高考数学二轮复习指导系列统计与概率doc.docx
- 文档编号:18324299
- 上传时间:2023-08-15
- 格式:DOCX
- 页数:44
- 大小:201.38KB
高考数学二轮复习指导系列统计与概率doc.docx
《高考数学二轮复习指导系列统计与概率doc.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学二轮复习指导系列统计与概率doc.docx(44页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
高考数学二轮复习指导系列统计与概率doc
高考数学二轮复习指导系列一统计与概率
统计与概率在高考考查中--般有一道选择题或填空题、一道解答题,共2道题,分值为17分.高考对这一部分的考查难度相对稳定,选择、填空题为容易题,解答题为中等难度题.选择题在前六题的位置,填空题在前二题的位置,解答题在前三题的位置.选择、填空题常考古典概型、儿何概型(理科时而考查对立事件、相互独立事件概率及独立重复试验的概率);解答题以频率分布表、频率分布直方图、柱形图、折线图、茎叶图等五个样本频率分布图表为载体,理科侧重考查随机变量的分布列及期望,文科侧重考查样本数字特征的应用,突出了对应用意识、数据处理能力及创新能力的考查.下面对学生存在的主要问题进行剖析,并提出相应的教学对策.
一、存在的问题及原因分析
1.概念理解不透
本专题中,概念理解不到位的有事件、模型的判断等;容易混淆的概念有互斥事件与对立事件、超几何分布与二项分布、二项展开式的通项公式T冲与斤次独立重复试验屮事件A发生k次的概率P代kxcBu—pyi等.
【例1]已知5只动物屮有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方案:
方案甲:
逐个化验,直到能确定患病动物为止.
方案乙先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只屮的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性,则在另外2只屮任取1只化验.
(I)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;
(II)纟表示依方案乙所需化验次数,求纟的期望.
【解析】(I)设$、&已分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数,P表示对应的概率,则方案甲中盘的分布列为
6
1
2
3
4
P
1
5
411
—X—=-
545
4311—X—x-=-
5435
4322—X—X—=—
5435
方案乙中金的分布列为
3
1
2
3
P
0
H+S=l
3|2
5|2
若甲化验的次数不少于乙化验的次数,则
P=p(6=1)xPg=1)+P(4=2)xIP©=1)4-P(E=2)]+P(§=3)[P©=1)+PG=2)+P©=3)]+P($=4)
I31322
=0+-x(0+-)+-x(0+r-)+r0.72.
(II)E(^)=lxO+2x-+3x-=—=2.4.
555
【评析】本题易错的主要原因是对事件不清.对于方案甲,患有疾病的一只动物在每一次化验吋出现的概率是等可能的,学生对事件不清,易误认为化验次数的可能取值是1,2,3,4,5,且P(§=l)=P(§=2)=P(§m4)=P(§=5)=丄.事实上,若前4次化验为阴性,第5次不需再化验即知最后一只是患病动物,所以化验次数只能取1,2,3,4.类似地,对于方案乙,第一次化验呈阳性,再化验3只中的前2只呈阴性后也不需再化验,或第一次化验呈阴性,再化验另外2只中的第1只呈阴性或阳性后也不需再化验,即§只能取2,3.在解决问题时,要理清事件,求随机变量的分布列时,要弄清随机变量可能取到的每一个值以及取每一个值时所表示的意义,然后再利用所学的概率知识求出随机变量取每一个值时的概率,从而求出分布列.
2.审题析题不到位
审题析题不清是本专题解答错误的主要原因,主要包括题意不清,茫然作答;阅读肤浅,丢失信息;条件欠缺,鲁莽下笔;图形不准,缺乏严密;方向不明,目标模糊等情况.审题不清的最主要原因在于学生的阅读理解能力欠缺.
【例2](2017年全国卷I理19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:
cm)•根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状
态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
(I)假设生产状态正常,记X表示一天内抽収的16个零件中其尺寸在(“-36“+3<7)之外的零件数,求P(X>1)及X的数学期望;
(II)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(〃-36“+3<7)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
]*[101lb
经计算得元=77》>产9.97,s=—工(兀•一元)2二一(》彳一16元2)2=0.212,其中兀•为抽取的lbz=iV16/=iY16気
第i个零件的尺寸,,=1,2,…,16.用样本平均数元作为“的估计值〃,用样本标准差丫作为b的估计值d,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?
