苏科版八年级下册第九章《中心对称图形平行四边形》 练习五.docx
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苏科版八年级下册第九章《中心对称图形平行四边形》练习五
八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》
培优练习(五)
1.如图,P为正方形ABCD的边BC的延长线上一动点,以DP为一边作正方形DPEM,以E为一顶点作正方形EFGH,且FG在BC的延长线上(提示:
正方形四条边相等,且四个内角为90°)
(1)若正方形ABCD、DPEM的面积分别为a,b,则正方形EFGH的面积为 (直接写结果).
(2)过点P作BC的垂线交∠PDC的平分线于点Q,连接QE,试探求在点P运动过程中,∠DQE的大小是否发生变化,并说明理由.
2.如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于F,以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG,如图1所示.
(1)证明平行四边形ECFG是菱形;
(2)若∠ABC=120°,连结BG、CG、DG,如图2所示,
①求证:
△DGC≌△BGE;
②求∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=90°,AB=8,AD=14,M是EF的中点,如图3所示,求DM的长.
3.已知等边△ABC,点D为BC上一点,连接AD.
(1)若点E是AC上一点,且CE=BD,连接BE,BE与AD的交点为点P,在图
(1)中根据题意补全图形,直接写出∠APE的大小;
(2)将AD绕点A逆时针旋转120°,得到AF,连接BF交AC于点Q,在图
(2)中根据题意补全图形,用等式表示线段AQ和CD的数量关系,并证明.
4.如图,在▱ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于F,以EC、CF为邻边作▱ECFG.
(1)证明▱ECFG是菱形;
(2)若∠ABC=120°,连结BD、CG,求∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=90°,AB=6,AD=8,M是EF的中点,求DM的长.
5.如图,在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=6cm.点P从点D出发向点A运动,运动到点A即停止;同时,点Q从点B出发向点C运动,运动到点C即停止,点P、Q的速度都是1cm/s.连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为ts.
(1)当t为何值时,四边形ABQP是矩形;
(2)当t为何值时,四边形AQCP是菱形;
(3)分别求出
(2)中菱形AQCP的周长和面积.
6.如图,菱形ABCD对角线交于点O,BE∥AC,AE∥BD,EO与AB交于点F.
(1)求证:
EO=DC;
(2)若菱形ABCD的边长为10,∠EBA=60°,求:
菱形ABCD的面积.
7.
(1)如图1,锐角△ABC中,分别以AB、AC为边向外作等边△ABE和等边△ACD,连接BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系,并说明理由.
【深入探究】
(2)如图2,△ABC中,∠ABC=45°,AB=5cm,BC=3cm,分别以AB、AC为边向外作正方形ABNE和正方形ACMD,连接BD,求BD的长.
(3)如图3,在
(2)的条件下,以AC为直角边在线段AC的左侧作等腰直角△ACD,求BD的长.
8.如图,已知点D是△ABC的边BC的中点,直线AE∥BC,过点D作直线DE∥AB,分别交AE、AC于点E、F.
(1)求证:
四边形ADCE是平行四边形;
(2)如果四边形ADCE是矩形,△ABC应满足什么条件?
并说明理由;
(3)如果四边形ADCE是菱形,直接写出△ABC应满足的条件是 .
9.如图,△ABC中,D为边BC上一点,以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连结AD、CE.且AB=AC.
(1)如图1,若D为BC中点时,求证:
四边形ADCE是矩形;
(2)如图2,若D不是BC中点,且∠BAC=90°,AB=AC=10
时,求四边形ADCE的面积.
10.如图,正方形ABCD中,E为BC上一点,过B作BG⊥AE于G,延长BG至点F使∠CFB=45°
(1)求证:
∠BAG=∠CBF;
(2)求证:
AG=FG;
(3)若GF=2BG,CF=
求AB的长.
参考答案
1.解:
(1)∵∠DPC+∠EPF=90°,∠EPF+∠PEF=90°,
∴∠DPC=∠PEF,∠DCP=∠PFE=90°,DP=PE,
故△DCP≌△PFE(AAS),
∴EF=CP,
而CP=
=
=EF,
正方形EFGH的面积=EF2=b﹣a,
故答案为:
b﹣a;
(2)∠DQE的大小不会发生变化,理由如下,
∵DC⊥BC,PQ⊥BC,EF⊥BC,
∴DC∥QP,QP∥EF,∴∠CDQ=∠PQD,
∵DQ平分∠CDP,
∴∠CDQ=∠QDP=∠PQD,
∴PD=PQ,
在正方形DPEM中,DP=PE,
∴PQ=PE,
∴∠PQE=∠PEQ,
∵PQ∥EF,
∴∠PQE=∠FEQ,
∴
∵
∵∠CDP+∠CPD=90°,∠CPD+∠EPF=90°,
∴∠CDP=∠EPF,
∴∠CDP+∠PEF=90°,
∵
∴
∴∠DQE的大小不会发生变化.
