尺寸d。
证明人体与水的热交换系数h与上述各物理量的关系可表为h?
k?
v?
d?
c?
d?
?
?
?
?
k?
?
?
,?
是未定函数,h定义为单位时间内人体的单位面积在人体与水的温差为1?
c时的热量交换。
2.12在小说《格里佛游记》中,小说国中的人们决定给格里佛相当与一个小人食量1728倍的食物.他们是这样推理的,因格里佛身高是小人的12倍.他的体格是小人的123?
1728倍.所以他需要的食物是一个小人的食量的1728倍.为什么他们的推理是错误的?
正确的答案是什么?
2.13战后olympic运动会女子铅球记录如下:
你是否可以从这些数据中预测2000年的奥运会女子铅球的最佳成绩.
第3章简单的优化模型
3.1在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。
重新确定最优订货周期和订货批量。
证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样。
而在允许缺货模型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减少。
3.2建立不允许缺货的生产销售存贮模型。
设生产速率为常数k,销售速率为常数r,k?
r在每个生产周期t内,开始的一段时间(0?
t?
t0)一边生产一边销售,后来的一段时间(t0?
t?
t)只销售不生产,画出贮存量q(t)的图形。
设每次生产准备费为c1,单位时间每件产品贮存费为c2,以总费用最小为目标确定最优生产周期。
讨论k?
?
r和k?
r的情况。
3.3在3.3节森林救火模型中,如果考虑消防队员的灭火速度?
与开始救火时的火势b有关,试假设一个合理的函数关系,重新求解模型。
3.4在雨中从一处沿直线跑道另一处,若雨速为常数且方向不变。
试建立数学模型讨论是否跑的越快,淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体,高a?
1.5m(颈部以下),宽b?
0.5m,厚
c?
0.2m,设跑步距离d?
1000m,跑步最大速度vm?
5m/s,
雨速u?
4m/s,降雨量w?
2cm/h,记跑步速度为v。
按以下
步骤进行讨论:
(1)不考虑雨的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的总淋雨量。
(2)雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一平面内,
且与人体的夹角为?
,如图1,建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,?
之间的关系,问速度v多大,总淋雨量
最少。
计算?
?
0?
,?
?
30?
时的总淋雨量。
(3)雨从背后吹来,雨线方向与跑步方向在同一平面内,且
与人体的夹角为?
,如图2。
建立总淋雨量与速度v及参数a,
b,c,d,u,w,?
之间的关系,问速度v多大,总淋雨量最少。
计算?
?
30?
时总淋雨量。
(4)以总淋雨量为纵轴,速度v为横轴,对(3)作图(考虑?
的影响),并解释结果的实际意义。
(5)若雨线方向与跑步方向不在同一平面内,模型会有什么变化。
图1
图2
3.5甲乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量,广告费分别是x和y。
设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中占的份额,是它们的广告费在总广告中所占份的函数f(
xx?
y)和f(yx?
y
)。
又设公司的收入与售量成正比,从收入中扣除广告费即为公司的
利润。
试构造模型的图形,并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。
(1)令t?
x
x?
y
,则f(t)?
f(1?
t)?
1。
画出f(t)的示
意图。
(2)写出甲公司利润的表达式p(x)。
对于一定的y,使p(x)最大的x的最优值应满足什么关系。
用图解法确定这个最优值。
3.6人行走时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。
试建立模型讨论在作功最小的准则下每秒走几步最合适(匀速行走)。
(1)设腿长l,步长s,证明人体重心在行走时升高
?
?
s2l(s?
l)
(2)将腿看作均匀直杆,行走看作腿绕腰部的转动。
设腿的质量m,行走速度v,证明单位时间所需动能为mv2s。
(3)设人体质量m,证明在速度v一定时每秒行走n?
3mg
m4ml
步作功最小。
m?
4,l?
