高数A1空间解析几何与向量代数答案docx.docx
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第八章空间解析几何与向量代数
1.自点P0x0,y0,z0分别作各坐标面和各坐标轴的垂线,写出各垂足的坐标。
解:
按作图规则作出空间直角坐
z
标系,作出如图平行六面体。
P0D
xoy平面,垂足D的坐标
C
E0,y0,z0
为x0,y0,0
Fx0,0,z0
P0
x0,y0,z0
;
y
P0E
yoz平面,垂足E的坐标
O
B
为0,y0,z0
A
D
x0,y0,0
;
x
P0F
zox平面,垂足F的坐标
为x0,0,z0;
P0A
x轴,垂足A的坐标为x0,0,0
;P0B
y轴,垂足B的坐标为0,y0,0;
P0C
z轴,垂足C的坐标为0,0,z0
。
2.在yoz平面上,求与三点A3,1,2
、B4,
2,
2和C0,5,1等距离的点。
解:
设所求点为P0,y,z,
则
|PA|2
32
y12
z22,|PB|2
42
y22
z22,
|PC|2
y52
z12。
由于P与A、B、C三点等距,故|PA|2
|PB|2
|PC|2,
32
y
1
于是有:
42
y
2
2
2
zz2z2
2
2
y5y5
2
z
12
2
z
2,解此方程组,得y
1,
1
zz2,故所求的点为P0,1,2。
3.已知M1
2,2,
2,M2
1,3,0,求M1M2
的模、方向余弦与方向角。
解:
由题设知:
M1M2
12,32,0
2
1,1,2,则
12
12
2
M1M2
2
2,
cos
1,cos
1,cos
2,
2
2
2
于是,
2
,
3
,
3。
3
4
4.已知a
3,5,
1,b
2,2,3
,c
4,1,
3,求下列各向量的坐标:
(1)2a;
(2)a
b
c;(3)2a
3b
4c;(4)ma
nb.
解:
(1)
2a
6,10,
2;
(2)a
bc
1,8,5;(3)2a
3b
4c
16,0,
23;
(4)ma
nb
3m
2n,5m
2n,
m
3n.
5.设向量的方向余弦分别满足
(1)
cos
0
;
(2)
cos
1;
(3)cos
cos
0,问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何?
解:
(1)cos
0,向量与x轴的夹角为
,则向量与x轴垂直或平行于yoz
2
平面;
(2)cos
1,向量与y轴的夹角为0,则向量与y轴同向;
(3)
cos
cos
0
,则向量既垂直于x轴,又垂直于y轴,即向量垂直于xoy
面。
6.分别求出向量a
i
jk,b
2i
3j
5k及c
2ij
2k的模,并
分别用单位向量a,b
,c
表示向量a,b,c。
解:
|
a
|12
12
12
3,
3a
,|b|
22
32
52
38,
38b
,
a
b
|c|
22
12
22
3,c3c。
7.设m
3i5j8k,n2i
4j7k和p5i
j4k,求向量
a4m3np在x轴上的投影及在y轴上的分向量。
解:
a43i5j8k32i4j7k5ij4k13i7j15k
故a在x轴上的投影为13,在y轴上的分向量为7j。
8.在xoz坐标面上求一与已知向量a2,3,4垂直的向量。
解:
设所求向量为bx0,0,z0,由题意,
ab2x04z00
取z01,得x02,故b2,0,1与a垂直。
当然任一不为零的数与b
的乘积b也垂直a。
9.求以A1,2,3,B
3,4,5
,C1,2,7为顶点的三角形的面积S。
解:
由向量的定义,可知三角形的面积为S
1AB
AC,因为AB
2,2,2,
2
AC
2,
4,4,所以
i
j
k
AB
AC
2
2
2
16,12,4,
2
4
4
1
i
j
k
1
于是,
S
2
2
2
162
22
42
269.
2
2
4
4
2
10.求与向量a
2,0,1,b
1,1,2
都垂直的单位向量。
解:
由向量积的定义可各,若abc,则c同时垂直于a和b,且
ijk
cab201i3j2k,
112
因此,与cab平行的单位向量有两个:
c
a
b
i
3j
2k
1
和
c
32
22
i3j2k
|c||ab|
12
14
c
1
3j
2k.
i
14
11.设三向量a,b,c满足a
b
bcb
a0,试证三向量a,b,c共
面。
证:
由abbcca0,有
abbcca.
