轴对称复习.docx
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轴对称复习
轴对称复习
一、本章的重点是:
轴对称、轴对称变换、线段垂直平分线的性质和判定、等腰三角形的性质和判定.
难点是:
等腰三角形的性质和判定.掌握等腰三角形的性质和判定,并能应用这些知识是学好本章的关键.例如
1、已知等腰三角形两边长,求周长
2、已知等腰三角形的一个角(锐角或钝角)求其他两个角的大小
E
A
3、如图在△ABC中,∠B=30º,ED垂直平分BC,ED=3,则CE长为_______________
B
C
D
4、在△ABC中,∠C=90º,AC=3,∠B=30º,
P是BC边上的动点,则AP长不可能是( )
A
A.3.5 B.4 C.5.8 D.7
C
B
P
二、学法指导
在本章的学习中,要逐步体会轴对称的思想,同时由特殊到一般的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.
知识网络图示
基本知识整理
一、基本概念
1.轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
2.线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线
3.轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.
4.等腰三角形
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.
5.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
二、主要性质
1.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
2.线段垂直平分钱的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
3.
(1)点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标为P′(x,-y).
(2)点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标为P″(-x,y).
(3)点p(x,y)关于原点对称的点的坐标____________
(4)点p(x,y)关于平行于x轴的直线对称的点的坐标____________
(5)点p(x,y)关于平行于y轴的直线对称的点的坐标_____________
4.等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).(前提是:
同一个三角形)
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.(三线合一定理)
(3)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.
(4)等腰三角形两腰上的高、中线分别相等,两底角的平分线也相等.
(5)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。
(6)等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.
5.等边三角形的性质
(1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.
(2)等边三角形是轴对称图形,共有三条对称轴.
(3)等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.
三、有关判定
1.与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.(此定理可判定:
1、点的位置2、线段垂直平分线)
2、连接与线段两端点距离相等的两点的直线是这条线段的垂直平分线(此定理可直接判定直线是线段的垂直平分线)
3.如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).(此定理可判定:
等腰三角形)
4.三个角都相等的三角形是等边三角形.
5.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
四、典型例题
一、用轴对称的观点证明有关几何命题
例1试说明在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知:
在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,如图所示.
求证:
BC=
AB
证明:
如图所示.
作出△ABC关于AC对称的△AB′C.
∴AB′=AB.
又∵∠CAB=30°,∴∠B′=∠B=∠B′AB=60°.
∴AB=BB′=AB′
又∵AC⊥B′B,
∴B′C=BC=
BB′=
AB.即BC=
AB.
例2如图所示,已知∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°.求证BD=
AB.
证明:
在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴BC=
AB,∠B=60°.
又∵CD⊥BA,
∴∠BDC=90°,∠BCD=30°.∴BD=
BC.
∴BD=
·
AB=
AB.
即BD=
AB.
二、有关等腰三角形的内角度数的计算
例3如图所示,AB=AC,BC=BD=ED=EA,求∠A的度数.
(分析)图形中有多个等腰三角形,因而有许多对相等的角,设定其中的某个角,再用这个角把另外的角表示出来,即可解决.
解:
∵AB=AC,BC=BD=ED=EA,
∴∠ABC=∠C=∠BDC,
∠ABD=∠BED,∠A=∠EDA.
设∠A=α,则∠EDA=α,∠ABD=∠BED=2α,
∠ABC=∠C=∠BDC=3α(根据三角形的外角性质).
在△ABC中,∠A=α,∠ABC=∠ACB=3α,
由三角形内角和可得α+3α+3α=180°,
∴α=
,∴∠A=
.
∴∠A的度数为
.
例4如图所示,在△ABC中,D在BC上,若AD=BD,AB=AC=CD,求∠BAC的度数.
解:
∵AD=BD,AB=AC=CD,
∴∠B=∠C=∠BAD,∠CAD=∠CDA.
设∠B=∠C=∠BAD=α,
则∠CAD=∠CDA=2α,∠BAC=3α.
在△ABC中,∠BAC=3α,∠B=∠C=α,
∴3α+α+α=180°,
∴α=36”,∴3α=108°,即∠BAC=108°.
∴∠BAC的度数是108°.
三、作辅助线解决问题
例5如图所示,∠B=90°,AD=AB=BC,DE⊥AC.求证BE=DC.
证明:
连接AE.
∵ED⊥AC,∴∠ADE=90°.
又∵∠B=90°,∴在Rt△ABE和Rt△ADE中,
∴Rt△ABE≌Rt△ADE(HL),∴BE=ED.
∵AB=BC,∴∠BAC=∠C.
