行程专题班50道配套习题及详解.docx
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行程专题班50道配套习题及详解
2007年行程专题班50道配套习题及详解
一.相遇与追及
1.一个人原计划骑自行车由甲地去乙地,后来改为前一半路乘汽车,后一半路步行。
汽车速度是自行车速度的2倍,步行速度是自行车速度的一半,自行车速度为每小时10千米。
求行这段路的平均速度?
解:
设全程的一半为“1”,列式为
2÷(
+
)=8千米/小时.
2.王刚骑自行车从家到学校去,平常只用20分钟。
因途中有2千米正在修路,只好推车步行。
步行速度只有骑车速度的
,结果这天用了36分钟才到学校。
王刚家到学校有多少千米?
解法一:
王刚这天比平时多用36—20=16(分钟)。
这是因为步行比骑车慢
所以步行了
步行24分钟的路程骑车只需24×
=8(分钟),所以骑车8分钟行2千米,骑车20分钟行2×(20÷8)=5(千米)。
列算式为
解法二:
设走2千米路,原计划所用时间X分钟,根据速度比等于时间的反比列出比例式1:
3=X:
[X+(36—20)],得出原来行2千米需8分钟,每分钟行2÷8=
(千米),从而可求出全长为
3.小方从家去学校,如果他每小时比原来多走1.5千米,他走这段路只需原来时间的
;如果他每小时比原来少走1.5千米,那么他走这段路的时间比原来时间多几分之几?
解:
速度提高后,所用的时间是原来的
,可知速度是原来的l
,原来的速度是1.5÷(1
一1)=6(千米)。
6一1.5=4.5(千米),相当于原来速度的
,所用时间比原来多l÷
一1=
。
列算式为
4.甲、乙两人分别从A、B两地同时相向出发。
相遇后,甲继续向B地走,乙马上返回,往B地走。
甲从A地到达B地。
比乙返回B地迟0.5小时。
已知甲的速度是乙的
。
甲从A地到达地B共用了多少小时?
解:
相遇时,甲、乙两人所用时间相同。
甲从A地到达B地比乙返回B地迟0.5小时,即从相遇点到B地这同一段路程中,甲比乙多用0.5小时。
可求出从相遇点到B地甲用了0.5÷(1一
)=2(小时),相遇时,把乙行的路程看做“l”,甲行的路程为
,从而可求
5.一个圆的周长为60厘米,三个点把这个圆圈分成三等分,3只甲虫A、B、C按顺时针方向分别在这三个点上,它们同时按逆时针方向沿着圆圈爬行,A的速度为每秒5厘米,B的速度为每秒1.5厘米,C的速度为每秒2.5厘米.问3只甲虫爬出多少时间后第一次到达同一位置?
解:
们先考虑B、C两只甲虫什么时候到达同一位置,C与B相差20厘米,C追上B需要20÷(2.5—1.5)=20(秒).而20秒后每次追及又需60÷(2.5-1.5)=60(秒);再考虑A与C,它们第一次到达同一位置要20÷(5—2.5)=8(秒),而8秒后,每次追及又需60÷(5--2.5)=24(秒).可分别列出A与C、B与C相遇的时间,推导出3只甲虫相遇的时间
(1)C第一次追上B所需时间20÷(2.5—1.5)=20(秒).
(2)以后每次C追上B所需时间:
60÷(2.5—1.5)=60(秒).
(3)C追上B所需的秒数依次为:
20,80,140,200,….
(4)A第一次追上C所需时间:
20÷(5—2.5)=8(秒).
(5)以后A每次追上C所需时间:
60÷(5--2.5)=24(秒)
(6)A追上C所需的秒数依次为:
8,32,56,80,104….
所以80秒后3只甲虫第一次到达同一位置.
6.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发,如果两人同向而行,甲26分钟赶上乙;如果两人相向而行,6分钟可相遇,又已知乙每分钟行50米,求A、B两地的距离。
解:
先画图如下:
【方法一】若设甲、乙二人相遇地点为C,甲追及乙的地点为D,则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟,因此,甲走C到D之间的路程时,所用时间应为:
(26-6)=20(分)。
同时,由上图可知,C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和,为50×(26+6)=1600(米).所以,甲的速度为1600÷20=80(米/分),由此可求出A、B间的距离。
50×(26+6)÷(26-6)=50×32÷20=80(米/分)
(80+50)×6=130×6=780(米)
答:
A、B间的距离为780米。
【方法二】设甲的速度是x米/分钟
那么有(x-50)×26=(x+50)×6
解得x=80
所以两地距离为(80+50)×6=780米
7.甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山,他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍,而且甲比乙速度快,两人出发后1小时,甲与乙在离山顶600米处相遇,当乙到达山顶时,甲恰好下到半山腰。
那么甲回到出发点共用多少小时?
