图像 平均速度 教师版.docx
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图像平均速度教师版
匀变速直线运动图象运动学典型问题教师版
【要点扫描】
匀变速直线运动图象
一、对于运动图象要从以下几点来认识它的物理意义:
a.从图象识别物体运动的性质。
b.能认识图象的截距的意义。
c.能认识图象的斜率的意义。
d.能认识图线覆盖面积的意义。
e.能说出图线上一点的状况。
二、利用v-t图象,不仅可极为方便地证明和记住运动学中的一系列基本规律和公式,还可以极为简捷地分析和解答各种问题。
(1)s-t图象和v-t图象,只能描述直线运动——单向或双向直线运动的位移和速度随时间的变化关系,而不能直接用来描述方向变化的曲线运动。
(2)当为曲线运动时,应先将其分解为直线运动,然后才能用s-t或v-t图象进行描述。
1、位移—时间图象
位移时间图象反映了运动物体的位移随时间变化的关系,匀速运动的s-t图象是直线,直线的斜率数值上等于运动物体的速度;变速运动的s-t图象是曲线,图线切线方向的斜率表示该点速度的大小.
2、速度—时间图象
(1)它反映了运动物体速度随时间的变化关系.
(2)匀速运动的v-t图线平行于时间轴.
(3)匀变速直线运动的v-t图线是倾斜的直线,其斜率数值上等于物体运动的加速度.
(4)非匀变速直线运动的v-t图线是曲线,每点的切线方向的斜率表示该点的加速度大小.
运动学典型问题及解决方法
一、相遇、追及与避碰问题
对于追及问题的处理,要通过两质点的速度比较进行分析,找到隐含条件(即速度相同时,两质点距离最大或最小)。
再结合两个运动的时间关系、位移关系建立相应的方程求解,必要时可借助两质点的速度图象进行分析。
二、追及类问题的提示
1、匀加速运动追及匀速运动,当二者速度相同时相距最远.
2、匀速运动追及匀加速运动,当二者速度相同时追不上以后就永远追不上了.此时二者相距最近.
3、匀减速直线运动追匀速运动,当二者速度相同时相距最近,此时假设追不上,以后就永远追不上了.
4、匀速运动追匀减速直线运动,当二者速度相同时相距最远.
5、匀加速直线运动追匀加速直线运动,应当以一个运动当参照物,找出相对速度、相对加速度、相对位移.
【规律方法】
一、匀变速直线运动的图象
1、s-t图象和v-t图象的应用
【例1】甲、乙、丙三物体同时同地开始做直线运动,其位移-时间图象如图所示,则在t0时间内,甲、乙、丙运动的平均速度的大小关系分别是:
v甲v乙v丙(填“>”、“=”或“<”
,它们在t0时间内平均速率的大小关系为v′甲_v′乙_v′丙·
解析:
由图可知,在t0时间内它们的位移相同,由平均速度的定义,故可知甲、乙、丙三者在t0时间内的平均速度的大小相同,即v甲=v乙=v丙,而平均速率是指质点运动的路程(质点运动轨迹的长度)与时间的比值,由图中可知,质点在t0时间内,甲的路程最长,(由图象中可知甲有回复运动)故甲的平均速率最大,而乙和丙路程相同,故乙和丙的平均速率相同,即v′甲>v′乙=v′丙.
注意:
平均速率不是平均速度的大小.对于图象问题,要求把运动物体的实际运动规律与图象表示的物理含义结合起来考虑.
【例2】物体沿一直线运动,在t时间内通过的路程为s。
它在中间位置
处的速度为v1,在中间时刻
时的速度为v2,则v1、v2的关系为
A.当物体做匀加速直线运动时,v1>v2
B.当物体做匀减速直线运动时,v1<v2;
C.当物体做匀速直线运动时,v1=v2
D.当物体做匀减速直线运动时,v1>v2
解析:
由题意,作出物体的v-t关系图,
点处的虚线把梯形面积一分为二,如图所示,由图可知,无论物体做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动。
在路程中间位置的速度v1始终大于中间时刻的速度v2,当物体做匀速直线运动时,在任何位置和任何时刻的速度都相等。
故正确答案为:
A、C、D。
【例3】甲、乙、丙三辆汽车以相同的速度同时经过某一路标,从此时开始,甲车一直做匀速直线运动,乙车先加速后减速,丙车先减速后加速,它们经过下一路标时速度又相同,则哪一辆车先经过下一个路标?
