圆的面积教案.docx
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圆的面积教案
圆的面积
(一)
【教学内容】
教科书第30-31页例1、例2,课堂活动第1、2、3题,练习六第1、2、3题。
【教学目标】
1.使学生经历探索圆的面积计算公式的过程,并掌握圆的面积计算公式。
2.激发学生参与教学活动的学习兴趣,培养学生的分析、观察和概括能力,发展学生的空间观念。
3.渗透转化的数学思想和极限思想。
【教学重点】
探索圆面积的计算方法。
【教学难点】
学生尝试用多种方法推导圆面积计算公式。
【教具、学具准备】
8和16等份的圆形纸片各1个,正方形、圆形物品、圆规、剪刀等。
【教学过程】
一、情境导入
教师:
最近我们又接触了一个新的平面图形——圆,你已经了解了哪些有关圆的知识?
你还想研究圆的什么知识?
1.出示主题图。
学生独自看图并理解文字信息。
教师:
这个塔至少占地多少平方米?
是求什么?
(学生:
塔的底面是圆形,就是求圆的面积)今天这节课我们就一起来研究圆的面积。
(板书:
圆的面积)
2.圆的面积是指的什么?
归纳:
圆所占平面的大小,就是圆的面积。
二、自主探究,定教释疑
出示右图。
教师:
有一个圆,并以圆的半径r为边长画一个小正方形。
1.估一估,圆的面积大约是小正方形面积的多少倍?
让学生独立思考,反馈学生估的结果。
学生1:
这个圆面上可以画4个这样的小正方形,但圆的面积没有四个小正方形的面积大。
所以,我估计,圆的面积大约是小正方形面积的3倍。
教师:
这样的估计有道理。
学生2:
我不是想在圆面上画4个这样的小正方形。
是想把这个圆对折两次后,平分成4等份,一等份的圆和大半个小正方形的面积相等,4等份一定比两个正方形大,比4个正方形小,所以,我也估计,圆的面积大约是小正方形面积的3倍。
教师:
分析得不错。
难道圆的面积刚好是小正方形面积的3倍吗?
2.数方格验证,得出结论。
教师:
如果我们将正方形的边长r平均分成4份,在小正方形内就有16个方格。
于是得到现在的图,(出示)你能用数方格的方法回答刚才的问题吗?
(非常接近1格的算做1格,其余不足1格的算半格)
反馈学生数的结果:
小正方形有16个方格,14圆里大约有13格。
教师:
整个圆里大约有多少个方格?
(13×4=52)
教师:
52大约是16的多少倍?
小结:
圆的面积是小正方形面积的3倍多一些,也就是半径平方(r2)的3倍多一些。
板书:
S=r2的3倍多。
3、进一步探索
教师:
刚才我们通过估一估,数一数,得出了圆的面积是半径平方的3倍多一些这一结论,这一结论对所有的圆都适用,也就是说,只要知道圆的半径,就能估算出圆的面积。
试一试:
一个圆的半径是5cm,它的面积大约是多少平方厘米?
让学生说说想法。
教师:
用这个方法只能估算出圆的面积。
要想得到准确值还需要进一步探索圆的面积计算公式。
教师:
回想一下以前我们是怎样推导出平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式的?
教师:
我们都是把这个图形转化成学过的图形,从而推导出它们的面积计算公式的。
那我们能不能把圆也转化成学过的图形到来推导出圆的面积计算公式呢?
1.小组讨论。
(1)圆与以前我们研究的平面图形有什么不同?
(2)你想通过什么方法推导圆的面积公式?
你认为你面临最大的困难是什么?
2.小组汇报。
(1)不同之处:
圆是由一条封闭曲线围成的平面图形,而以前学过的平面图形都是由几条线段围成的封闭图形。
(2)面临的困难:
如何把曲线变直线?
3.解决问题。
(演示)
(1)目的:
把圆的圆滑封闭曲线转化成直线。
(2)过程:
将一个圆分别平均分成2份、4分、8分、16份,分别罗列排好。
请学生观察四组图。
(3)讨论:
随着等分份数的不断增加,你有什么发现吗?