两边与c作数量积,得
a,b,cb,c,cc,a,c.
由于b,c,c0,c,a,c0,所以a,b,c0,从而a,b,c共面。
12.将xoz坐标面上的抛物线z25x绕x轴旋转一周,求所生成的旋转曲面
的方程。
解:
由坐标面上的曲线绕一坐标轴旋转时生成的曲面方程的规律,所得的旋
y2
z2
2
z2
转曲面的方程为
5x,即y2
5x。
13.画出下列各方程所表示的曲面:
2
2
2
z2
(1)x
a
y2
a
;
(2)x
1;(3)z
2
2
9
4
z
z
2
o
y
3
x
(2)
xa/2z
(1)
O
2
x(3)
2x2。
y
y
14.指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形?
(1)x2;
(2)yx1;(3)x2y24;(4)x2y21。
方程
在平面解几中表示
在空间解几中表示
x
2
平行于
y
轴的一直线
与yoz平面平行且过2,0,0的平面
y
x1
斜率为1,在y轴截距为
1的直线
平行于z轴,过(0,1,0),(-1,0,1)的平面
x2
y2
4
圆心在原点,半径为2
的圆
以过z轴的直线为轴,半径为2的圆柱面
x2
y2
1
双曲线
母线平行于z轴的双曲柱面
15.说明下列旋转曲面是怎样形成的?
(1)x2
y2
z2
1;
(2)
za2
x2
y2。
4
解:
(1)由xoy坐标面上的双曲线x2
y2
1,绕y轴旋转一周或是yoz坐标
4
面上的双曲线
y2
z2
1,绕y轴旋转一周得到。
4
(2)是yoz坐标面上关于z轴对称的一对相交直线
za2
y2,即zya和
zzya中之一条绕z轴旋转一周;或是xoz坐标上关于z轴对称的一对相交直
线za2x2,即zxa和zxa中之一条,绕z轴旋转一周。
16.指出下列方程组在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么图形?
y
5x
1
x2
y2
1.
(1)
;
(2)4
9
y
2x
3
y
3
解:
(1)在平面解析几何中表示两直线的交点;在空间解析几何中表示两平
面的交线;
(2)在平面解析几何中表示椭圆与其一切线的交点;在空间解析几何中表示
椭圆柱面x2
y2
1与其切平面y3的交线。
4
9
17.分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线
2x2
y2
z2
16的柱面方
x2
z2
y2
0
程。
解:
10.从方程组中消去x得:
3y22z216,此方程即母线平行于x轴且
通过已知曲线的柱面方程;
20.从方程组中消去y得:
3x22z216,此方程即母线平行于y轴且通过
此曲线的柱面方程。
18.求球面x2
y2
z2
9与平面xz1的交线在xoy面上的投影的方程。
解:
由xz
1,得z1
x,代入x2
y2
z2
9,消去z得
x2
y2
1x2
9
,即2x2
2x
y2
8,这就是通过球面x2
y2
z2
9与平
面x
z
1的交线,并且母线平行于
z轴的柱面方程,将它与
z0联系,得:
2x22xy28,即为所求的投影方程。
z0
19.求平面2x
2yz5
0与xoy面的夹角。
解:
n
2,
2,1
为此平面的法向量,设此平面与xoy的夹角为
,则
cos
n
k
2,
2,10,0,1
1,故
Arccos1。
|n|
|k|
3
3
3
20.分别按下列条件求平面方程
(1)平行于xoz面且经过点2,5,3
;
(2)通过z轴和点3,1,2
;
(3)平行于x轴且经过两点4,0,2
和5,1,7。
解:
(1)因为所求平面平行于
xoz面,故j
0,1,0为其法向量,由点法式可
得:
0x21y50z30,
即所求平面的方程:
y50。
(2)因所求平面通过
z轴,其方程可设为AxBy0(*),已知点
3,1,2在
此平面上,因而有3A
B0,即B3A,代入(*)式得:
Ax3Ay0,即所求平面的方程为:
x3y0。
(3)从共面式入手,设Px,y,z为所求平面上的任一点,点4,0,
2
和5,1,7
分
x