剔除(〃-3氏〃+3$)之外的数据,用剩下的数据估计"和”(精确到0.01).
附:
若随机变量Z服从正态分布N(“q2),则P(“—3(rvZ<“+3(7)=0.9974,
0.997416=0.9592,J0.008-0.09・
【解析】(I)抽取的一个零件的尺寸在(“-36〃+36之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(jU-3a9ju+3(r)之外的概率为0.0026,故X~3(16,0.0026),
因此P(X>1)=1-P(X=0)=1-0.997416-0.0408,X的数学期望为EX=16x0.0026=0.0416.
(II)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(“-3cr,“+36之外的概率只有0.0026,—天内抽収的16个零件中,出现尺寸在(“-36〃+36之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,对见上述监控生产过程的方法是合理的.
(ii)rtix=9.97,5-0.212,得〃的估计值为//=9.97,0*的估计值为$=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(“-3&,〃+3$)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除(〃-3&,〃+3$)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为丄(16x9.97-9.22)=10.02
1
16
因此“的估计值为10.02.工彳=16x0.2122+16X9.972=1591.134,
;=1
剔除(〃-30,〃+3力之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为
—(1591.134-9.222-15xl0.022)«0.008,因此o■的估计值为^0008«0.09•
1
【评析】面对试题中冗长的文字表述,学生方寸大乱,不知所拾,从而失去读题、解题信心;没有形成通读全题的习惯,未能发现试题所附相关公式;未能根据试题提供的相关公式,提取零件的尺寸在
(“-36〃+36之外的概率为0.0026;未能准确把握较长问句“生产线在这一天的生产过程可能出现了
界常情况”的关键词等,导致回答问题含混不清、词不达意.
3.读图识图能力弱
学生而对一堆数据无从下手,主要原因是对数据.图表的直观印象和积累储备的知识经验不够;没有
形成“用数据说话”的统计观念;对抽象数据的数字特征理解不到位.
【例3】(2016年全国卷III理4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15°C,B点表示四月的平均最低气温约为5°C.下面叙述不正确的是()
(A)各月的平均最低气温都在0°C以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大
(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均最高气温高于20°C的月份有5个
【解析】由图可知0°C均在虚线框内,所以各月的平均最低气温都在0°C以上,A正确;Ftl图可知七月的平均温差大于7.5°C,而一月的平均温差小于7.5°C,B正确;由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10°C,基本相同,C正确;由图可知平均气温高于20°C的月份只有7、8两个月,D错误.
【评析】解答本题错误主要是读图识图能力弱,对图形中的线条认识不明确,不知所措,只觉得是两把雨伞重叠在一起,找不到解决问题的方法;其次,不会从图表中读収有用数据并进行判断;第三,估计平均温差吋易出现错误,错选B.
4.知识缺漏较严重,特别是“冷门知识”缺失
从学生认知的方面看,学生对相关的概念、公式理解掌握不到位,知识缺漏较严重,如对正态分布、条件概率等概念不清楚.另一方面由于老师淡化章节阅读与思考、实习作业等教学,导致学生忽视了相关“冷门知识”的学习,如相关系数等.
【例4】(2012年课标I文3)在一组样本数据(西,)[),(兀2』2),…,(£,儿)(刃》2,兀|,兀2,…,
£不全相等)的散点图中,若所有样本点3』)仃=1,2,・“)都在直线=+l上,则这组样本数据
的样本相关系数为()
(A)-1(B)0(C)-(D)1
2
【评析】错误的原因在于学生对相关系数这一概念不清楚,导致无从下手.全国I卷在2014年及2017年理科均考查到正态分布、2015年文理科考查非线性回归转化线性回归、2012年及2017年文科均考查相关系数等,这个问题应值得引起我们关注.在复学过程中,应关注阅读与思考、实习作业等教学,应注意对学生的认知进行补缺补漏,如正态分布、条件概率、相关系数、残差图、拟合效果等知识.
5.解题规范性较差
涉及本专题内容的考查,学生失误和失分最多的是会而不对、对而不全和全而不准,如不能用字母表示事件,导致在利用简单事件表示复杂事件书写混乱;解答过程缺失关键步骤,丢三落四,导致丢分等.
