高等数学教程答案.docx
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高等数学教程答案
高等数学教程答案
【篇一:
高等数学复旦大学出版社习题答案一】
数是否相等,为什么
?
(1)f(x)?
(3)f(x)?
g(x)?
x;
(2)y?
sin(3x?
1),u?
sin(3t?
1);x?
1x?
1
22
2
g(x)?
x?
1.
解:
(1)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集r;
由两函数相等.
(2)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集r,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.
(3)不相等.
因为函数f(x)的定义域是{xx?
r,x?
1},而函数g(x)的定义域是实数集r,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.2.求下列函数的定义域
(1)y?
(3)y?
arctanxx?
1
2
?
x知两函数的对应法则也相同;所以
1x
;
(2)y?
1lg(1?
x)
;
;(4)y?
arccos(2sinx).
解:
(1)要使函数有意义,必须
?
4?
x?
0?
x?
4
即?
?
x?
0x?
0?
?
所以函数的定义域是(?
?
0)?
(0,4].
(2)要使函数有意义,必须
?
x?
3?
0
?
?
lg(1?
x)?
0即?
1?
x?
0?
?
x?
?
3?
?
x?
0?
x?
1?
所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).
(3)要使函数有意义,必须
2
x?
1?
0即x?
?
1
所以函数的定义域是(?
?
?
1)?
(?
1,1)?
(1,?
?
).
(4)要使函数有意义,必须
?
1?
2sinx?
1即?
12
?
sinx?
12
即?
所以函数的定义域是[?
1?
sin,?
3.求函数y?
?
x
?
0,?
x?
0x?
0
的定义域与值域.
解:
由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当x?
0时,时,sin
1x
1x
可以是不为零的任意实数,此
可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].
1?
x1?
x
4.没f(x)?
求f(0),f(?
x),f().
x
1
解:
f(0)?
1?
01?
0
?
1,f(?
x)?
1?
(?
x)1?
(?
x)
?
1?
x
1,f()?
x1?
x
?
x?
1.
1x?
11?
x
1?
1
5.设f(x)?
?
?
1,?
x?
1,
?
1?
x?
00?
x?
2
求f(x?
1).
?
1,
解:
f(x?
1)?
?
?
(x?
1)?
1,
x
?
1?
x?
1?
00?
x?
1?
2
1,0?
x?
1?
?
?
.
x,1?
x?
3?
6.设f(x)?
2,g(x)?
xlnx,求f(g(x)),g(f(x)),f(f(x))和g(g(x)).解:
f(g(x))?
2
g(x)
?
2
xlnx
x
x
x
g(f(x))?
f(x)lnf(x)?
2?
ln2?
(xln2)?
2,
f(f(x))?
2
f(x)
?
2,
2
x
g(g(x))?
g(x)lng(x)?
xlnxln(xlnx).
3
7.证明:
f(x)?
2x?
1和g(x)?
.
3
证:
由y?
2x?
1解得x?
故函数f(x)?
2x3?
1的反函数是y?
x?
r),
这与g(x)?
是同一个函
数,所以f(x)?
2x3?
1和g(x)?
.
8.求下列函数的反函数及其定义域:
(1)y?
1?
x1?
x
2x?
5
3
(3)y?
3
解:
(1)由y?
1?
x1?
x
解得x?
1?
y1?
y
1?
x1?
x
所以函数y?
1?
x1?
x
的反函数为y?
(x?
?
1).
(2)由y?
ln(x?
2)?
1得x?
ey?
1?
2,
所以,函数y?
ln(x?
2)?
1的反函数为y?
ex?
1?
2(x?
r).
(3)由y?
32x?
5解得x?
12
(log3y?
5)
12
(log3x?
5)(x?
0).
所以,函数y?
32x?
5的反函数为y?
(4)由y?
1?
cos3x得cosx?
故x?
arccos.
3
又由?
1?
cosx?
1得0?
1?
cosx?
2,
数为y?
arccos
3
(0?
x?
2).
9.判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:
(1)y?
x1?
x
2
;
(2)y?
x?
lnx
x1?
x
2
解:
(1)函数的定义域为(-∞,+∞),当x?
