第二章分子动理学理论的平衡态理论.docx
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第二章分子动理学理论的平衡态理论
第二章分子动理学理论的平衡态理论
教学目的与要求:
掌握速率分布概率密度(速率分布函数)的意义,掌握麦克斯韦速率分布;理解速度空间、麦克斯韦速度分布,了解从麦克斯韦速度分布导出麦克斯韦速率分布;了解气体分子碰
壁数的应用;了解等温大气压强公式与玻耳兹曼分布;掌握能量均分定理。
教学方法:
课堂讲授与讨论相结合。
适当进行课堂习题练习与思考题的讨论,培养学生的思维能力。
教学重点:
速率分布概率密度(速率分布函数)、麦克斯韦速率分布与能量均分定理。
教学时数:
16学时
主要教学内容:
第一节概率论的基本知识
一、伽尔顿板实验
A、在一定的宏观条件下,大量偶然事件,在整体上表现出确定的规律---统计规律
B统计规律永远伴随着涨落现象
二、等概率性与概率的基本知识
1、随机事件:
在一定条件下,某一事件可能发生也可能不发生。
2、概率的定义:
在相同的条件下重复同一实验,在总次数N足够多的情况下(即NRs),计算所出现某一
事件的次数NL,则这一事件出现的百分比就是该事件出现的概率。
3、等概率性
在没有理由说明哪一事件出现的概率更大些(或更小些)情况下,每一事件出现的概率
都应相等。
统计物理的基本假定:
(等概率原理)
如果对于系统的各个可能的状态没有更多的知识,就可暂时假定一切状态出现的概率相
等。
4、概率的基本性质:
n
⑴归一化:
送pr=1
三、平均值及其运算法则
ZNiUi
N1u1N2u2i
u二
ZNiN
i
当n时:
u=RuiF2u^=»Pu
说明:
应用方便,但只适用于N非常大的所有事件。
表示随机变量在平均值附近散开分布的程度
第二节麦克斯韦速率分布
射击点在靶上的分布(图2.2)
黑点沿x方向分布的概率密度:
表示黑点沿x方向的相对密集程度。
X2
f(x)dx
xi
"f(x)dx=1
J
仃、dN
f(x)=
Ndx
位置处于洛到x2范围内的概率
(归一化条件)
—-be
x=xf(x)dx
(注意:
对所有的黑点求平均)
黑点沿y方向分布的概率密度:
表示黑点沿y方向的相对密集程度。
dNy
f(y)-
Ndy
黑点沿平面位置分布的概率密度:
表示黑点在某一区域内的相对密集程度。
dN
f(x,y)二二二fxfy
Ndxdy
2、速率分布函数(概率分布函数的一种)
Ndv
只与速率v有关,或说,只是v的函数
dNf(v):
3、概率分布函数的普遍意义
(归一化条件)
①分子按能量的概率分布函数
物理意义:
能量在£附近(
dN
f(沪
Nd®
-£+d£)单位能量间隔内的分子数占总分子数的百分比
速度在附近单位速度间隔内的分子数占总分子数的百分比。
、麦克斯韦速率分布1、麦克斯韦速率分布无外场作用,平衡态下,理想气体分子按速率分布:
3mU2
rm
f()d二4()2e2kr2d
2兀kT
f(v):
麦克斯韦速率分布概率密度。
物理意义:
速率在u附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比。
注意:
(1)仅是分子质量及气体温度的函数
(2)麦克斯韦速率分布规律是统计规律,只适用于大量分子组成的集体。
也有涨落,非常小。
2、麦克斯韦速率分布曲线:
f(匕
1
P
%
o
5
d.
3、三种速率
物理意义:
分子以速率:
p出现的几率最大。
或:
若把整个速率范围分成许多相等的小区间,则
O
:
p所在区间内的分子数占分子总数的百
(3)
3kT
-2
■-rms二-
3RT1.73RT
M
(4)三种速率的比较
适用条件:
理想气体分子
大小:
;d":
:
;":
:
:
它们都兀'
Prms\M
应用:
■p---用于讨论速率分布
---用于讨论分子碰撞
--rms用于计算分子的平均平动动能
例题:
三、麦克斯韦速率分布律的实验证明
1、朗缪尔实验装置
分比最大。
2、实验原理
_L_冬
VCD
改变3,从分子束中选择出不同速率的分子,测定其强度。
凹槽有一定宽度,实际上选出的
是某一速率范围>:
-':
'止•内的分子数。
金属蒸气的分子速率分布与分子束中的分子速率分布并非一回事F(:
)d:
)d:
第三节麦克斯韦速度分布
、速度空间
1直角坐标表示的速度空间
坐标轴:
速度分量Vx、Vy、Vz
从原点向代表点所引矢量:
表示分子速度方向和大小。
2、代表点在速度空间中的分布
速度分布概率密度
物理意义:
NdVxdVydVz
A、表示速度空间中体积为dvxdvydvz的小体积元中代表点的相对密集程度。
B、在速度:
附近(:
X一:
x•dx,:
y-:
y'd:
y,:
Jdz)单位速度间隔内的分
A、任一分子处在速度空间垂直于Vx轴的无穷大平板中的概率。
B分子速度的x分量在Vx—Vx+dVx的分子数占总分子数的百分比。
二、麦克斯韦速度分布无外场作用,平衡态下,理想气体分子速度分布:
f(x,y,z)dxdydz
3m(&丸y2丸z2)
2kT
m
2kT
=()2e2kTdxdydz
物理意义:
A、任一分子处在速度空间中任一体积为dvxdvydvz的小立方体中的概率。
B、速度在:
附近的分子数占总分子数的百分比。
2
1m©
f(x)dx=(-^)2e2kTdx
2兀kT
三、从麦克斯韦速度分布导出速率分布
第四节气体分子碰壁数及其应用
、由麦克斯韦速度分布导出气体分子碰壁数及气体压强公式
1.由麦克斯韦速度分布导出气体分子碰壁数
UTv+Au
速度在,斜柱体内的分子数目
N()dv二ng)vxd
只有Vx>0的才打到墙壁
N=N()dv=nog(x)VxdX=
2、由麦克斯韦速度分布导出气体压强公式
以上推导用到
22
Lc9(vy)vydvy二JgWzMdvz=1
二、泻流及其应用的简单介绍
泻流的速率分布率
〜3-mv
N(»3e2kT
第五节外力场中自由粒子的分布与玻耳兹曼分布
一、等温大气压强公式
i等温大气压强公式大气是等温的,并处于平衡态。
则大气压强随高度变化:
_mgz-Mmgz
P(z)二P(0)e^二p(o)e^^
各量含义:
P(z):
高度为z处的大气压强
P(0):
海平面处的大气压强
Mm大气分子的摩尔质量
说明:
高度不超过2Km时,结果比较符合实际。
应用:
高度计高度每升高10米,大气压强约降133Pa(dmmHg)
2、重力场中粒子按位置的分布
-mgz-Mmgz
n(z)二n(0)e〒二n(0)e^^
(分子数密度随高度按指数规律减小)
2
-m?