(4)汇报。
A:
随着等分份数的不断增加,曲线越来越直。
B:
随着等分份数的不断增加,每一小份越来越接近三角形。
(5)全班想象:
如果我把这个圆无限等份下去,会怎样?
(曲线最终变成了直线)
4.图形转化。
想把圆转化成什么样的的图形?
剪一剪,拼一拼。
5.推导公式。
推导过程中考虑下面几个问题:
(1)你想把圆转化成了什么图形?
(2)转化后的图形面积与圆的面积有什么关系?
(3)求转化后的图形面积所需要的条件相当于圆的什么条件?
(4)请你在本上试着推导圆的面积公式。
(注:
4、5需小组合作完成)
6.小组汇报。
(估计:
除了学生会拼成平行四边形外,还可能拼成梯形和三角形)
7.经历推导过程,达成共识。
教师:
我们从多角度,多侧面推导出了圆的面积公式。
如果我们用S表示圆的面积,r表示圆的半径。
你会用字母表示圆的面积公式吗?
学生汇报,教师板书:
平行四边形的面积=底×高
‖‖‖
圆的面积=圆周长的一半×半径
=
C×r
=
×2πr×r
=πr2
如果用字母S表示圆的面积,那圆的面积计算公式就是:
S=πr2。
我们刚才是把圆转化成学过的平行四边形来推导面积公式的。
圆还可不可以转化成其他学过的图形而推导出面积公式呢?
接着让学生看课堂活动第1题:
想一想,圆转化成梯形和三角形能否推导出圆的面积公式?
在学生独立思考的基础上,再进行讨论。
8.小结:
我们把圆转化成平行四边形、梯形和三角形,都推导出了圆的面积计算公式是S=πr2。
这和我们前面的估一估,数一数得到的结论是一样的吗?
要求圆的面积必须知道什么?
如果知道圆的直径或周长,可以求圆的面积吗?
三、多变练习
分两组分别完成课堂活动第2、3题。
四、达标测评
(1)、干等份,剪开拼成一个近似的长方形。
这个长方形的长相当于( ),长方形的宽就是圆的( )。
因为长方形的面积是( ),所以圆的面积是( ).
(2)、直径是6厘米,它的周长是( ),面积是( )。
(3)、的周长是25.12分米,它的面积是( )。
(4)甲圆半径是乙圆半径的3倍,甲圆的周长是乙圆周长的( ),甲圆面积是乙圆面积的( )。
(5)、一个圆的半径是8厘米,这个圆面积的3/4是( )平方厘米。
(6)、周长相等的长方形、正方形、圆,( )面积最大。
(7)、圆的半径由6厘米增加到9厘米,圆的面积增加了( )平方厘米。
五、课堂总结
通过这堂课的学习,你有什么收获?
你还有什么问题吗?
六、板书设计
平行四边形的面积=底×高
‖‖‖
圆的面积=圆周长的一半×半径
=
C×r
=
×2πr×r
=πr2
教后小记
圆的面积
(二)
【教学内容】
教科书第32页例3、例4,练习六第4~8题及思考题。
【教学目标】
1.进一步掌握圆的面积计算公式,能根据圆的直径、周长计算圆的面积。
2.提高运用数学知识解决实际问题的能力。
【教学重点】
掌握圆面积的计算方法,并解决实际问题。
【教学过程】
一、测评反思
1.回顾。
什么是圆的面积?
圆的面积与圆的什么量有关?
求圆面积的计算公式是什么?
(学生回答,★教师板书S=πr2)
2.基本练习。
①根据下面的条件求圆的半径。
C=9.42米C=34.54米C=18.84厘米
②根据下面的条件求圆的面积。
r=5分米r=11厘米d=7米d=12厘米
二、导入新课
这节课我们继续学习圆的面积
三、自主探究,定教释疑
1.教学例3。
修建一个半径是30米的圆形鱼池,它的占地面积约是多少平方米?