1m分析这个结果合理吗。
(4)将
(2)的假设修改为:
腿的质量集中在脚部,行走看作脚的直线运动。
证明结果应为n?
mg
4ml
步。
分析这个结果合理。
3.7驶于河中的渡轮,它的行驶方向要受水流的影响。
船在河的位置不同,所受到水流的影响也不同。
试设计一条使渡轮到达对岸时间最短的航线。
3.8发电站的设计者们在堰坝上安装水轮机,当潮水通过堰坝时,推动水轮机运转,从而带动发电机发电。
潮水通过水轮机
3.9别为p,q室(如图所示)少应宽多少?
3.10程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。
(1)设鱼总是以常速v运动,鱼在水中净重w,向下滑行时的阻力是w在运动方向的分力;向上游动时所需的力是w在运动方向分力与游动所受阻力之和,而游动的阻力是滑行阻力的k倍,水平方向游动时阻力也是滑行阻力的k倍,写出这些力。
(2)证明当鱼要从a点到达处于同一水平线上的b点时(见下图),沿折线acb运动消耗的能量与沿水平线ab运动消耗的能量之比为(向下滑行不消耗能量)ksin?
?
sin?
ksin(?
?
?
)
。
(3)根据实际观察ctan?
?
0.2,试对不同的
k值(1.5,2,3),根据消耗能量最小的准则估计最佳的?
值。
b
【篇二:
2011数学建模a题参考答案】
ss=txt>摘要
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加,人类活动对城市环境质量的影响日显突出。
通过对城市土壤重金属的调查,应用数学方法对数据进行处理。
得到城市环境质量的演变,已是人们日益关注的焦点。
对于问题一,用附件一中给出的数据,用matlab插值法建立三维模型,总共有9个图,一个是取样地点的地形图,另外八个是八种重金属元素的浓度分布图,通过模型图我们可以清楚的看到各种元素不同的空间分布。
然后通过均值法,算出不同区域内各种重金属元素的污染程度。
对于问题二,通过对问题一结论的分析得出,生活区和工业区是污染比较厉害的地区。
目前我国由于在重金属的开采、冶炼、加工过程中,造成不少重金属如铅、汞、镉、钴等进入大气、水、土壤引起严重的环境污染。
人类生活中各种用品都含有不同量的重金属元素,比如说废旧电池,含有较多的汞、铬、锰、铅、镍、锌等重金属。
它们通过自然和生物降解,随着雨水进入到土壤和河流当中。
对于问题三,根据前两问的结论分析重金属的传播特征,主要有从高海拔到低海拔,从高浓度区向低浓度区扩散。
我们建立扩散模型,求出函数的极值,从而确定污染源的位置。
对于问题四,我们仔细分析了模型的优缺点。
为更好地研究城市地质环境的演变模式,还应收集该地区的每年生活、工业等重要污染源的垃圾排放量,以及每年的生物降解量,降雨量对重金属元素扩散的影响,空气污染也应该考虑进去。
有了这些数据以后建立因子分析法,回归分析,曲线拟合等模型解决问题。
关键词:
插值法、均值法、扩散模型、因子分析、回归分析。
一、问题重述与分析
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加,人类活动对城市环境质量的影响日显突出。
对城市土壤地质环境异常的查证,以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价,研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式,日益成为人们关注的焦点。
按照功能划分,城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等,分别记为1类区、2类区、……、5类区,不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。
附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息,附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度,附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。
现在通过数学建模来完成以下任务:
(1)给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布,并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
(2)通过数据分析,说明重金属污染的主要原因。
(3)分析重金属污染物的传播特征,由此建立模型,确定污染源的位置。
(4)分析你所建立模型的优缺点,为更好地研究城市地质环境的演变模式,还应收集什么信息?
有了这些信息,如何建立模型解决问题?