解析:
由题可知这三辆汽车的初、末速度相同,它们发生的位移相同,而题中并不知乙、丙两车在各阶段是否做匀速直线运动,因此,我们只能分析它们的一般运动,即变速直线运动,这样匀变速直线运动的规律就无法求解这一问题,如果我们利用图象法,即在同一坐标系中,分别作出这三辆车的v-t图象,如图所示,由此可知:
乙车到达下一个路标的时间最短,即乙车最先通过下一个路标。
说明:
图象法是根据物体的运动规律及题中条件,将复杂的运动过程转化成简单、直观过程的一种思维方法。
2、速度——时间图象的迁移与妙用
【例4】一个固定在水平面上的光滑物块,其左侧面是斜面AB,右侧面是曲面AC。
已知AB和AC的长度相同。
两个小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开始下滑,比较它们到达水平面所用的时间
A.p小球先到B.q小球先到C.两小球同时到D.无法确定
解:
可以利用v-t图象(这里的v是速率,曲线下的面积表示路程s)定性地进行比较。
在同一个v-t图象中做出p、q的速率图线,显然开始时q的加速度较大,斜率较大;由于机械能守恒,末速率相同,即曲线末端在同一水平图线上。
为使路程相同(曲线和横轴所围的面积相同),显然q用的时间较少。
【例5】两支完全相同的光滑直角弯管(如图所示)现有两只相同小球a和a/同时从管口由静止滑下,问谁先从下端的出口掉出?
(假设通过拐角处时速度大小不变)
解:
首先由机械能守恒可以确定拐角处v1>v2,而两小球到达出口时的速率v相等。
又由题意可知两球经历的总路程s相等。
由牛顿第二定律,小球的加速度大小a=gsinα,小球a第一阶段的加速度跟小球a′第二阶段的加速度大小相同(设为a1);小球a第二阶段的加速度跟小球a′第一阶段的加速度大小相同(设为a2),根据图中管的倾斜程度,显然有a1>a2。
根据这些物理量大小的分析,在同一个v-t图象中两球速度曲线下所围的面积应该相同,且末状态速度大小也相同(纵坐标相同)。
开始时a球曲线的斜率大。
由于两球两阶段的加速度对应相等,如果同时到达(经历时间为t1)则必然有s1>s2,显然不合理。
考虑到两球末速度大小相等(图中vm),球a′的速度图象只能如实线所示。
因此有t1<t2,即a球先到。
二、运动学典型问题及解决方法
1、追及问题的分析思路
(1)根据追赶和被追赶的两个物体的运动性质,列出两个物体的位移方程,并注意两物体运动时间之间的关系.
(2)通过对运动过程的分析,画出简单的图示,找出两物体的运动位移间的关系式.追及的主要条件是两个物体在追上时位置坐标相同.
(3)寻找问题中隐含的临界条件,例如速度小者加速追赶速度大者,在两物体速度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者,在两物体速度相等时有最小距离,等等.利用这些临界条件常能简化解题过程.
(4)求解此类问题的方法,除了以上所述根据追及的主要条件和临界条件解联立方程外,还有利用二次函数求极值,及应用图象法和相对运动知识求解.
【例1】一辆小车在轨道MN上行驶的速度v1可达到50km/h,在轨道外的平地上行驶速度v2可达到40km/h,与轨道的垂直距离为30km的B处有一基地,如图所示,问小车从基地B出发到离D点100km的A处的过程中最短需要多长时间(设小车在不同路面上的运动都是匀速运动,启动时的加速时间可忽略不计)?