2.解:
(1)证明:
∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE,
∴∠CEF=∠CFE,
∴CE=CF,
又∵四边形ECFG是平行四边形,
∴四边形ECFG为菱形;
(2)①∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AB=DC,AD∥BC,
∵∠ABC=120°,
∴∠BCD=60°,∠BCF=120°
由
(1)知,四边形CEGF是菱形,
∴CE=GE,∠BCG=
∠BCF=60°,
∴CG=GE=CE,∠DCG=120°,
∵EG∥DF,
∴∠BEG=120°=∠DCG,
∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠DAE=∠BAE,
∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB,
∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE,
∴BE=CD,
∴△DGC≌△BGE(SAS);
②∵△DGC≌△BGE,
∴BG=DG,∠BGE=∠DGC,
∴∠BGD=∠CGE,
∵CG=GE=CE,
∴△CEG是等边三角形,
∴∠CGE=60°,
∴∠BGD=60°,
∵BG=DG,
∴△BDG是等边三角形,
∴∠BDG=60°;
(3)方法一:
如图3中,连接BM,MC,
∵∠ABC=90°,四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是矩形,
又由
(1)可知四边形ECFG为菱形,
∠ECF=90°,
∴四边形ECFG为正方形.
∵∠BAF=∠DAF,
∴BE=AB=DC,
∵M为EF中点,
∴∠CEM=∠ECM=45°,
∴∠BEM=∠DCM=135°,
在△BME和△DMC中,
∵
∴△BME≌△DMC(SAS),
∴MB=MD,
∠DMC=∠BME.
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°,
∴△BMD是等腰直角三角形.
∵AB=8,AD=14,
∴BD=2
∴DM=
BD=
.
方法二:
过M作MH⊥DF于H,
∵∠ABC=90°,四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是矩形,
又由
(1)可知四边形ECFG为菱形,
∠ECF=90°,
∴四边形ECFG为正方形,
∴∠CEF=45°,
∴∠AEB=∠CEF=45°,
∴BE=AB=8,
∴CE=CF=14﹣8=6,
∵MH∥CE,EM=FM,
∴CH=FH=
CF=3,
∴MH=
CE=3,
∴DH=11,
∴DM=
=
.
3.
(1)补全图形图1,
证明:
在△ABD和△BEC中,
∴△ABD≌△BEC(SAS)
∴∠BAD=∠CBE.
∵∠APE是△ABP的一个外角,
∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠CBE+∠ABP=∠ABC=60°;
(2)补全图形图2,
证明:
在△ABD和△BEC中,
∴△ABD≌△BEC(SAS)
∴∠BAD=∠CBE,
∵∠APE是△ABP的一个外角,
∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠CBE+∠ABP=∠ABC=60°.
∵AF是由AD绕点A逆时针旋转120°得到,
∴AF=AD,∠DAF=120°.
∵∠APE=60°,
∴∠APE+∠DAF=180°.
∴AF∥BE,
∴∠1=∠F,
∵△ABD≌△BEC,
∴AD=BE
.
∴AF=BE.
在△AQF和△EQB中,
△AQF≌△EQB(AAS),
∴AQ=QE,
∴
∵AE=AC﹣CE,CD=BC﹣BD,
且AC=BC,CE=BD.
∴AE=CD,
∴
.
4.解:
(1)证明:
∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE,
∴∠CEF=∠CFE,
∴CE=CF,
又∵四边形ECFG是平行四边形,
∴四边形ECFG为菱形;
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AB=DC,AD∥BC,
∵∠ABC=120°,
∴∠BCD=60°,∠BCF=120°
由
(1)知,四边形CEGF是菱形,
∴CE=GE,∠BCG=
∠BCF=60°,
∴CG=GE=CE,∠DCG=120°,
∵EG∥DF,
∴∠BEG=120°=∠DCG,
∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠DAE=∠BAE,
∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB,
∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE,
∴BE=CD,
∴△BEG≌△DCG(SAS),
∴BG=DG,∠BGE=∠DGC,
∴∠BGD=∠CGE,
∵CG=GE=CE,
∴△CEG是等边三角形,
∴∠CGE=60°,
∴∠BGD=60°,
∵BG=DG,
∴△BDG是等边三角形,
∴∠BDG=60°;
(3)如图2中,连接BM,MC,
∵∠ABC=90°,四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是矩形,
又由
(1)可知四边形ECFG为菱形,
∠ECF=90°,
∴四边形ECFG为正方形.
∵∠BAF=∠DAF,
∴BE=AB=DC,
∵M为EF中点,
∴∠CEM=∠ECM=45°,
∴∠BEM=∠DCM=135°,
在△BME和△DMC中,
∵
∴△BME≌△DMC(SAS),
∴MB=MD,
∠DMC=∠BME.
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°,
∴△BMD是等腰直角三角形.
∵AB=6,AD=8,
∴BD=10,
∴DM=
BD=5
.