解:
由甲、乙两人下山的速度是上山的1.5倍,有:
⑴甲、乙相遇时,甲下山600米路程所需时间,相当于甲上山走600÷1.5=400米的时间。
所以甲、乙以上山的速度走一小时,甲比乙多走600+400=1000米。
⑵乙到山顶时,甲走到半山腰,也就是甲下山走了
的路程。
而走这
路程所需时间,相当于甲上山走山坡长度
÷1.5=
的时间。
所以在这段时间内,如
保持上山的速度,乙走了一个山坡的长度,甲走了1+
=
个山坡的长度。
所以,甲上山的速度是乙的
倍。
用差倍问题求解甲的速度,甲每小时走:
1000÷(
-1)×
=4000米。
根据⑴的结论,甲以上山的速度走1小时的路程比山坡长度多400,所以山坡长3600米。
1小时后,甲已下坡600米,还有3600-600=3000米。
所以,甲再用3000÷6000=0.5小时。
总上所述,甲一共用了1+0.5=1.5小时。
评注:
题关键在转化,把下山的距离再转化为上山的距离,这种转化是在保证时间相等的情况下。
通过转化,可以理清思路。
但是也要分清哪些距离是上山走的,哪些是下山走的。
8.老师教同学们做游戏:
在一个周长为114米的圆形跑道上,两个同学从一条直径的两端同时出发沿圆周开始跑,1秒钟后他们都调头跑,再过3秒他们又调头跑,依次照1、3、5……分别都调头而跑,每秒两人分别跑5.5米和3.5米,那么经过几秒,他们初次相遇?
解:
⑴半圆周长为144÷2=72(米)先不考虑往返,两人相遇时间为:
72÷(5.5+3.5)=8(秒)
⑵初次相遇所需时间为:
1+3+5+……+15=64(秒)。
二.多次相遇与多人相遇
9.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地4千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地3千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离.
解:
第二次相遇两人总共走了3个全程,所以甲一个全程里走了4千米,三个全程里应该走4*3=12千米,
通过画图,我们发现甲走了一个全程多了回来那一段,就是距B地的3千米,所以全程是12-3=9千米,
所以两次相遇点相距9-(3+4)=2千米。
.A,B两地相距540千米。
甲、乙两车往返行驶于A,B两地之间,都是到达一地之后立即返回,乙车较甲车快。
设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。
那么两车第三次相遇为止,乙车共走了多少千米?
解:
根据总结:
第一次相遇,甲乙总共走了2个全程,第二次相遇,甲乙总共走了4个全程,乙比甲快,相遇又在P点,所以可以根据总结和画图推出:
从第一次相遇到第二次相遇,乙从第一个P点到第二个P点,路程正好是第一次的路程。
所以假设一个全程为3份,第一次相遇甲走了2份乙走了4份。
第二次相遇,乙正好走了1份到B地,又返回走了1份。
这样根据总结:
2个全程里乙走了(540÷3)×4=180×4=720千米,乙总共走了720×3=2160千米。
.小张与小王分别从甲、乙两村同时出发,在两村之间往返行走(到达另一村后就马上返回),他们在离甲村3.5千米处第一次相遇,在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远(相遇指迎面相遇)?
解:
画示意图如下.
第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍,因此张走了
3.5×3=10.5(千米).
从图上可看出,第二次相遇处离乙村2千米.因此,甲、乙两村距离是
10.5-2=8.5(千米).
每次要再相遇,两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时,两人已共同走了两村距离(3+2+2)倍的行程.其中张走了
3.5×7=24.5(千米),
24.5=8.5+8.5+7.5(千米).
就知道第四次相遇处,离乙村
8.5-7.5=1(千米).
答:
第四次相遇地点离乙村1千米.
.
、
两地相距1000米,甲从
地、乙从
地同时出发,在
、
两地间往返锻炼。
乙跑步每分钟行150米,甲步行每分钟行60米。
在30分钟内,甲、乙两人第几次相遇时距B地最近?
最近距离是多少?
解:
甲乙的运行图如下,图中实现表示甲,虚线表示乙。
由图可知,第3次相遇时距离
地最近,此时两人共走了
千米,用时
分钟,相遇地点距离B地
米。
13.甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走60米,乙每分钟走67.5米,丙每分钟走75米,甲乙从东镇去西镇,丙从西镇去东镇,三人同时出发,丙与乙相遇后,又经过2分钟与甲相遇,求东西两镇间的路程有多少米?