解析:
建构合理的知识体系,巧用类比,触发顿悟性联想。
显然,用常规解法是相当繁琐的。
我们知道,光在传播过程中“走”的是时间最短的路径。
可见,我们可以把小车的运动类比为光的全反射现象的临界状态(如图所示),根据临界角知识得:
sinC=v2/v1=4/5,由图得:
sinC=x/
,小车运动时间:
t=(100-x)/vl+
/v2由以上几式可得:
x=40km,t=2.45h。
2、相遇问题的分析思路
相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形,其主要条件是两物体在相遇处的位置坐标相同.
(1)列出两物体运动的位移方程,注意两个物体运动时间之间的关系.
(2)利用两物体相遇时必处在同一位置,寻找两物体位移间的关系.
(3)寻找问题中隐含的临界条件.
(4)与追及中的解题方法相同
【例3】在某铁路与公路交叉的道口处安装的自动栏木装置如图所示,当高速列车到达A点时,道口公路上应显示红灯,警告未越过停车线的汽车迅速制动,而且超过停车线的汽车能在列车到达道口前安全通过道口。
已知高速列车的速度v1=120km/h,汽车过道口的速度v2=5km/h,汽车驶至停车线时立即制动后滑行的距离是S0=5m,道口宽度s=26m,汽车长l=15m。
若栏木关闭时间tl=16s,为保障安全需多加时间t2=20s。
问:
列车从A点到道口的距离L应为多少才能确保行车安全?
解析:
由题意知,关闭道口的时间为16s,为安全保障再加20s,即关闭道口的实际时间为t0=20+16=36s,汽车必须在关闭道口前已通过道口,汽车从停车线到通过道口实际行程为S=26+5+15=46m,需用时
,由此亮起红灯的时间为T=t0+t2,故A点离道口的距离应为:
L=v1T=
=2304m
【例4】火车以速度vl匀速行驶,司机发现前方同轨道上相距S处有另一火车沿同方向以速度v2(对地、且v1>v2)做匀速运动.司机立即以加速度a紧急刹车.要使两车不相撞,a应满足什么条件?
解法一:
后车刹车后虽做匀减速运动,但在其速度减小至和v2相等之前,两车的距离仍将逐渐减小;当后车速度减小至小于前车速度,两车距离将逐渐增大.可见,当两车速度相等时,两车距离最近.若后车减速的加速度过小,则会出现后车速度减为和前车速度相等之前即追上前车,发生撞车事故;若后车加速度过大,则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍未追上前车,根本不可能发生撞车事故;若后车加速度大小为某值时,恰能使两车在速度相等时后车追上前车.这正是两车恰不相撞的临界状态,此时对应的加速度即为两车不相撞的最小加速度.综上分析可知,两车恰不相撞时应满足下列两方程:
v1t-a0t2/2=v2t+Sv1-a0t=v2解之可得:
a0=
.所以当a≥
时,两车即不会相撞
解法二:
要使两车不相撞,其位移关系应为v1t-at2/2≤S+v2t
即at2/2+(v2-v1)t+S≥0
对任一时间t,不等式都成立的条件为Δ=(v2-v1)2-2as≤0由此得a≥
解法三:
以前车为参照物,刹车后后车相对前车做初速度V0=V1-V2,加速度为a的匀减速直线运动.当后车相对前车的速度成为零时,若相对位移S/≤S,则不会相撞.故由
S′=v02/2a=(v1-v2)2/2a≤S,得a≥
点评:
三种解法中,解法一注重对运动过程的分析,抓住两车间距有极值时速度应相等这一关键条件来求解;解法二中由位移关系得到一元二次方程.然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系,这也是中学物理中常用的数学方法;解法三通过巧妙地选取参照物,使两车运动的关系变得简明.
说明:
本题还可以有多种问法,如“以多大的加速度刹车就可以不相碰?
”,“两车距多少米就可以不相碰?
”,“货车的速度为多少就可以不相碰?
”等,但不管哪一种问法,都离不开“两车速度相等”这个条件.