二、模型假设
(1)污染源的重金属浓度不在增加。
(2)取样点的数据较好的反映了该地区的污染物浓度。
(3)测量的个别数据对整体没有影响。
(4)元素的扩散只与元素的含量的高低有关。
三、符号约定
i=1,2,3,……8,分别对应8种金属元素,
x表示距离参照点的横坐标
y表示距离参照点的纵坐标
z
i表示i种金属的x,y处的含量(j=1,2,3,4,5,)表示种元素在j区的平均含量ij
bi该地区i种元素的背景值
k为考虑各差异可能会引起背景值的变动而取的系数(这里取1.5)。
ci为土壤中污染中污染元素i的实测值;
si为土壤中污染元素i的背景值。
四、模型的建立与求解
问题一:
该地区的空间模拟图
该地区as的含量图
该地区cd含量图
该地区cr含量图
【篇三:
ch1数学模型作业解答】
>第一章(2009年2月24日)
4.在“椅子摆放问题”的假设条件中,将四脚的连线呈正方形改为呈长方形,其余条件不变.试构造模型并求解.
解:
设椅子四脚连线呈长方形abcd.ab与cd的对称轴为x轴,用中心点的转角?
表示椅子的位置.将相邻两脚a、b与地面距离之和记为f(?
);c、d与地面距离之和记为g(?
).并旋转1800.于是,设f(0)?
0,g(0)?
0,就得到g?
?
?
?
0,f?
?
?
?
0.
数学模型:
设f?
?
?
、g?
?
?
是?
0,2?
?
上?
的非负连续函数.若?
?
?
?
0,2?
?
有f?
?
?
g?
?
?
?
0,且g?
0?
?
0,f?
0?
?
0,g?
?
?
?
0,f?
?
?
?
0,则?
?
0?
?
0,2?
?
使f?
?
0?
?
g?
?
0?
?
0.
模型求解:
令h(?
)?
f(?
)?
g(?
).就有h(0)?
0,h(?
)?
f(?
)?
g(?
)?
0?
g(?
)?
0.再由f?
?
?
g?
?
?
的连续性,得到h?
?
?
是一个连续函数.从而h?
?
?
是?
0,?
?
上的连续函数.由连续函数的介值定理:
?
?
0?
?
0,?
?
使h?
?
0?
?
0.即?
?
0?
?
0,?
?
使f?
?
0?
?
g?
?
0?
?
0.
又因为?
?
?
?
0,2?
?
有f?
?
?
g?
?
?
?
0.故f?
?
0?
?
g?
?
0?
?
0.
8.假定人口的增长服从这样的规律:
时刻t的人口为x(t),单位时间内人口的增量与xm?
x(t)成正比(其中xm为最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果比较.
解:
现考察某地区的人口数,记时刻t的人口数为x?
t?
(一般x?
t?
是很大的整数),且设x?
t?
为连续可微函数.又设x?
t?
|t?
0?
x0.任给时刻t及时间增量?
t,因为单位时间内人口增长量与xm?
x(t)成正比,假设其比例系数为常数r.则t到t?
?
t内人口的增量为:
x?
t?
?
t?
?
x?
t?
?
r(xm?
x?
t?
)?
t.
两边除以?
t,并令?
t?
0,得到
?
dx?
?
r(xm?
x)解为x(t)?
xm?
(xm?
x0)e?
rt?
dt?
?
x(0)?
x0
如图实线所示,
当t充分大时xm
它与logistic模型相近.
x0
t
9.为了培养想象力、洞察力和判断力,考察对象时除了从正面分析外,还常常需要从侧面或反面思考.试尽可能迅速回答下面问题:
(1)某甲早8:
00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:
00到达山顶并留宿.
次日早8:
00沿同一路径下山,下午5:
00回到旅店.某乙说,甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么?
(2)37支球队进行冠军争夺赛,每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者
进入下一轮,直至比赛结束.问共需进行多少场比赛,共需进行多少轮比赛.如果是n支球队比赛呢?
(3)甲乙两站之间有电车相通,每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车,但发车时刻
不一定相同.甲乙之间有一中间站丙,某人每天在随机的时刻到达丙站,并搭乘最先经过丙站的那趟车,结果发现100天中约有90天到达甲站,仅约10天到达乙站.问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的?
(4)某人家住t市在他乡工作,每天下班后乘火车于6:
00抵达t市车站,他的
妻子驾车准时到车站接他回家,一日他提前下班搭早一班火车于5:
30抵t市车站,随即步行回家,他的妻子象往常一样驾车前来,在半路上遇到他,即接他回家,此时发现比往常提前了10分钟.问他步行了多长时间?