0时,有故?
x?
(?
?
?
?
),有y?
又因为函数y?
x1?
x
2
?
0,当x?
0时,有
x1?
x
2
?
x2x
?
12
12
.即函数y?
x1?
x
2
有上界.
为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函
x1?
x
2
数必有下界,因而函数y?
有界.
又由y1?
y2?
x11?
x
21
?
x21?
x
22
?
(x1?
x2)(1?
x1x2)(1?
x)(1?
x)
21
22
知,当x1?
x2且x1x2?
1时,y1?
y2,而
当x1?
x2且x1x2?
1时,y1?
y2.故函数y?
x1?
x
2
在定义域内不单调.
(2)函数的定义域为(0,+∞),
?
?
m?
0,?
x1?
0且x1?
m;?
x2?
e
m
?
0,使lnx2?
m.
取x0?
max{x1,x2},则有x0?
lnx0?
x1?
lnx2?
2m?
m,所以函数y?
x?
lnx在定义域内是无界的.又当0?
x1?
x2时,有x1?
x2?
0,lnx1?
lnx2?
0
故y1?
y2?
(x1?
lnx1)?
(x2?
lnx2)?
(x1?
x2)?
(lnx1?
lnx2)?
0.即当0?
x1?
x2时,恒有y1?
y2,所以函数y?
x?
lnx在(0,?
?
)内单调递增.10.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)?
(2)y?
e
2x
?
e
?
2x
?
sinx.
解
:
(1)?
f(?
x)?
?
f(x)?
?
?
?
2x
?
f(x)
.
2x
(2)?
f(?
x)?
e
?
函数y?
e
?
e?
sin(?
x)?
e
?
2x
?
e
2x
?
sinx?
?
(e
2x
?
e
?
2x
?
sinx)?
?
f(x)
2x
?
e
?
2x
?
sinx是奇函数.
11.设f(x)定义在(-∞,+∞)上,证明:
(1)f(x)?
f(?
x)为偶函数;
(2)f(x)?
f(?
x)为奇函数.证:
(1)设f(x)?
f(x)?
f(?
x),则?
x?
(?
?
?
?
),有f(?
x)?
f(?
x)?
f(x)?
f(x)故f(x)?
f(?
x)为偶函数.
(2)设g(x)?
f(x)?
f(?
x),则?
x?
(?
?
?
?
),
有g(?
x)?
f(?
x)?
f(?
x)?
?
[f(x)?
f(?
x)]?
?
g(x)
故f(x)?
f(?
x)为奇函数.
12.某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半).解:
设年销售批数为x,则准备费为10x;
又每批有产品
10x
6
3
件,库存数为
10
6
2x
件,库存费为
10
6
2x
?
0.05元.
设总费用为,则y?
10x?
3
10?
0.05
2x
6
.
13.邮局规定国内的平信,每20g付邮资0.80元,不足20g按20g计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y与重量x的关系.解:
当x能被20整除,即[
x20]?
x20x20
时,邮资y?
x20
x20
?
0.80?
x25
;
当x不能被20整除时,即[]?
时,由题意知邮资y?
?
x?
?
0.80.?
1?
?
?
20?
?
x
?
25,?
综上所述有y?
?
?
?
x?
1?
?
0.80,?
?
?
?
?
?
20
0?
x?
2000且0?
x?
2000且
x?
x?
?
;?
?
20?
20?
x?
x?
?
.?
?
20?
?
20
其中
xx?
x?
?
x?
?
1的最大整数.,分别表示不超过,?
1?
?
?
?
2020?
20?
?
20?
.
图1-1
解:
s0?
12
h(ad?
bc)?
12
h(2hcot?
?
bc?
bc)?
h(bc?
hcot?
)
从而bc?
s0h
?
hcot?
.
l?
ab?
bc?
cd(ab?
cd)?
2
hsin?
?
?
bc?
2
hsin?
s0h
?
s0h
?
hcot?
?
?
s0h
2?
cos?
sin?
h?
?