解:
那2分钟是甲和丙相遇,所以距离是(60+75)×2=270米,这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差
所以乙丙相遇时间=270÷(67.5-60)=36分钟,所以路程=36×(60+75)=4860米。
14.甲、乙两地间有一条公路,王明从甲地骑自行车前往乙地,同时有一辆客车从乙地开往甲地。
40分钟后王明与客车在途中相遇,客车到达甲地后立即折回乙地,在第一次相遇后又经过10分钟客车在途中追上了王明。
客车到达乙地后又折回甲地,这样一直下去。
当王明骑车到达乙地时,客车一共追上(指客车和王明同向)王明几次?
解:
设王明10分钟所走的路程为a米,则王明40分钟所走的路程为4a米,则客车在10分钟所走的路程为4a×2+a=9a米,客车的速度是王明速度的9a÷a=9倍。
王明走一个甲、乙全程则客车走9个甲、乙全程,其中5个为乙到甲地方向,4个为甲到乙地方向,即客车一共追上王明4次。
15.王的步行速度是4.8千米/小时,小张的步行速度是5.4千米/小时,他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时,从乙地到甲地去.他们3人同时出发,在小张与小李相遇后5分钟,小王又与小李相遇.问:
小李骑车从乙地到甲地需要多少时间?
解:
画一张示意图:
图中A点是小张与小李相遇的地点,图中再设置一个B点,它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇,也就是5分钟的时间,小王和小李共同走了B与A之间这段距离,它等于
这段距离也是出发后小张比小王多走的距离,小王与小张的速度差是(5.4-4.8)千米/小时.小张比小王多走这段距离,需要的时间是
1.3÷(5.4-4.8)×60=130(分钟).
这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地需要
130÷2=65(分钟).
从乙地到甲地需要的时间是
130+65=195(分钟)=3小时15分.
答:
小李从乙地到甲地需要3小时15分.
16.甲、乙、丙是一条路上的三个车站,乙站到甲、丙两站的距离相等,小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行,小强经过乙站100米时与小明相遇,然后两人又继续前进,小强走到丙站立即返回,经过乙站300米时又追上小明,问:
甲、乙两站的距离是多少米?
解:
先画图如下:
结合上图,我们可以把上述运动分为两个阶段来考察:
①第一阶段——从出发到二人相遇:
小强走的路程=一个甲、乙距离+100米,
小明走的路程=一个甲、乙距离-100米。
②第二阶段——从他们相遇到小强追上小明,小强走的路程=2个甲、乙距离-100米+300米=2个甲、乙距离+200米,小明走的路程=100+300=400(米)。
从小强在两个阶段所走的路程可以看出:
小强在第二阶段所走的路是第一阶段的2倍,所以,小明第二阶段所走的路也是第一阶段的2倍,即第一阶段应走400÷2=200(米),从而可求出甲、乙之间的距离为200+100=300(米)。
17.快车和慢车分别从A,B两地同时开出,相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时,慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问:
两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间?
解:
画一张示意图:
设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时,从C到A用了12.5-5=7.5(小时).我们把慢车半小时行程作为1个单位.B到C10个单位,C到A15个单位.慢车每小时走2个单位,快车每小时走3个单位.
有了上面“取单位”准备后,下面很易计算了.
慢车从C到A,再加停留半小时,共8小时.此时快车在何处呢?
去掉它在B停留1小时.快车行驶7小时,共行驶3×7=21(单位).从B到C再往前一个单位到D点.离A点15-1=14(单位).
现在慢车从A,快车从D,同时出发共同行走14单位,相遇所需时间是
14÷(2+3)=2.8(小时).
慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了
7.5+0.5+2.8=10.8(小时).
答:
从第一相遇到再相遇共需10小时48分.
三.环型相遇与追及
18.如图,有一个圆,两只小虫分别从直径的两端A与C同时出发,绕圆周相向而行。
它们第一次相遇在离A点8厘米处的B点,第二次相遇在离c点处6厘米的D点,问,这个圆周的长是多少?