4
y
z2
别用A,B表示,则AP,AB,i共面,从而AP,AB,i
1
1
9
0,
1
0
0
于是可得所求平面方程为:
9yz20
。
21.用对称式方程及参数式方程表示直线
l:
x
yz
1
。
2x
y
z
4
i
j
k
解:
因为直线l的方向向量可设为s
n1
n21
1
1
2,1,3,在直
2
1
1
线上巧取一点A3,0,
2
(令y
0
,解直线l的方程组即可得x
3,z
2),则
直线的对称式方程为x3
yz2,参数方程为:
x
32t,yt,
2
1
3
z2
3t。
22.求过点0,2,4且与两平面x
2z
1
和y
3z
2平行的直线方程。
解:
因为两平面的法向量n1
1,0,2与n2
0,1,
3
不平行,所以两平面相交
i
j
k
于一直线,此直线的方向向量
s
n1
n2
1
0
2
2,3,1,故所求直线方
0
1
3
程为x
y2
z
4。
2
3
1
23.求直线
x
y
3z
0与平面x
y
z
1
0
的夹角。
x
y
z
0
i
j
k
解:
已知直线的方向向量
s
n1
n2
1
1
3
2,4,
2,已知平面的
1
1
1
法向量n
1,1,1,而sn
2,4,2
1,
1,
1
2
4
20,所以s
n,故直
线与平面的夹解为0。
24.确定直线
x3
y
4
z和平面
4x2y
2z3间的位置关系。
2
7
3
解:
直线的方向向量s
2,7,3,
平面的法向量n
4,
2,
2,
cos
2,
7,3
4,
2,
2
0.
22
72
32
42
22
22
从而sn,由此可知直线平等于平面或直线在平面上。
再将直线上的点A(3,4,0)的坐标代入平面方程左边,得
432
4
2
0
4
3,即A不在平面上,故直线平行于平面。
25.设AB
2a
10b,BC
2a8b,CD
3a
b,证明A、B、D三
点共线。
解:
因为1
AB
BC
a
5b
2a8b
3
a3bCD,
所以1AB
2
BC
CD
BD,
即AB,BD共线,B为公共点,故A、B、D三点
2
共线。
26.设有两个力,F1
2i
2j
2k和F2
i3j,同时作用于一个点上,
试求它们的合力F的大小和方向。
解:
设F
xi
yjzk,
于是
F
F1
F2
2i2j
2k
i3j3i5j
2k,
得:
|F|
32
52
2
6,
2
故其方向余弦为
cos
x
1,cos
y
5,cos
z
2,
|F|
2
|F|
6
|F|6
从而方向角为:
,
arccos
5,
arccos
2。
3
6
6
27.设向量a的两个方向余弦为cos
1,cos
2,又a
6,求a的坐
3
3
标。
解:
因为cos
1,cos
2,故
3
3
2
2
cos
1
cos2
cos2
1
1
2
2。
3
3
3
由公式ax
|a|cos
6
1
2
,
3
ay
|a|cos
2
4
,
6
3
az
|a|cos
6
2
4,
3
于是得a2,4,4
或a
2,4,
4。
28.证明a垂直于abc
a
cb。
证:
aabcacb
abacacab0,故a
a
bcacb。
29.已知三点A1,0,0,B3,1,1
,C
2,0,1,且BC
a,CA
b,AB
C,
求
(1)a与b的夹角;
(2)a在c上的射影Pr
jca
。
解:
a
BC
1,
1,0
,|a|
2;
b
CA
1,0,
1
,|b|
2;
cAB2,1,1,|b|
6;
可设ab
11
100
11,ac
12
11013;
因而可得:
(1)
cosa,b
a
b
1
,所以
a,b
;
|a|
|b|
2
3
(2)Prjca
a
c
3
6。
|c|
6
2
30.求出球面x2
y2
z2
8与旋转抛物面x2
y2
2z的交线。
解:
两曲面的交线为
x2
y2
z2
8
(1)
x2
y2
2z
,
(2)
将
(2)代入
(1)得z
4
z
2
0,所以z
4或z
2,由
(2)知z
0,故取z
2。
因此交线方程为
x2
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