A、学生审题思考。
B、教师对学生提出要求:
(1)求鱼池的占地面积是求什么图形面积?
(2)求它的面积必须知道什么条件?
(3)如果把题中条件“一个半径是30米”改成“一个直径是60米”又该怎样求占地面积呢?
(4)如果把题中条件“一个半径是30米”改成“底面周长是628米”又怎样求面积呢?
C、学生尝试解答,抽三人板演,并说出解题思路。
r=60÷2=30(米)r=628÷(2╳3.14)=100(米)
S=πr2S=πr2
=3.14×30×30=3.14×100×100
=3.14×30×30=31400(平方米)
=2826(平方米)
D、通过讨论使学生明白知道直径和周长求圆面积的方法是:
先求出这个圆的半径,再求它的面积。
小结:
求圆的面积必须知道圆的半径这个条件,但实际生活中常常不能直接知道半径,如果知道圆的周长或直径,必须先求出圆的半径,再求出圆的面积。
2.教学例4。
独立解答,指名板演,集体订正。
学生试着解决教科书第15页主题图上的有关问题。
四、课堂练习
1.基础练习。
练习六第4~8题。
2.深化练习。
第33页思考题。
(1)让学生估一估,说出自己的想法。
(2)分别计算出各自的面积,再比较。
结论:
周长相等的正方形、圆形,圆形面积大,正方形面积小。
追问:
如果是周长相等的长方形、正方形、圆形,谁的面积最大,谁的面积最小?
五、课堂小结
教师:
今天你有什么收获?
同学之间说说知道半径怎样求圆的周长和面积?
知道周长怎样求圆的半径和面积?
学习知识应该有举一反三的能力,今天我看到了你们的优秀表现。
六、达标测评
1.一个圆形桌面的直径是2米,它的面积是( )平方米。
2.已知圆的周长,求d=( ),求r=( )。
3.圆的半径扩大2倍,直径就扩大( )倍,周长就扩大( )倍,面积就扩大( )倍。
4.环形面积S=( )。
5.用圆规画一个周长50.24厘米的圆,圆规两脚尖之间的距离应是( )厘米,画出的这个圆的面积是( )平方厘米。
6.大圆半径是小圆半径的4倍,大圆周长是小圆周长的( )倍,小圆面积是大圆面积的( )。
7.圆的半径增加
,圆的周长增加( ),圆的面积增加( )。
8.一个半圆的周长是20.56分米,这个半圆的面积是( )平方分米。
9.将一个圆平均分成1000个完全相同的小扇形,割拼成近似的长方形的周长比原来圆周长长10厘米,这个长方形的面积是( )平方厘米。
10.在一个面积是16平方厘米的正方形内画一个最大的圆,这个圆的面积是( )平方厘米;再在这个圆内画一个最大的正方形,正方形的面积是( )平方厘米。
11.大圆半径是小圆半径的3倍,大圆面积是84.78平方厘米,则小圆面积为( )平方厘米。
12.大圆半径是小圆半径的2倍,大圆面积比小圆面积多12平方厘米,小圆面积是( )平方厘米。
七、板书设计
r=60÷2=30(米)r=628÷(2╳3.14)=100(米)
S=πr2S=πr2
=3.14×30×30=3.14×100×100
=3.14×30×30=31400(平方米)
=2826(平方米)
解决问题
(一)
【教学内容】
教科书第35页例1,课堂活动第1、2题,练习七第1、2、3题。
【教学目标】
1.通过计算窗户的面积和工料费(例1),掌握求组合图形面积或周长的方法。
2.通过计算花坛周围小路的面积(课堂活动第2题),掌握求圆环面积的方法。
3.经历解决问题的过程,学会从不同的角度去分析解决生活中的现实问题,思考解决问题的不同策略和方案,体会学习圆的面积的现实意义和价值。
【教学重点】
掌握求简单组合图形面积的方法;能将组合图形分解成基本图形。
【教学过程】
一、测评反思
出示所学过的几何图形:
长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆。
让学生说说怎样求这些图形的面积?