空至
fc)二f(:
x,:
y「z)=(訂)2e2k,ekT
2兀kT
-mgh-p
n(z)=n(0)ekT二ekT
玻尔兹曼对粒子按能量的分布进行了推广。
即在某一状态区间的粒子数与
二、玻耳兹曼分布在温度为T的平衡态下,任何系统的微观粒子按状态的分布,
z
该状态区间的一个粒子的能量£有关,且与ekT成正比。
會一^2
kT
m=n2e
说明:
A、玻尔兹曼分布仅是一种描述粒子处于不同能量的
(单个)状态上有不同概率的一种分布。
(平衡态)
B玻尔兹曼分布律是统计物理中适用于任何系统的基本定律。
(在s越大的状态区间内的分子数越少)
如:
重力场中,分子位置分布下密上疏,不再均匀。
在量子理论中,处于基态的原子最多,处于激发态的极少。
第六节能量均分定理
、理想气体热容
1热容:
物体升高或降低单位温度所吸收或放出的热量。
小dQ
dT
摩尔热容:
1mol物体升高或降低单位温度所吸收或放出的热量。
6J严)
..dT
比热(容):
1Kg物体升高或降低单位温度所吸收或放出的
1RQ、c()
mdT
C=Cm,C=me
C,Cm,C不仅与物体性质有关,也与具体过程有关定体热容Cv、定压热容Cp、
摩尔定体热容Cv,m、摩尔定压热容Cp,m、
定体比热容Cv、定压比热容cp
2、理想气体内能与热容单原子理想气体内能:
33
Um=NAkTRT
22
单原子理想气体摩尔定体热容:
Cv,m=3R
二、自由度与自由度数2
1机械运动的基本运动形式
质点
转动
一般运动:
看成基本运动(平动如自行车轮子的运动(刚体)(随C平动)加上过C轴的转动
2、自由度与自由度数
自由度:
描述物体空间位置所需要的独立坐标。
自由度数:
确定物体空间位置所需要的独立坐标的数目。
(t:
平动自由度;r:
转动自由度;s:
振动自由度)质点
t<3r=0
三维空间,t=3
若受到限制,自由度降低
平面上t=2
直线上t=1
刚体(女口:
手榴弹,陀螺)
t+r<6s=0
•定质心位置需3个平动自由度
•每一点绕过c点的轴转动
共有3个转动自由度先定转轴2个自由度,再定每个质量元在垂直轴的平面内绕轴
旋的角度1个自由度。
非刚体(由N个独立的粒子组成的质点系:
包括气体、液体)
t+r+s乞3N
一般说来,这3N个自由度中,有三个平动、三个转动及3N-6个振动自由度
3、气体分子的自由度
单原子分子可看作质点,自由度数为t=3
N个原子组成的多原子分子可看作质点系(非刚体),自由度数最多为3N个。
刚性双原子分子以及其它刚性的线型分子,一般都有3个平动自由度和2个转动自由度,
其自由度数为5。
三、能量均分定理1、能量均分定理:
在温度为T的平衡态下,物质(气、液、固)分子热运动动能平均分配到每一个分子的每
能量均分定理仅限于均分平均动能
每一振动自由度均分kT的能量。
振动能量的计算:
简谐振动,平均动能与平均势能相等,若某种分子有t个平动自由度,r个转动自由度,s个振动自由度,则
每一分子的总的平均能量为_=(tr2S)*-kT
2
式中各种振动、转动自由度都应是确实对能量均分定理作全部贡献的自由度,因为自由度会发生冻结。
2、能量按自由度均分的微观解释:
A、对于气体,由于分子间频繁的无规则碰撞,能量从一个分子转移到另一个分子,从这一个自由度转移到另一个自由度,从这种形式的自由度(如:
平动)转移到另一种形式的自由度(如:
转动)。
B液体和固体,能量均分是通过分子间很强的相互作用来实现的。
3、常温下理想气体的内能的计算
常温下理想气体振动自由度冻结,分子可看作刚性的。
t+rt+r
U^NakTRT
22
常温下Vmol单原子分子理想气体:
kRT
2
常温下vmol双原子分子理想气体:
—5
kRT
2
常温下vmol多原子分子理想气体:
;k=3RT
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- 第二 分子 理学 理论 平衡