24.1.2垂直于弦的直径ppt课件.ppt
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24.1圆的有关性质,第二十四章圆,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,24.1.2垂直于弦的直径,1.进一步认识圆,了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论,并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.(重点)3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.(难点),学习目标,折一折:
你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗?
在折的过程中你有何发现?
圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴,导入新课,讲授新课,
(1)圆是轴对称图形吗?
如果是,它的对称轴是什么?
你能找到多少条对称轴?
(2)你是怎么得出结论的?
圆的对称性:
圆是轴对称图形,任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.,用折叠的方法,说一说,问题:
如图,AB是O的一条弦,直径CDAB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?
为什么?
线段:
AE=BE,O,A,B,D,E,C,垂径定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.,CD是直径,CDAB,,AE=BE,推导格式:
温馨提示:
垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,归纳总结,想一想:
下列图形是否具备垂径定理的条件?
如果不是,请说明为什么?
是,不是,因为没有垂直,是,不是,因为CD没有过圆心,垂径定理的几个基本图形:
归纳总结,如果把垂径定理(垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧)结论与题设交换一条,命题是真命题吗?
过圆心;垂直于弦;平分弦;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗?
思考探索,举例证明其中一种组合方法已知:
求证:
CD是直径,CDAB,垂足为E,AE=BE,证明猜想,如图,AB是O的一条弦,作直径CD,使AE=BE.
(1)CDAB吗?
为什么?
(2),O,A,B,C,D,E,AC与BC相等吗?
AD与BD相等吗?
为什么?
(1)连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE,AOEBOE(SSS),,AEO=BEO=90,,CDAB.,证明举例,思考:
“不是直径”这个条件能去掉吗?
如果不能,请举出反例.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.,垂径定理的推论,特别说明:
圆的两条直径是互相平分的.,归纳总结,例1如图,OEAB于E,若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.,解析:
连接OA,OEAB,,AB=2AE=16cm.,16,一,典例精析,例2如图,O的弦AB8cm,直径CEAB于D,DC2cm,求半径OC的长.,解:
连接OA,CEAB于D,,设OC=xcm,则OD=x-2,根据勾股定理,得,解得x=5,,即半径OC的长为5cm.,x2=42+(x-2)2,,证明:
作直径MNAB.ABCD,MNCD.则AMBM,CMDM(垂直平分弦的直径平分弦所对的弧)AMCMBMDMACBD,解决有关弦的问题,经常是过圆心作弦的弦心距,或作垂直于弦的直径,连结半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件.,归纳总结,试一试:
根据刚刚所学,你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解:
如图,用AB表示主桥拱,设AB所在圆的圆心为O,半径为R.,经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D,与弧AB交于点C,则D是AB的中点,C是弧AB的中点,CD就是拱高.,AB=37m,CD=7.23m.,解得R27.3(m).,即主桥拱半径约为27.3m.,=18.52+(R-7.23)2,AD=AB=18.5m,OD=OC-CD=R-7.23.,练一练:
如图a、b,一弓形弦长为cm,弓形所在的圆的半径为7cm,则弓形的高为_.,2cm或12cm,在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d(圆心到弦的距离),弓形高h的计算题时,常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形,利用垂径定理和勾股定理求解.,涉及垂径定理时辅助线的添加方法,弦a,弦心距d,弓形高h,半径r之间有以下关系:
弓形中重要数量关系,d+h=r,归纳总结,1.已知O中,弦AB=8cm,圆心到AB的距离为3cm,则此圆的半径为.,5cm,2.O的直径AB=20cm,BAC=30则弦AC=.,3.(分类讨论题)已知O的半径为10cm,弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.,14cm或2cm,当堂练习,4.如图,在O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,ODAB于D,OEAC于E,求证四边形ADOE是正方形,证明:
四边形ADOE为矩形,,又AC=AB,AE=AD,四边形ADOE为正方形.,5.已知:
如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点。
你认为AC和BD有什么关系?
为什么?
证明:
过O作OEAB,垂足为E,则AEBE,CEDE.AECEBEDE即ACBD.,注意:
解决有关弦的问题,常过圆心作弦的弦心距,或作垂直于弦的直径,它是一种常用辅助线的添法,6.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD,垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.,解:
连接OC.,设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,根据勾股定理,得,解得R=545.,这段弯路的半径约为545m.,拓展提升:
如图,O的直径为10,弦AB=8,P为AB上的一个动点,那么OP长的取值范围.,3cmOP5cm,垂径定理,内容,推论,辅助线,一条直线满足:
过圆心;垂直于弦;平分弦(不是直径);平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论(“知二推三”),垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧,两条辅助线:
连半径,作弦心距,构造Rt利用勾股定理计算或建立方程.,基本图形及变式图形,课堂小结,见学练优本课时练习,课堂作业,
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