二、情境导入
.生活中,有些现实问题并不是直接求这些基本图形的面积。
例如:
希望小学的阅览室有这样的窗户(呈现例1图),圆形花坛的周围有一条小路(呈现课堂活动第2题图)。
如何计算它们的面积?
解决相关的问题呢?
今天就开始学习:
解决问题。
三、探究新知,定教释疑
1.掌握求组合图形面积的基本策略。
(教学例1)
(1)请看与这个窗户相关的信息(完整地呈现例1)。
(2)怎样算出这个窗户的面积?
教学方案1:
在学生回答的基础上,板书:
窗户的面积=正方形的面积+半圆的面积,学生独立解答两个问题。
教学方案2:
先让学生独立尝试解答以后,再通过交流反馈,总结出方法。
(3)小结:
像这种组合图形的面积,我们一般把它分割成几个学过的图形,再把它们的面积加起来。
2.掌握求组合图形的不同策略。
(1)呈现变式题:
求右图形的面积。
(2)独立思考:
这个组合图形可以分解成哪些基本图形?
(3)引导学生通过画辅助虚线,整理出各种思路。
(4)请同学们选择一种喜欢的思路来求出组合图形的面积。
3.掌握求阴影图形的基本策略。
(课堂活动第1题)
(1)议一议:
这3个图中的阴影部分的面积有什么关系?
(2)交流:
预设①:
第2图中的2个半圆正好可组合成一个圆。
预设②:
第3图中的4个扇形(或14圆)正好可组合成一个圆。
预设③:
3个图中的阴影都可以转化成同样的情况:
从正方形里截去一个最大的圆。
预设④:
求阴影部分的面积的思路是:
阴影部分的面积=正方形面积-圆的面积。
预设⑤:
求正方形的面积和圆的面积只需知道一个条件:
正方形的边长。
因为正方形的边长就是圆的直径。
(演示正方形的边长平移到圆的中间成为直径)
(3)如果圆的直径是2厘米,求出阴影部分的面积。
(4)小结求阴影部分面积的基本策略。
4.掌握求圆环面积的方法。
(1)呈现课堂活动第2题。
引导学生理解题意,并用示意图表示出来。
理解:
求花坛周围小路的面积,实际上就是从大圆面积中减去小圆(同心圆)的面积,也可以告诉学生所剩下部分的形状在数学里面就叫做圆环。
(2)学生独立解决。
(3)交流解决方法。
方法1:
3.14×(8+2)2-3.14×82
方法2:
3.14×[(8×2+2×2)÷2]2-3.14×82
方法3:
3.14×[(8+2)2-82]
(4)归纳出求圆环面积的方法:
圆环面积=外圆面积-内圆面积
S圆环=S外圆-S内圆
=πR2-πr2
=π(R2-r2)
沟通:
课堂活动第1、2题,圆环面积与阴影部分面积的解决策略可以统一起来,都要先把分析图形的组成,观察阴影部分或圆环是用哪个大图形的面积减去哪个小图形的面积。
四、多变练习、
(1)有一只羊栓在草地的木桩上,绳子的长度是4米,这只羊最多可以吃到多少平方米的草?
(2)一种手榴弹爆炸后,有效杀伤范围的半径是8米,有效杀伤面积是多少平方米?
(3)一种铝制面盆是用直径30厘米的圆形铝板冲压而成的,要做1000个这样的面盆至少需要多少平方米的铝板?
(4)一张长30厘米,宽20厘米的长方形纸,在纸上剪一个最大的圆。
还剩下多少平方厘米的纸没用?
(5)在一个圆形喷水池的周长是62.8米,绕着这个水池修一条宽2米的水泥路。
求路面的面积。
(6)一个半圆形养鱼池,直径是4米,这个养鱼池的周长是多少米?
占地面积是多少平方米?
五、达标测评
1.一个环形的外圆半径是8分米,内圆半径5分米,求环形的面积?
2.环形的外圆周长是18.84厘米,内圆直径是4厘米,求环形的面积?
3.校园圆形花池的半径是6米,在花池的周围修一条1米宽的水泥路,求水泥路的面积是多少平方米?