5.解:
(1)由已知可得,BQ=DP=t,AP=CQ=6﹣t
在矩形ABCD中,∠B=90°,AD∥BC,
当BQ=AP时,四边形ABQP为矩形,
∴t=6﹣t,得t=3
故当t=3s时,四边形ABQP为矩形.
(2)由
(1)可知,四边形AQCP为平行四边形
∴当AQ=CQ时,四边形AQCP为菱形
即
时,四边形AQCP为菱形,解得t=
故当t=
s时,四边形AQCP为菱形.
(3)当t=
时,AQ=
CQ=
则周长为:
4AQ=4×
=15cm
面积为:
.
6.
(1)证明:
∵BE∥AC,AE∥BD
∴四边形AEBO是平行四边形
又∵菱形ABCD对角线交于点O
∴AC⊥BD
即∠AOB=90°
∴四边形AEBO是矩形∴EO=AB
∵菱形ABCD
∴AB=DC
∴EO=DC.…(5分)
(2)解:
由
(1)知四边形AEBO是矩形
∴∠EBO=90°
∵∠EBA=60°
∴∠ABO=30°
在Rt△ABO中,AB=10,∠ABO=30°
∴AO=5,BO=5
∴BD=10
∴菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积
=2×△ABD的面积
=2×
×10
×5
=50
.
7.解:
(1)BD=CE,
理由是:
∵△ABE和△ACD是等边三角形,
∴AE=AB,AC=AD,∠BAE=∠CAD=60°,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD,
在△EAC和△BAD中,
∴△EAC≌△BAD(SAS)
∴BD=CE;
(2)如图2,连接EB、EC,
∵四边形ACMD和四边形ABNE是正方形,
∴AE=AB,AD=AC,∠EAB=∠DAC=90°
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD,
在△EAC和△BAD中,
∴△EAC≌△BAD,
∴BD=CE.
∵∠EBA=∠ABC=45°
∴∠EBC=90°
∵AE=AB=5,∠EAB=90°,
∴BE=5
∵BC=3
∴EC=
=
=
∴BD=EC=
;
(3)如图3,在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A,交BC的延长线于点E,连接BE.
∵AE⊥AB,
∴∠BAE=90°,
又∵∠ABC=45°,
∴∠E=∠ABC=45°,
∴AE=AB=5,BE=5
又∵∠BAE=∠DAC=90°,
∴∠BAE﹣∠BAC=∠DAC﹣∠BAC,即∠EAC=∠BAD,
在△EAC和△BAD中,
∴△EAC≌△BAD,
∴BD=CE,
∵BC=3,
∴BD=CE=(5
﹣3)cm.
8.
(1)证明:
∵AE∥BC,DE∥AB,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AE=BD,
∵点D是△ABC的边BC的中点,
∴BD=CD,
∴AE=CD,
∴四边形ADCE是平行四边形.
(2)解:
如果四边形ADCE是矩形,△ABC是等腰三角形;理由如下:
∵四边形ADCE是矩形,
∴∠ADC=90°,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,
∵点D是△ABC的边BC的中点,
∴AB=AC,
即△ABC是等腰三角形.
(3)如果四边形ADCE是菱形,△ABC是直角三角形;理由如下:
∵四边形ADCE是菱形,
∴AC⊥DE,AF=FC,AD=DC,
∵BD=DC,
∴DE∥AB,
∴∠BAC=DFC=90°,
即△ABC是直角三角形.
故答案为:
△ABC是直角三角形.
9.
(1)证明:
∵四边形ABDE是平行四边形
∴BD∥AE(即AE∥CD),BD=AE,
又∵BD=CD,
∴AE=CD,
∴四边形ADCE是平行四边形;
在△ABC中,AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴▱ADCE是矩形;
(2)解:
过A作AH⊥BC于H,
∵∠BAC=90°,AB=AC=10
∴BC=
AB=20,
∴AH=
BC=10,
∵四边形ABDE是平行四边形,
∴S△ADE=S△ABD,
∵AE∥BC,
∴S△ACE=S△ADE,S△DCE=S△ADC,
∴S△ADB=S△ACE,
∴四边形ADCE的面积=S△ADC+S△ACE=S△ACD+S△ABD=S△ABC=
BC•AH=
=100.
10.
(1)证明:
过C点作CH⊥BF于H点,
∵∠CFB=45°
∴CH=HF,
∵∠ABG+∠BAG=90°,∠FBE+∠ABG=90°
∴∠BAG=∠FBE,
(2)证明:
∵AG⊥BF,CH⊥BF,
∴∠AGB=∠BHC=90°,
在△AGB和△BHC中,
∴△AGB≌△BHC,
∴AG=BH,BG=CH,
∵BH=BG+GH,
∴BH=HF+GH=FG,
∴AG=FG;
(3)解:
在Rt△CHF中,∠CFB=45°,
∵CF=
∴CH=FH=1,
由
(2)可知BG=CH,AG=FG,
∴BG=1,∵GF=2BG,
∴FG=AG=2,
在Rt△ABG中,AB=
=
=
.
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