2?
cos40sin40
?
h
【篇二:
高等数学复旦大学出版社习题答案四】
义计算下列定积分:
(1)
?
ba
xdx(a?
b);
i(b?
a)n
i?
1,2,?
n?
1;
解:
将区间[a,b]n等分,分点为xi?
a?
记每个小区间[xi?
1,xi]长度为?
xi?
则得和式
n
n
b?
an
取?
i?
xi,i?
1,2,?
n,
?
i?
1
f(?
i)?
xi?
?
[a?
i?
1
in
(b?
a)]?
b?
an
?
a(b?
a)?
(b?
a)2n(n?
1)
2n
2
由定积分定义得
?
ba
n
xdx?
lim
12
?
?
0
?
i?
12
f(?
i)?
xi?
lim[a(b?
a)?
n?
?
2
(b?
a)n(n?
1)
2n
2
2
]
?
1
x
(b?
a).
(2)
?
edx.
in
(i?
1,2,?
n?
1),记每个小区间长度?
xi?
1n,取
解:
将区间[0,1]n等分,分点为xi?
?
i?
xi(i?
1,2,?
n),则和式
n
n
i
?
i?
1
f(?
i)?
xi?
?
i?
1n
en
1n
1
2
n
?
10
edx?
lim
x
1
in
n?
?
e?
n
i?
11n
?
lim
nn
1n
n?
?
(en?
en?
?
?
en)
1
?
lim
1e(1?
e)ne
1
n?
?
?
lim
1en(e?
1)n
1
n?
?
1?
en1n(e?
1)1n
en?
1
?
lim
1n
n?
?
?
e?
1.
2.利用定积分概念求下列极限:
11?
1
(1)lim?
?
?
?
?
n?
?
?
2n?
n?
1n?
2
?
?
?
90
11?
1?
?
?
?
解:
原式?
lim?
12n
n?
?
?
?
1?
1?
1?
nnn?
(2)lim
1n
2
?
1?
?
?
?
n?
?
10
11?
x
dx?
ln(1?
x)0?
ln2.
1
n?
?
?
?
?
?
解:
原式?
lim?
n?
?
?
?
?
?
1.?
n
?
x?
23
3
1
x
20
?
23
.
3.用定积分的几何意义求下列积分值:
(1)?
2xdx;
01
解:
由几何意义可知,该定积分的值等于由x轴、直线x=1、y=2x所围成的三角形的面积,故原式
=1.
(2)?
r0
x(r?
0).
解:
由几何意义可知,该定积分的值等于以原点为圆心,半径为r的圆在第一象限内的面积,故原式=
2
4.证明下列不等式:
(1)e?
e?
2
?
ee
2
lnxdx?
2(e?
e);
2
证明:
当e?
x?
e2时,lne?
lnx?
lne2,即1?
lnx?
e.由积分的保序性知:
?
ee2
2
dx?
?
?
eeee
2
lnxdx?
2
?
ee
2
2dx
2
即e?
e?
(2)1?
lnxdx?
2(e?
e).
?
1
edx?
e.
2
x
2
证明:
当0?
x?
1.时,1?
ex?
e,由积分的保序性知:
?
dx?
01
?
10
edx?
x
2
?
10
edx
即1?
?
1
edx?
e.
x
2
5.证明:
1
(1)
lim
n?
?
?
20
x
n
12
x?
0;
证明:
当0?
x?
时,0?
n
?
x,
n
91
1
1
于是0?
?
21
?
?
2n
xdx?
1n?
n?
1?
(2
)1,而lim
1
n?
1?
(12
)n?
1?
0,
n?
?
1
由夹逼准则知:
lim
n?
?
?
2n
x?
0.
(2)lim
4n
?
0.
n?
?
?
sinxdx证明:
由中值定理得
?
440
sinxdx?
sinn
?
?
(
?
0)?
其中4
sin?
0?
?
?
故lim
n
n?
?
?
40
sinn
xdx?
lim
4
sin?
?
0(?
0?
sin?
?
1).
6.计算下列定积分:
(1)?
3
x;
234
解:
原式?
83
x
2?
3
3
?
(2)?
2?