解:
如上图所示,第一次相遇,两只小虫共爬
行了半个圆周,其中从A点出发的小虫爬了8厘米,第二次相遇,两
只小虫从出发共爬行了1个半圆周,其中从A点出发的应爬行8×3=24(厘米),比半个圆周多6厘米,半个圆周长为8×3—6=18(厘米),一个圆周长就是:
(8×3—6)×2=36(厘米)
答:
这个圆周的长是36厘米。
19.A、B是一圈形道路的一条直径的两个端点,现有甲、乙两人分别从A、B两点同时沿相反方向绕道匀速跑步(甲、乙两人的速度未必相同),假设当乙跑完100米时,甲、乙两人第一次相遇,当甲差60米跑完一圈时,甲、乙两人第二次相遇,那么当甲、乙两人第十二次相遇时,甲跑完几圈又几米?
解:
甲、乙第一次相遇时共跑0.5圈,乙跑了100米;第二次相遇时,甲、乙共跑1.5圈,则乙跑了100×3=300米,此时甲差60米跑一圈,则可得0.5圈是300-60=240米,一圈是480米。
第一次相遇时甲跑了240-100=140米,以后每次相遇甲又跑了140×2=280米,所以第十二次相遇时甲共跑了:
140+280×11=3220=6圈340米。
20.如图所示,沿着某单位围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形,甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。
已知甲每分走90米,乙每分走70米。
问:
至少经过多长时间甲才能看到乙?
解:
甲、乙在同一条边(包括端点)上时甲才能看到乙。
甲追上乙一条边,即追上300米需300÷(90-70)=15(分),此时甲、乙的距离是一条边长,而甲走了90×15÷300=4.5(条边),位于某条边的中点,乙位于另一条边的中点,所以甲、乙不在同一条边上,甲看不到乙。
甲再走0.5条边就可以看到乙了,即甲总共走了5条边后就可以看到乙了,共需要
小时。
21.甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练:
他们同时从同一地出发,沿相反方向跑,每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈,跑第一圈时,乙的速度是甲的速度的2/3。
甲跑第二圈的速度是比第一圈提高了1/3,乙跑第二圈的速度提高了1/5,已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米,问这条跑道长多少米?
解:
先找第一次相遇的地方在距起点2/5(或者3/5)处。
再找到第二次相遇在距离起点(1-2/3)÷(4/3+4/5)×4/5=1/8处,两次相遇点间隔2/5+1/8=21/40,注意到1-21/40=19/40<21/40,所以最短相距19/40,即190米是全长的19/40,所以这条跑道长190÷19/40=190×40/19=400米.
22.正方形ABCD是一个环型公路,汽车在AB上的时速是90千米,在BC上的时速是120千米,在CD上的时速是60千米,在DA上的时速是80千米,从CD上一点P反向各发出一辆汽车,它们将在AB中点相遇,如果从PC的中点M同时反向各发出一辆汽车,它们在AB上一点N相遇,那么A到N的距离除以N到B的距离商是多少?
解:
假设正方形边长为“1”,DP长为a,那么有:
a/60+1/80+1/2÷90=(1-a)/60+1/120+1/2÷90,所以a=3/8,所以CM=(1-3/8)÷2=5/16,DM=1-5/16=11/16,再假设AN=b,就有:
11/16÷60+1/80+b/90=5/16÷60+1/120+(1-b)/90,解这个方程得:
b=1/32,所以最后的结果应该是:
1/32÷(1-1/32)=1/31.
23.8点10分,甲、乙二人以相同的速度分别从相距60米的A、B两地顺时针方向沿长方形ABCD的边走向D,甲8点20分到D后,丙、丁两人立即以相同速度从D出发,丙由D向A,8点24分在E与乙相遇,丁由D向C,8点30分在F被乙追上,求三角形BEF的面积.(希望杯赛题)
解:
甲到D时,乙距离D60米,乙丙合走60米花了4分钟,乙追丁60米花了10分钟,所以他们的速度和是60÷4=15米/分,速度差是60÷10=6米/分,由此得到甲乙的速度是(15+6)÷2=10.5米/分,丙丁的速度是15-10.5=4.5米/分。
那么AD的长度就是10.5×10=105米,DE长度是4.5×4=18米,DF的长度就是4.5×10=45米,现在可以求三角形的面积了:
60×105-60×(105-18)÷2-18×45÷2-105×(60-45)÷2=6300-2610-405-787.5=2497.5
四.运用比例解相遇与追及
24.甲、乙两车分别从A,B两地出发,相向而行,出发时,甲、乙的速度比是5:
4,相遇后,甲的速度减少20%,乙的速度增加20%,这样,当甲到达B时,乙离A地还有10千米。
那么A,B两地相距多少千米?