4.
(1)轧路机前轮直径1.2米,每分钟滚动6周。
1小时能前进多少米?
(2)自行车轮胎外直径71厘米,每分钟滚动100圈。
通过一座1000米的大桥约需几分钟?
在一张长7厘米,宽4厘米的长方形纸上剪一个直径为2厘米的圆,最多可以剪几个?
5.将一根长100米的绳子,绕一棵大树20圈少48厘米,这棵大树横截面面积是多少平方厘米?
6.下面是一个圆平均分成若干份后拼成的一个近似长方形,求出该圆的面积。
(单位:
厘米)
六、全课总结
你认为求组合图形和阴影部分的面积的基本策略是什么?
求圆环面积的方法是什么?
七、板书设计
方法1:
3.14×(8+2)2-3.14×82
方法2:
3.14×[(8×2+2×2)÷2]2-3.14×82
方法3:
3.14×[(8+2)2-82]
圆环面积=外圆面积-内圆面积
教后小记
解决问题
(二)
【教学内容】
教科书第35-36页例2,练习七第4、5、6题。
【教学目标】
1.通过计算折叠圆桌的面积,掌握把正方形面积转化成两个三角形面积计算的方法。
2.探索正方形与内切圆、圆与内接正方形的面积关系,学会从不同的角度去分析解决问题。
3.经历解决问题的过程,掌握思考解决问题的不同策略和方案,体会学习圆的面积的现实意义和价值。
【教学重、难点】
能用转化的方法求图形的面积。
【教学过程】
一、创设情境,提出问题
1.同学们看见过这种桌子吗?
(呈现教学例2的图片)
知道是怎样的桌子吗?
(可折叠的圆桌,折叠后便成了正方形)引导学生用图形表示出桌面。
如果我们知道这种可折叠的圆桌的直径是1.2m,你能提出哪些数学问题?
学生1:
圆桌面的面积是多少平方米?
学生2:
折叠后的桌面的面积是多少平方米?
学生3:
折叠部分的是多少平方米?
学生4:
圆桌面的周长是多少米?
……
2.同学们对这么多问题感兴趣,现在我们就先重点研究其中的两个问题。
板书课题:
解决问题。
二、自主探究,定教释疑
1.教学例2
一张可折叠的圆桌,直径是1.2m,折叠后便成了正方形。
折叠后的桌面面积是多少平方米?
折叠部分是多少平方米?
(得数保留两位小数)
(1)学生独立审题,思考:
要求折叠后的桌面的面积是多少平方米?
怎么求?
引导学生理解:
A.要求折叠后的桌面的面积是多少平方米?
实际上就是求正方形的面积。
B.求正方形的面积,一般是找正方形的边长,再根据公式“边长×边长=正方形的面积”来求,而这个题无法找到边长,用这种办法行不通,那怎么办呢?
(2)添上虚线,引导学生思考:
求正方形面积能不能转化成求其它图形的面积呢?
正方形看作两个三角形,三角形的底是圆的直径,高是圆的半径,从而把正方形的面积转化成4个等腰直角三角形的面积之和。
(3)学生解答两个问题。
①折叠部分的面积是多少平方米?
1.2×(1.2÷2)÷2
=1.2×0.6÷2
=0.36(m2)
0.36×2=0.72(m2)
答:
折叠部分的面积是0.72m2。
②折叠部分的面积是多少平方米?
圆的半径:
1.2÷2=0.6(m)
圆的面积:
3.14×0.62
=3.14×0.36
=1.1304(m2)
折叠部分:
1.1304-0.72=0.4104(m2)
答:
折叠部分的面积是0.4104m2。
(4)小结:
求正方形面积常用的方法是找边长,用公式“边长×边长=正方形的面积”来解决,如果无法找到边长,就换个角度思考,把正方形的面积转化成三角形面积来解决。
2.探索圆与内接正方形面积之间的关系。
请先完成作业的学生独立研究。
圆的面积∶正方形面积=π∶2
3.同样可以让学有余力的学生探索正方形与内切圆面积的关系。
正方形面积∶圆的面积=(4r2)∶(πr2)
=4∶π
小结:
从正方形里截取一个最大的圆,从圆里截取一个最大的正方形,大正方形面积、圆面积、小正方形面积的比是4∶π∶2。
三、巩固练习
1.一个长方形的长5分米,宽4分米,从中截取一个最大的半圆,剩下部分的面积是多少?