1
x2
?
xdx;解:
原式?
?
0(x2
?
x)dx?
?
1
2
)dx?
?
2
2
?
1
(x?
x1(x?
x)dx
1
?
?
?
1x3?
1?
2
?
?
?
11?
1?
32x2?
?
?
1
?
2x2?
3x3?
?
?
?
?
1?
3x3?
x2?
02?
?
1
?
511
6?
16?
56?
6
.
f(x)dx,其中f(x)?
?
?
?
2
?
?
sinx,2
解:
原式?
?
xdx?
?
1?
cosx
?
2
2
2
x
2
?
1.
2
(4)?
2
2
?
2
max{1,x}dx;
92
?
1
2
解:
原式?
?
?
1x2
dx?
x2
dx?
1?
2
?
1dx?
?
1
?
2
1
3
x
3?
2?
1?
2
3
x
3?
201
3
.
(5)x.
解:
原式?
?
2?
cosx)dx0
sinx?
cosxdx?
?
4(cosx?
sinx)dx?
?
4
?
(sinx?
cosx)
4
?
(?
cosx?
sinx)
?
?
1).
7.计算下列导数:
2
(1)
d
xdx
?
0
t
解:
原式?
2
3
(2)
ddx
?
xx
2
解:
原式?
dx3
d
x2
2dx
?
0
dx
?
0
?
?
?
x?
u2
du
8.求由参数式?
?
?
t0sin所确定的函数y对x的导数
dy?
?
y?
?
t
cosu2
du
dx
.
dy解:
dy
?
cost2
2
dxdx?
sint2
?
cott.dt
9.求由方程?
y
et
dt?
?
x
costdt?
0所确定的隐函数y?
y(x)的导数.
解:
方程两边对x求导,有
ey
?
y?
?
cosx?
0
又ey
?
1?
sinx故y?
?
cosx
sinx?
1
.
10.求下列极限:
x0
ln(1?
2t2
)dt
(1)lim
?
x?
0
x
3
;
93
1
解:
原式?
lim
ln(1?
2x2
)
22
2
2x?
0
3x
3
?
3
limx?
0
ln(1?
2x)2x?
3
.
?
x2
(2)lim
?
0et2dt?
?
?
x?
0
?
xt
2
.0
te
2dt
2x
t
2
dt?
x
2
t
2
解:
原式?
lim
?
0
ee
edt
1
x?
0
xe
2x
2
?
2lim
?
xx?
0
xe
x
2
?
2lim
x?
0
1?
2x
2
?
2.11.a,b,c取何实数值才能使
lim
1
x2
t?
c成立.
x?
0
sinx?
ax
?
b
解:
因为x?
0时,sinx?
ax?
0而该极限又存在,故b=0.用洛必达法则,有
x
2
?
?
1,lim
?
limx
2
?
0,
ax?
0
cosx?
a
x?
0cosx?
a?
?
?
?
lim2xx?
0
?
sinx?
?
2,a?
1.
所以a?
1,b?
0,c?
?
2或a?
1,b?
0,c?
0.
12.利用基本积分公式及性质求下列积分:
(1)?
x2
?
5)dx;
5
1
7
解:
原式?
?
x
2
dx?
5?
x2dx?
27
x2?
103
23
x?
c.
(2)?
3x
ex
dx;
x
解:
原式=?
(3e)x
dx?
(3e)
ln(3e)
?
c.
(3)?
?
3
?
dx;?
1?
x2
?
解:
原式
=3?
11?
x
2
dx?
2?
x?
3arctanx?
2arcsinx?
c.
x
2(4)?
1?
x
2
dx;
2
解:
原式=?
1?
x?
1dx
1?
x
2
dx?
?
dx?
?
1?
x
2
?
x?
arcsinx?
c.
94
【篇三:
高等数学复习题及答案】
p>在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.下列函数中为奇函数的是(b)
ex?
e?
xex?
e?
x
a.f(x)?
b.f(x)?
22
c.f(x)?
x?
cosxd.f(x)?
xsinx答案:
b
知识点:
函数奇偶性
3
5
e?
x?
exex?
e?
x
解:
f(?
x)?