【例5】端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取3个.
(I)求三种粽子各取到1个的概率;
(1【)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.
【解析】(I)设A表示事件“三种粽子各取到1个”,
c'c'c11
则由古典概型的概率计算公式有P(A)=25=
n4
(IDX的所有可能值为0丄2,
C37CXC2
则叫。
弋击g甘
7_
15
P(X=2)=^^-=
1
15
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
7
15
7
15
1
石
7713
故£(X)=Ox—+lx—+2x—=-个.
1515155
【评析】从解题规范方面看,学生常11!
现错误有,没有用字母表示事件,即缺少“设A表示事件'三
种粽子各取到1个这一步骤;直接写出P(A)=丄,
4
C}ClCl1
过程没写出来,应写为P(A)=2;5二一但
Go4
答案错误,就失去过程分数;忽视“X的所有可能值为0,1,2”,导致丢分等.
6.运算能力弱
运算求解能力主要是指会根据法则、公式进行止确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径,能根据要求对数据进行估计和近似计算.本专题中,学生运算能力弱主耍体现在不能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径,不能根据要求对数据进行估计和近似计算.
【例6](2017年全国卷I文19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:
cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1()
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
件的尺寸:
16
1莹
]16
经计算得元二石工兀=9.97,
16;=1
$=工(兀-元尸=工彳-16元彳)=0.212,
16-1
16;=|
1616
工(i—8.5)2=18.439,工(斥一元)0—&5)=—2・78,其中兀为抽取的第i个零件的尺寸,心1,2,…,16.
/=!
匸1
(I)求(兀丿)(/=1,2,…,16)的相关系数厂,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程
的进行而系统地变大或变小(若|厂|<0・25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或
变小).
(II)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(元-3s,元+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?
(ii)
V0.008-0.09•
在(丘-3s,元+3s)Z外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)
附:
样本(形,yJ(i=1,2,…,⑵的相关系数广=
【解析】(I)由样本数据得(xj)(i=l,2,・・・,16)的相关系数为
16
工(兀一元)(i—8.5)
r=l
16
£—8.5)2
/=!
一2・78
0.212x716x18.439
=一0.18・
由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.
(II)(i)由于"9.97,20.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(元一3山元+3巧以
外,因此需对当天的生产过程进行检查.
(ii)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为丄(16x9.97-9.92)=10.02,这条生产线当天
15
16
生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02,工彳=16x0.2122+16x9.972=1591」34,
;=1
剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为(1591.134-9.222-15x10.022)-0.008.
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为V0.008-0.09.
16
【评析】从运算方面看,
学生不懂从S=J^X-x)2=x;-16x2)-0.212屮解出
16/=i
16
工(兀—元)2=16X0.212?
;不会计算r=
/=1
-2.78
0.212x716x18.439
的值,不懂根据保留小数点后两位的要求,
实施近似处理以简化运算;
不懂直接由厂=
-2.78
0.212x716x18.439
采用放缩方法判断是否满足Ir|<0.25:
_115
不会由元=9.97和z0.212计算出区间(元一3头壬+3$)的端点值9.334,10.606;计算x二一为壬时,
15/=1
-1吕•-1A•
不懂得先做相反数相消处理或各项统一分离10后转化为x=10+—计算;计算x=—YXi时,不懂
15/=11》z=i
16
得转化为-JXf~X,3,再利用元=丄袞=9.97简化运算;计算?
=-^[0.072+0.12+0.062+0.062+0.012+0.12+0.042x=—16th15
15z
+0.02?
+0.24?
++0」]2+01[2+02+0.022+0.032+0072]=0.00813-0.008,不懂得各项统一提取
0.012的技巧;计算r=—[16x0.2122+16x9.972-9.222-15X10.022]时,不懂得在保证精确度要求
1
的前提下作近似处理以简化运算.
二、解决问题的思考与对策
1.关注统计图表的教学
高考试卷的解答题往往以频率分布表、频率分布直方图、柱形图、折线图、茎叶图五个样本频率分布图表为载体,理科侧重考查随机变暈的分布列及期望,文科侧重考查样木数字特征的应用,突岀了对应用意识、数据处理能力及创新能力的考查.复习过程中,应充分利用五个样本频率分布图表,让学生会图表中读取有用数据,或根据问题需要选择合适图表,依据统计学中的方法对数据进行分析,作出合理的决策.