【模拟试题】
1、一只老鼠从洞口爬出后沿一直线运动,其速度大小与其离开洞口的距离成反比。
当其到达距洞口为d1的A点时速度为v1.若B点离洞口的距离为d2(d2>d1),求老鼠由A运动至B所需的时间。
2、甲、乙两车同时同向沿直线驶向某地,甲在前一半时间以v1匀速运动,后一半时间以v2匀速运动。
乙在前一半路程以v1匀速运动,后一半路程以v2匀速运动,先到目的地的是____________。
3、质点P以O点为平衡位置竖直向上做简谐运动,同时质点Q也从O点被竖直上抛,它们恰好同时到达最高点,且高度相同,在此过程中,两质点的瞬时速度vP与vQ的关系应该是[ ]
A.vP>vQ. B.先vP>vQ,后vP<vQ,最后vP=vQ=0.
C.vP<vQ. D.先vP<vQ,后vP>vQ,最后vP=vQ=0.
4、在空中足够高的某处,以初速度v竖直上抛一小球,ts后在同一地点以初速度v/竖直下抛另一个小球,若使两个小球在运动中能够相遇,试就下述两种情况讨论t的取值范围:
(l)0<v/<v,
(2)v/>v
【试题答案】
1、【解析】图中的曲线与横轴所围面积的数值正是老鼠经过一定的位移所需的时间。
如图所示,取一窄条,其宽度Δx很小(Δx→0),此段位移所需时间Δt也很小(Δv→0),可以认为在如此短时间内,老鼠的速度改变很小(Δv→0),如图中窄条的面积为A=Δx
=
,这正表示老鼠经位移Δx所需的时间。
故图中图线
=
,x1=dl,x2=d2及x轴所围的梯形面积正是老鼠由dl爬至d2所需的时间。
k=v1d1=v2d2;t=
2、解析:
图中画出了甲与乙的s-t图线,图象画好答案也出现了,t乙>t甲,所以甲先到达目的地;图中假设v1>v2,若v2>v1可得到同样的结果,此题也能用v-t图象求解,无论用s-t图象还是v-t图象,都要比用计算的方法简捷得多。
3、解析:
这也是用解析方法很难下手的题目,但若能利用题设条件,画好、分析好两个质点的v-t图线,就能很快找到答案。
先在图中画出Q做匀减速运动的v-t图象。
由于P做简谐运动,当它由平衡位置向极端位置运动的过程中,受到的回复力从零开始不断变大,它的加速度也从零开始不断变大,速度不断变小,P做加速度不断增大的减速运动,其v-t图线是一条曲线.根据v-t图线上任一点的切线的斜率数值上等于质点在该时刻的加速度,由于P的加速度由零开始不断变大,画出曲线切线斜率的绝对值也应由零开始不断增大,即曲线的切线应从呈水平状态开始不断变陡,那么只有向右边凸出的下降的曲线才能满足这样的条件。
又因P与Q的运动时间相等,所以曲线的终点也应在t,P与Q的路程相等,所以曲线包围的面积应等于三角形vQ0Ot的面积,根据这些要求,曲线的起点,即质点P的初速度vP0必定小于Q的初速vQ0,且两条v-t图线必定会相交,如图中的实线所示。
图中的两条虚线表示的质点P的v-t图线都不满足题设条件(P与Q的路程相等),所以(D)选项正确。
4、【解析】若两小球在运动中能够在空中相遇,必须是下抛小球刚抛出时,上抛小球已进入下降阶段,且速度大的小球在后,追赶前面速度小的球,
(1)上抛小球速度方向变为向下,大小达v/时所经历的时间为t0,则
t0=
+
∴当t>t0时,上抛小球的即时速度vt>v/,上抛小球能够追上下抛小球,但是,若上抛小球已越过抛出点,再向下抛出另一个小球时,两球就不会相遇,而上抛球回到抛出点的时间t1为:
t1=
即:
当
<t<
时两球能够在运动中相遇
(2)上抛小球速度方向变为向下,大小达v/时所经历时间为t0/,
则:
t0/=
当t<t0/时,上抛时即时速度vt<v/,但若使上抛球在前,t还得大于t1=2v/g才行,因此,两球在运动中相遇的条件为:
<t<
1.(08宁夏理综17)甲、乙两车在公路上沿同一方向做直线运动,它们的v-t图象如图所示.两图象在t=t1时相交于P点,P在横轴上的投影为Q,△OPQ的面积为S.在t=0时刻,乙车在甲车前面,相距为d.已知此后两车相遇两次,且第一次相遇的时刻为t′,则下面四组t′和d的组合可能的是( )
A.