又∵∠B=90°,∴∠BAC+∠C=90°.
∴∠C=45°.∴∠DEC=45°.
∴∠C=∠DEC=∠45°.
∴DE=DC,∴BE=DC.
例6如图所示,在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点E,在AC延长线上取一点F,使BE=CF,EF交BC于G.求证EG=FG.
证明:
过E作EM∥AC,交BC于点M,
∴∠EMB=∠ACB,∠MEG=∠F.
又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
∴∠B=∠EMB,∴EB=EM.
又∵BE=CF,∴EM=FC.
在△MEG和△CFG中,
∴△MEG≌△CFG(AAS).
∴EG=FG.
例7如图所示,在△ABC中,∠B=60°,AB=4,BC=2.求证△ABC是直角三角形.
(分析)欲证△ABC是直角三角形,只需证明∠BCA=90°即可.
证明:
取AB的中点D,连接CD.
∵BC=2,AB=4,∴BC=BD=AD=2.
∴∠BCD=∠BDC.
又∵∠B=60°,∴∠BCD=∠BDC=60°.
∴DC=BD=DA.∴∠A=∠DCA.
又∵∠BDC是△DCA的一个外角,
∴∠BDC=∠A+∠DCA=60°.
∴∠A=30°,
∴∠BCA=180°-∠B-∠A=180°-60°-30°=90°.
∴△ABC是直角三角形.
五、课堂练习
1.等腰三角形的一边等于5,一边等于12,则它的周长为()
A.22B.29C.22或29D.17
2.如图14-110所示,图中不是轴对称图形的是()
3.在△ABC中,∠A和∠B的度数如下,其中能判定△ABC是等腰三角形的是()
A.∠A=50°,∠B=70°B.∠A=70°,∠B=40°
C.∠A=30°,∠B=90°D.∠A=80°,∠B=60°
4.如图14-111所示,在△ABC中,AB=AC,BD是角平分线,
若∠BDC=69°,则∠A等于()
A.32°B.36°C.48°D.52°
5.右图是屋架设计图的一部分,其中∠A=30°,点D是斜梁AB的中点,
BC、DE垂直于横梁AC,AB=16m,则DE的长为()
A.8mB.4mC.2mD.6m
6.等腰三角形有条对称轴.等边三角形有条对称轴.
7.在△ABC中,AB=AC,∠A+∠B=140°,则∠A=.
8.如图,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,
则∠DBC=_______
9、
(1)等腰三角形的一个内角等于130°,则其余两个角分别为;
(2)等腰三角形的一个内角等于70°,则其余两个角分别为.
10、分别写出下列各点关于x轴及y轴对称的点的坐标:
(—2,6)(1,—3)(—5,—12)(6,—1)(0,10)(12,0)
关于x轴对称________________________
关于y轴对称_______________________________________________
三、作图
11、如图,△ABC和△A´B´C´成轴对称图形,试作出对称轴
12、作出下面图形关于直线l的轴对称图形。
13、在下面左图中找出点A,使它到M,N两点的距离相等,并且到OH,OF的距离相等。
14、如下面右图,某地由于居民增多,要建一个公共汽车站,B为居民区,要求汽车站到两个居民区的距离相等,请找出汽车站应该建在什么地方?
15、在下面左图中找到一点M,使它到A、B两点的距离和最小。
16、如上面右图,四边形ABCD的顶点坐标为A(—5,1),B(—1,1),C(—1,6),D(—5,4),
请作出四边形ABCD关于x轴及y轴的对称图形,并写出坐标。
17、某班举行文艺晚会,桌子摆成两直条(如图中的AO,BO),
AO桌面上摆满了桔子,BO桌面上摆满了糖果,
坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果,然后回到座位。
请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?
18、如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,
求证:
这个三角形是等腰三角形
四、应用提高
19、在△ABC,BC=BA,点D在AB上,且AC=CD=DB,求△ABC各角度数。
20、△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=5cm,△CBD的周长为24cm,
求△ABC的周长。
21、如图,AD=AE,BD=CE,求证:
AB=AC
22、已知等腰三角形的两边a,b,满足
+(2a+3b-13)2=0,求此等腰三角形的周长。
23、如图14-106所示,在△ABC中,D在BC上,若AD=BD,AB=AC=CD,求∠BAC的度数.
7已知:
如左图,P、Q是△ABC的边BC上的两点,,并且PB=PQ=QC=AP=AQ.求∠BAC的大小.
24、如图14-109所示,在△ABC中,∠B=60°,AB=4,BC=2.求证△ABC是直角三角形.
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- 轴对称 复习