【例7】【2015年全国卷II文、理3】根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:
万吨)柱形图.以下结论不正确的是()
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以來我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【解析】对于A选项,由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多,正确;对于B选项,由图知,由2006年到2007年矩形高度明显下降,正确;对于C选项,由图知,从2006年以后除2011年
稍有上升外,其余年份都是逐年下降,C正确;由图知,2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关,
D错误.
2.关注样本数字特征的含义
在复习中,应关注众数、中位数、平均数(期望)、方差与标准差有的含义,并能根据解决问题的需要选择合理的数字特征说明问题.
【例8】[2014年课标卷II文19】某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民.根
据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高),绘制茎叶图如下:
甲U门
乙■仃
)
$9
4
4
044S
$
I224$«6777S9
9766S332110
6
01I2)4«SS
9St777t6S$SS5444))32100
7
001U449
66SS200
B
12)34$
02220
9
01I4S6
10
000
(I)分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数;
(II)分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率;
(III)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.
【解析】(I)由所给茎叶图知,50位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第25,26位的是75,
75,故样本中位数为75,所以该市的市民对甲部门评分的屮位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评
分由小到大排序,排在笫25,26位的是66,68,故样本中位数为竺也=67,所以该市的市民对乙部
2
门评分的中位数的估计值是67.
5Q
(II)由所给茎叶图知,50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为——=0.1,—=0.16,
5050
故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.
(III)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的屮位数,而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差,说明该市币民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大.(注:
考生利用其他统计量进行分析,结论合理的同样给分)
3.厘清事件及其概率
复习过程屮,应厘清事件间的关系,准确计算相关事件的概率.特别要求学生能将复杂事件进行分解,先分解为互斥事件,每个互斥事件又分解为两个相互独立事件的积事件.
【例9】(2013年全国卷I理19)-批产品需要进行质量检验,检验方案是:
先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为兀.如果/?
=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果h=4,再从这批产品中任収1件作检验,若为优质品,则这批产品通
过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为丄,且各件产品是否为优质品相互独立.
2
(I)求这批产品通过检验的概率;
(II)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:
元),求X的分布列及数学期望.
【解析】(I)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件川,第一次取出的4件产品全是优质品为事件虫,第二次収出的4件产品都是优质品为事件5,第二次取出的1件产品是优质品为事件血,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A]B])U(A2B2),且A|B|与A2B2互斥,
所以P(A)=P(AiBi)+P(切2)=P(Ai)P(Bi|A|)+P(A2)P(B2|A2)=*x2+2xH
161616264
(II)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=400)=1-—--=—,P(X=500)=丄,P(X=800)=-,
161616164
所以X的分布列为
X
400
500
800
P
11
16
1
16
1
4
£X=400xH+500x±+800xl=50,25.
4.关注概率模型的识别与应用
复习过程中,应关注概率模型的识别与应用,一定要注意弄清题意,找出题中的关键字词,厘清各种
概率模型及适用范围.如超儿何分布和二项分布是教材中两个重要概塞分布,二项分布与超几何分布的区别为,二项分布是有放回的抽样,每做-次事件,事件A发生的概率是相同的;超几何分布是不放冋的抽样,每做一次事件,事件A发生的概率是不相同的.
【例10】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,从该流水线上随机抽取40件产品作为样本,测得它们的重量(单位:
克),将重塑按如下区间分组:
(490,495],(495,500],(500,505],(505,510],(510,515],得到样本的频率分布直方图(如图所示).若规定重量超过495克但不超过510克的产品为合格产品,且视频率为概率,回答下列问题:
(I)在上述抽取的40件产品屮任取2件,设X为合格产品的数量,求X的分布列和数学期望E(X);
(ID若从流水线上任取3件产品,求恰有2件合格产品的概率.
【解析】(I)由样本的频率分布直方图得,合格产品的频率为0.04x5+0.07x5+0.05x5=0.8.
所以抽取的40件产品中,合格产品的数量为40x0.8=32・则X可能的取值为0,1,2,
因此X的分布列为
X
0
1
2
p
7
64
124
I
195
195
195
76412
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考 数学 二轮 复习 指导 系列 统计 概率 doc