B.
C.
D.
答案D
解析假设t′=t1,由v-t图象可知在t1时刻v甲=v乙,由于甲做匀速直线运动,乙做匀加速直线运动,则若在t1
时刻第一次相遇,也就不会存在第二次相遇的问题,与已知条件两次相遇相矛盾.
当t′=
t1时,v乙 对于乙: 对于甲: x甲=v· 所以: 因为 所以 . 例1 某船在静水中航速为36千米/小时,船在河中逆流而上,经过一座桥时,船上的一只木箱不慎被碰落水中,经过两分钟,船上的人才发现,立即调转船头追赶,在距桥600米处追上木箱,则水的流速是多少米/秒? 【分析】本题有两种解法,一种选地面为参照物,容易理解,但十分繁琐。 一种选河水为参照物,比较简便。 【解法一】以地面为参照物。 设船速为V船,水的流速为V水,船逆流而上的时间t1=2分=120秒。 船调转船头顺流而下的时间为t2。 船逆流而上对地的速度为V船-V水,顺流而下对地的速度为V船+V水。 木箱顺水而下的速度与水速相同,根据路程的等量关系: 船顺流而下的路程减去船逆流而上的路程,即为木箱在这段时间通过的路程。 即: (V船+V水)t2-(V船-V水)t1 =V水(t1+t2)化简后得到V船t2=V船t1 ∴t2=t1=120秒 ∵V水(t1+t2)=600米 ∴V水=2.5米/秒 【解法二】以河水为参照物,河水静止,木箱落入水中保持静止状态。 船逆流和顺流时相对于河水的速度都为V船,因此,船追赶木箱的时间和自木箱落水到发觉的时间相等,即等于2分钟=120秒,木箱落入水中漂流时间为120秒+120秒=240秒,漂流距离为600米。 故木箱漂流速度即水的流速 【评注】在研究机械运动时,通常选地面或固定在地面上的物体为参照物。 但参照物的选取是任意的。 我们要选择合适的参照物,使问题简单化。 例2 一队伍(纵队)长120米,正以某一速度匀速前进。 现因有事传达,一通讯员从队尾跑到排头后立即掉头以大小不变的速度从排头跑回队尾。 已知在这一过程中队伍前进了160米,求通讯员在这一过程中往返共跑了多少米。 【分析】通讯员从队尾跑至排头的过程,可以看成是追击问题;通讯员从排头回到队尾的过程中可以看成是相遇问题。 通讯员从队尾到排头再到队尾所用的时间和队伍前进了160米的时间相等。 我们可以根据这些关系列出方程式求解。 【解】设通讯员的速度为v1,队伍的速度为v2,通讯员从队尾到排头的时间为t1,通讯员从排头回到队尾的时间为t2,由题意得 将v1=2v2代入⑤式 得s=320米 例3 小明的家与学校之间有一座山,每天上学的过程中,有五分之二的路程是上坡路,其余是下坡路。 小明从家到学校要走36分钟,如果小明上坡行走速度不变,下坡行走速度也不变,而且上坡行走速度是下坡行走速度的三分之二。 那么小明放学回家要走多长时间? 【分析】本题解法较多,现给出两种解法。 【解法一】设小明家与学校之间路程为s,下坡行走速度为v,则上坡速度为。 依据题意有 联立①②式,将t上=36分钟代入解得t放=39分钟 【解法二】采用特殊值法。 设从家到坡顶的路程为2,从坡顶到学校的路程为3,设上坡的速度为2,下坡的速度为3,则 将t上=36分钟代入上式得 t放=39分钟 【评注】解法一为常规解法,解题思路明朗,解法二简单明了,有一定技巧性,不妨一试。 例4.在一静水湖的南北两岸,有两只船同时相向开出,各以其速度垂直于湖岸匀速驶向对岸。 两船在离北岸800米处迎面相会,相会后继续驶向对岸。 靠岸后立即返航,两船又在离南岸600米处迎面相会。 若不计两船靠岸时间,求湖宽。 2.设湖宽为s米,从北岸出发的船行驶速度为v1,从南岸出发的船行驶速度为v2,两船第一次相会,行驶时间相等,依据题意有 s=1800米 另解: 根据题意可知,两船第一次相会时,两船通过的路程之和为湖宽s,此时从北岸出发的船通过的路程为800米。 