(5)一男孩和一女孩分别在离家2km和1km且方向相反的两所学校上学,每天
同时放学后分别以4km/h和2km/h的速度步行回家.一小狗以6km/h的速度由男孩处奔向女孩,又从女孩处奔向男孩,如此往返直至回到家中,问小狗奔波了多少路程?
如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间,问当他们到达学校时小狗在何
处?
解:
(1)方法一:
以时间t为横坐标,以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程x为纵坐标,第一天的行程x(t)可用曲线(?
)表示,第二天的行程x(t)可用曲线(?
?
)表示,(?
)(?
?
)是连续曲线必有交点p0(t0,d0),
两天都在t0时刻经过d0地点.
方法二:
设想有两个人,一人上山,一人下山,同一天同时出发,沿同一路径,必定相遇.d0
t
早8t0晚5
方法三:
我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为f(t)(即t时刻走的路程为f(t)),同样设从山顶到山下旅店的路函数为g(t),并设山下旅店到山顶的距离为a(a0).由题意知:
f(8)?
0,f(17)?
a,g(8)?
a,g(17)?
0.令h(t)?
f(t)?
g(t),则有h(8)?
f(8)?
g(8)?
?
a?
0,h(17)?
f(17)?
g(17)?
a?
0,由于f(t),g(t)都是时间t的连续函数,因此h(t)也是时间t的连续函数,由连续函数的介值定理,?
t0?
[8,17],使h(t0)?
0,即f(t0)?
g(t0).
(2)36场比赛,因为除冠军队外,每队都负一场;6轮比赛,因为2队赛1轮,4队赛2轮,32队赛5轮.n队需赛n?
1场,若2k?
1?
n?
2k,则需赛k轮.
(3)不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是8:
00,8:
10,8:
20,……
那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是8:
09,8:
19,8:
29……
(4)步行了25分钟.设想他的妻子驾车遇到他后,先带他前往车站,再回家,汽车多行驶了10分钟,于是带他去车站这段路程汽车多跑了5分钟,而到车站的时间是6:
00,所以妻子驾车遇到他的时刻应该是5:
55.
(5)放学时小狗奔跑了3km.孩子上学到学校时小狗的位置不定(可在任何位置),因为设想放学时小狗在任何位置开始跑,都会与孩子同时到家.之所以出现位置不定的结果,是
由于上学时小狗初始跑动的那一瞬间,方向无法确定.
10.某人第一天上午9:
00从甲地出发,于下午6:
00到达乙地.第二天上午9:
00他又从乙地出发按原路返回,下午6:
00回到甲地.试说明途中存在一点,此人在两天中同一时间到达该处.若第二天此人是下午4:
00回到甲地,结论将如何?
答:
(方法一)我们以甲地为始点记路程,设从甲地到乙地的路程函数为f(t)(即t时刻走的路程为f(t)),同样设从乙地到甲地的路函数为g(t),并设甲地到乙地的距离为a(a0).由题意知:
f(9)?
0,f(18)?
a,g(9)?
a,g(18)?
0.令*
h(t)?
f(t)?
g(t),则有h(9)?
f(9)?
g(9)?
?
a?
0,
h(18)?
f(18)?
g(18)?
a?
0由于f(t),g(t)都是时间t的连续函数,因此h(t)也是时间t的连续函数,由连续函数的介值定理,?
t0?
[9,18],使h(t0)?
0,即f(t0)?
g(t0).若第二天此人是下午4:
00回到甲地,则结论仍然正确,这是因为h(9)?
f(9)?
g(9)?
?
a?
0,h(16)?
f(16)?
g(16)?
f(16)?
0.
(方法二)此题可以不用建模的方法,而变换角度考虑:
设想有两个人,一人从甲地到乙地,另一人从乙地到甲地,同一天同时出发,沿同一路径,必定相遇.若第二天此人是下午4:
00回到甲地,则结论仍然正确.
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