解:
相遇后速度比值为[5×(1-20%)]:
[4×(1+20%)]=5:
6,假设全程为9份,甲走了5份,乙走了4份,之后速度发生变化,这样甲到达B地,甲又走了4份,根据速度变化后的比值,乙应该走了4×6÷5=24/5份,这样距A地还有5-24/5份,所以全程为10÷(1/5)×9=450千米。
25.小方从家去学校,如果他每小时比原来多走1.5千米,他走这段路只需原来时间的
;如果他每小时比原来少走1.5千米,那么他走这段路的时间比原来时间多几分之几?
解:
速度提高后,所用的时间是原来的
,可知速度是原来的l
,原来的速度是1.5÷(1
一1)=6(千米)。
6一1.5=4.5(千米),相当于原来速度的
,所用时间比原来多l÷
一1=
。
列算式为
26.王刚骑自行车从家到学校去,平常只用20分钟。
因途中有2千米正在修路,只好推车步行。
步行速度只有骑车速度的
,结果这天用了36分钟才到学校。
王刚家到学校有多少千米?
解法一:
设走2千米路,原计划所用时间X分钟,根据速度比等于时间的反比列出比例式1:
3=X:
[X+(36—20)],得出原来行2千米需8分钟,每分钟行2÷8=
(千米),从而可求出全长为
解法二:
王刚这天比平时多用36—20=16(分钟)。
这是因为步行比骑车慢
所以步行了
步行24分钟的路程骑车只需24×
=8(分钟),所以骑车8分钟行2千米,骑车20分钟行2×(20÷8)=5(千米)。
列算式为
27.甲、乙两人步行的速度之比是7:
5,甲、乙分别由A、B两地同时出发。
如果相向而行,0.5小时后相遇;如果他们同向而行,那么甲追上乙需要多少小时?
解:
(1)设甲追上乙要x小时。
因为相向而行时,两人的距离÷两人的速度和=0.5小时,同向而行时,两人的距离÷两人的速度差=x小时。
甲、乙两人的速度之比是7:
5,所以
=
解得:
x=3
(2)根据路程之比等于速度之比可知,相遇时甲行7份,乙行5份(总路程12份),0.5小时内甲比乙多行7-5=2份。
追及时甲要追上乙,需要多行12份,即12÷2×0.5=3小时。
28.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,出发时他们的速度之比是3:
2,他们第一次相遇后甲的速度提高了20﹪,乙的速度提高了30﹪,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有14千米,那么A、B两地的距离是多少千米?
解:
因为他们第一次相遇时所行的时间相同,所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也为3:
2
相遇后,甲、乙两人的速度比为〔3×(1+20﹪)〕:
〔2×(1+30﹪)〕=3.6:
2.6=18:
13到达B地时,即甲又行了2份的路程,这时乙行的路程和甲行的路程比是18:
13,即乙的路程为2×
=1
。
乙从相遇后到达A还要行3份的路程,还剩下3-1
=1
(份),正好还剩下14千米,所以1份这样的路程是14÷1
=9(千米)。
A、B两地有这样的3+2=5(份),因此A、B两地的总路程为:
[3×(1+20%)]:
[2×(1+30%)]=18:
13
14÷(3-2×
)=14÷1
=9(千米)
9×(3+2)=45(千米)
答:
A、B两地的距离是45千米。
29.姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地,他们回家要从公园门口沿马路向西行,他们商量是先回家取车再骑车去某地省时间,还是直接从公园门口步行向东去某地省时间。
姐姐算了一下:
已知骑车与步行的速度之比是4︰1,从公园门口到达某地距离超过2千米时,回家取车才合算。
那么,公园门口到他们家的距离有多少米?
解:
从题中“公园门口到达某地距离超过2千米时,回家取车才合算”,可以知道,从公园门口到某地距离是2千米时,则两者时间相同。
设公园门口到家的距离是x千米。
=
8-4x=x+2
x=1.2
答:
从公园门口到他们家的距离有1.2米。
30.一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20%,可以比原定时间提前一小时到达;如果以原速行驶120千米后,再将速度提高25%,则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米?
解:
设原速度是1.
%后,所用时间缩短到原时间的
这是具体地反映:
距离固定,时间与速度成反比.
用原速行驶需要
同样道理,车速提高25%,所用时间缩短到原来的
如果一开始就加速25%,可少时间
现在只少了40分钟,72-40=32(分钟).
说明有一段路程未加速而没有少这个32分钟,它应是这段路程所用时间
真巧,320-160=160(分钟),原速的行程与加速的行程所用时间一样.因此全程长
答:
甲、乙两地相距270千米.
31.一辆汽车从甲地开往乙地,如果车速提高20%,可以提前1小时到达。
如果按原速行驶一段距离后,再将速度提高30%
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