2.练习七第4、5、6题。
提示:
第5题比较难,要求学生认真审题,分析题意。
要求大约几分通过大桥,实际上就是求1000m里面有多少个1min车轮所行的路程,还要注意单位换算。
70cm=0.7m
1000÷(3.140×0.7×100)≈5(min)
四、达标测评
1、一个足球运动场如下图,两端是半圆形,中间是长方形。
这个运动场的面积是多少平方米?
2、中间小正方形的周长是32cm,这个图案的面积一共有多大?
3、一个圆形花坛的直径是10米,需在这个花坛的周围铺一条2米宽的水泥路,如果每平方米用水泥20千克,铺这条小路一共需要水泥多少千克?
五、全课总结
谈一谈这节课你有哪些收获?
六、板书设计
①折叠部分的面积是多少平方米?
1.2×(1.2÷2)÷2
=1.2×0.6÷2
=0.36(m2)
0.36×2=0.72(m2)
答:
折叠部分的面积是0.72m2。
②折叠部分的面积是多少平方米?
圆的半径:
1.2÷2=0.6(m)
圆的面积:
3.14×0.62
=3.14×0.36
=1.1304(m2)
折叠部分:
1.1304-0.72=0.4104(m2)
答:
折叠部分的面积是0.4104m2。
教后小记
整理与复习
(一)
【教学内容】
教科书第39页第1题,练习八第1、2、3、4题。
【教学目标】
1.让学生通过复习进一步巩固圆的有关知识,能解决简单的实际问题。
2.经历知识的条理化和系统化的过程,掌握整理与复习的方法。
【教学重点】
对有关圆的知识进行系统化的整理。
【教学过程】
一、知识整理
1.今天我们对圆这个单元进行整理与复习。
(板书课题:
整理与复习)
2.回忆一下,本单元学了哪些知识?
(提醒学生:
可以翻开书看一看,可以和同桌说说)
3.你准备用什么方法对这部分知识进行整理呢?
这样把你的想法整理在作业本上,看看哪些同学做得好。
学生进行整理。
4.老师进行巡视,对学生进行指导。
发现学生整理的各种情况。
(按4大板块,圆的认识,圆的周长,圆的面积,解决问题来进行整理。
学生整理的形式可以多样。
(结构式、流程式、树形式、表格式、其他)
5.反馈:
请学生把对圆的整理给大家展示一下。
圆圆的认识(圆心、半径、直径、d=2r)
圆的周长(周长的意义、周长的计算方法、C=πd、C=2πr)
圆的面积(圆面积的意义、面积公式的推导、面积公式S=πr2)
解决问题(求组合图形的面积,求阴影图形的面积,求圆环面积,现实问题)
提问:
你怎么想到用这种方法来整理呢?
提问:
现在请同学们观察他的整理,如果你发现有错误或不完整的地方,请提出来。
6.重点交流。
(1)观察图,请指出圆的圆心、半径、直径、周长。
(2)提问:
圆的周长与直径有什么关系?
怎样求圆的周长和面积?
圆的周长总是直径的3倍多一些,即圆的周长是直径的π倍。
圆的周长=圆周率×直径或圆的周长=2×圆周率×半径
C=πd,C=2πr
圆的面积=圆周率×半径的平方
S=πr2
(3)你是怎样探究出圆的面积计算公式的?
采用实验的方法,把圆分割成若干等份,再拼成一个近似的平行四边形,然后根据平行四边形的面积计算公式推导出圆面积的计算公式S=πr2。
7.小结:
通过同学们的努力,整理得很有条理,能让我们一目了然地看出本单元学了哪些知识,哪些知识很重要
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