为偶函数?
f(x)故f(x)?
22e?
x?
exex?
e?
x
为奇函数f(?
x)?
?
?
f(x),故f(x)?
22
f(?
x)?
?
?
x?
?
cos?
?
x?
?
?
x3?
cosx,故f(x)?
x3?
cosx为非奇非偶函数f(?
x)?
?
?
x?
sin?
?
x?
?
x5sinx?
f(x),故f(x)?
x5sinx为偶函数
2.当x?
0时,下列变量为无穷小量的是(c)a.eb.lnxc.xsin答案:
c
知识点:
无穷小量解:
lime?
?
?
?
x?
0x?
0?
1
x
53
?
11
d.sinxxx
1
x
limlxn?
=?
1
x
=0
xslim?
x?
0
1lisixn=1x?
0?
x
1
3.设函数f(x)=?
?
ln(1?
x),x?
0
x?
0
则f(x)在点x=0处(c)?
x2
a.左导数存在,右导数不存在b.左导数不存在,右导数存在c.左、右导数都存在d.左、右导数都不存在
答案:
c
知识点:
导数的定义
解:
f(x)?
?
?
ln(1?
x),x?
0
x?
0
?
x2
法一:
fx2?
0
?
(0)?
lim?
0x?
0?
x?
0
f?
limln(1?
x)?
0?
limx
?
(0)?
1x?
0?
x?
0x?
0?
x
法二:
f?
(0)?
2xx?
0?
0
f?
(0)?
1
1?
x
?
1
x?
0
所以原函数的左右导数都存在,但不可导
4.曲线y
x=1处的切线方程为(a)a.x?
3y?
4=0b.x?
3y+4=0c.x+3y?
2=0d.x+3y+2=0
答案:
a
知识点:
曲线的切线方程
解:
所求切线斜率为:
y?
1?
2
3
?
x?
2?
3
?
1x?
1
31
所求切线方程为y+1=3
?
x?
1?
即x?
3y?
4?
0
5.函数f(x)=x2+1在区间[1,2]上满足拉格朗日中值公式的中值?
=(a.1b.65c.54
d.
3
2
答案:
d
2
d)
知识点:
拉格朗日中值公式解:
根据拉格朗日中值公式f?
(?
)=
f(x2)-f(x1)
得
x2-x1
2
?
f(x)?
x?
1,1x?
1,x2=2
?
2?
?
5?
23
2?
11
3
求解得到?
?
?
2
二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.函数f(x
的定义域为_________.
4?
答案:
?
-1,
知识点:
函数定义域
?
3?
2x?
4?
解:
根据题意得1?
?
?
?
0,解得原函数定义域为?
-1,
?
5?
2
?
x?
7.设函数f(x)=?
(1?
x),x?
0在点x=0处连续,则a=_________.
?
?
acosx,x?
0
2
答案:
e
知识点:
函数的连续性
2
acosx?
a解:
?
lim?
x?
0
11
?
?
?
?
2xx
lim(1?
x)?
lim(1?
x)?
lim(1?
x)?
e?
?
?
?
?
x?
0?
x?
0?
?
?
?
x?
0?
f(0)?
a
2
x
22
又?
函数在x=0连续?
a?
e2
3
8.微分d(e-2
2知识点:
函数微分
解:
d(ed(e)+d
sec
-2
-2
2
d
9.函数f(x)=x?
2cosx在区间[0,答案:
?
2知识点:
函数最值
?
]上的最小值是_________.2
?
?
?
解:
由f(x)?
1?
2sinx?
0,得f(x)在?
0?
单调递增
?
2?
再由f(0)?
?
2f,
?
?
22
?
?
?
?
故f(x)在?
0?
上的最小值为-2
?
2?
x2?
2x?
3
10.曲线y=的铅直渐近线为_________.2
x?
1
答案:
x?
1
知识点:
曲线的渐近线
x2?
2x?
3x2?
2x?
3
解:
?
lim?
?
曲线?
的铅直渐近线为x?
1
x?
1x2?
1x2?
1
11.无穷限反常积分答
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