两船第二次相会时,两船通过的路程之和是3s,从北岸出发的船通过的路程为(s+600)米。 根据路程之比等于速度之比,则有 解之s=1800米湖宽为1800米 例5.某工厂每天早晨都派小车按时接总工程师上班。 有一天,总工程师为了早些到工厂,比平日提前1小时出发步行去工厂。 走了一段时间后,遇到来接他的小车才上车继续前进。 进入工厂大门后,他发现只比平时早到10分钟。 问总工程师在路上步行了多长时间才遇到来接他的汽车? 设人和汽车都做匀速直线运动 1.设车速为v米/分钟,工厂到总工程师住所的距离为L米,则平巳总工程师由家到厂所需时间 t=L/v① 又设当天汽车由工厂出发走了距离L1米后遇到总工程师,总工程师步行的时间为t2分钟,则汽车行驶L1米所花时间 t1=L1/v② 根据题意有 t1+t2=L1/v+t2=(t-10)+60③ 汽车少行驶了2(L-L1)的路程而提前10分钟回厂,因此有 总工程师在路上步行时间为55分钟。 例6: 商场中有一自动扶梯,某顾客沿开动上行的自动扶梯走上楼时,数得走了16级,当他用同样的速度相对扶梯沿向下开动的自动扶梯走上楼时,数得走了48级,则静止时自动扶梯露出的级数为多少? 点拨: 分析人和电梯在整个过程中的运动情况,电梯在整个运动过程中的速度不变,可知人向上和向下的运动时间之比为16∶48.由人沿电梯上行和下行所走的路程相等,都等于一个楼层的高度,建立方程即可求解. 解: 电梯运动速度不变,可知 得: 而人向上和向下的路程等于梯层的高度,可知: 得: 上式中, 将这些数据代入上式可得: ∴楼梯的高度为 答: 静止时自动扶梯露级数为24级。 点评: 两个物体沿同一直线运动,讨论两个物体运动速度关系,在分析每个物体运动情况时,要注意运动的相对性.明确运动的参照物。 竞赛训练 一、选择题: 1.一船往返于甲、乙两码头之间,顺水行驶时速度为v1,逆水行驶时速度为v2,船往返一次的平均速度为()D A. B. C. D. 2.小船以速度v从河边A点沿河岸划至B点又返回A点。 不计船掉头时间,若水不流动时往返时间为t,那么水速为v0时,往返时间为()C A. B. C. D. 3.小船往返于沿河的甲、乙两地。 若河水不流动,往返一次需要时间t1,若河水流动,则往返一次需要时间t2则()C A.t1=t2B.t1>t2C.t1<t2D.由船速和水速决定 4.甲、乙两辆车沿平直的公路通过同样的路程。 甲车在前半段和后半段的路程上分别以40km/h和60km/h的速度运动;乙车在前半段和后半段的时间内分别以40km/h和60km/h的速度运动,则甲、乙两车在整个路段中的平均速度v甲和v乙的关系是()C A. B. C. D.无法判断 5.某商场的自动扶梯在0.5min内,可以把站在扶梯上的顾客送到二楼。 如果扶梯不动,人走上去需要1.5min,那么人沿着开动的自动扶梯走上去,需要的时间()C A.2minB.1minC. minD.0.5min 二、计算题 6.如图所示,一辆实验小车可沿水平地面(图中纸面)上的长直轨道匀速向右运动.有一台发出细激光束的激光器装在小转台M上,到轨道的距离MN为d=10m,转台匀速转动,使激光束在水平面内扫描,扫描一周的时间为T=60s.光束转动方向如图中箭头所示.当光束与MN的夹角为45°时,光束正好射到小车上.如果再经过△t=2.5s,光束又射到小车上,则小车的速度为多少(结果保留两位有效数字)? (2000年全国高考试题)【8】 答案: v1=1.7m/s,v2=2.9m/s
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