初中代数教材几何1教学培训.docx
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初中代数教材几何1教学培训
几何1
A:
各位老师,大家好!
今天我们交流的主题是空间观念与几何直观的教学。
首先,介绍一下我们请到的嘉宾:
毫无疑问,几何教学的重心之一是发展学生的空间观念和几何直观。
对此,我们从以下几个方面进行交流。
引出B
B一、对三维图形的要求和定位
问题一:
这里的图形,除了原来所研究的平面图形以外,还增加了一些基本的空间图形。
这是否意味着较早地研究立体几何的知识,或者说将高中立体几何的知识下放到了初中呢?
在初中学段对这部分内容是如何要求的?
应如何对这部分内容进行恰当的定位?
C对空间图形认识的定位是:
通过对空间图形的观察,能识别一些简单的空间形体,并能对他们进行简单的分解与组合,感知他们的展开与折叠、切与截、从不同方向观察的结果以及视图与投影。
它更多的是一种直观的感知、定性的研究,而且仅限于对空间形体的整体性研究,不涉及对其部分、及部分之间关系的研究
D空间观念主要表现:
“能够由实物的形状想象出几何图形,由几何图形想象出实物的形状,进行几何体与其三视图、展开图之间的转化”。
这是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析、不断由低到高向前发展的认识客观事物的过程,是建立在对周围环境直接感知基础上的对空间与平面相互关系的理解与把握。
把握实物与相应的平面图形、几何体与其展开图和三视图之间的相互转换关系,不仅是一个思考过程,也是一个实际操作过程。
就是要尝试着物化那些感知到的在直观的水平上有所把握的“转化”关系,这就是《标准》提到的“能根据条件做出立体模型或画出图形“,重现感知过的平面图形或空间物体。
无论是做立体模型还是画出图形,都要在头脑中加工和组合的基础上,通过实际尝试和动手操作来实现。
这种重现能使几何事实基于直观的表象、联想和特征得到实实在在的表示,使空间观念的形成从最初的感知不断发展上升为一种可以把握的能力。
C空间观念在分析和抽象层次上的表现,如“能从较复杂的图形中分解出基本的的图形”,“能描述实物或几何图形的运动和变化;能采用适当的方式描述物体间的相互关系”等等,这些表现在把握“相互转换”关系的基础上,刻画了根据图形的特征在逻辑上对图形关系进行分析与操作。
例如,在电话里向别人描述搭的如图所示(图形课件展示)
的积木块建筑的形状(当然,如果把这个图换成一个实际的建筑物图或景观图,那对学生就会产生更强的任务感),就要抓住积木块之间的位置关系,使对方在看不到实物的情况下,通过你的叙述产生符合原形的直观想象。
叙述和倾听都需要在逻辑上对图形关系进行分析与操作。
准确地描述它的形状,可能会依人的能力差异而有所不同,但这些描述中的共性,可能就导致了一些确定的有规律内容的出现,那就是空间观念。
空间观念的表现还包括“能运用图形形象地描述问题,利用直观进行思考”。
直观思考是没有严格演绎逻辑的“形象化”的推理,是结合情境进行的思考。
例如,根据下面三视图建造的建筑物是什么样子的?
共有几层?
一共需要多少个小立方体?
回答这个问题,必须多次进行如“如果......那么......”的思考,尝试得出正确的结论.比较、综合、归纳、模拟、与位置有关的推理、有条理的具体操作等一系列手段在这里都用得上。
回答这个问题会运用到典型的数学思维方法,经历典型的数学解决问题过程;提出假设,得出一个或者多个结论,证实与否定这个结论。
这里虽然没有严密的命题逻辑和演绎推理,但与直观结合的思考,照样能得出正确的结论。
D从上面空间观念的外在表现可以发现,只有通过对大量实物的观察分析,才能够“由实物的形状想像出几何图形,由几何图形想像出实物的形状,进行几何体与其三视图、展开图之间的转化”,而根据条件做出立体模型或画出图形,本身就是一个实践操作活动……因此,空间观念的发展依赖于学生的实践操作活动,在教学中应设计一定的实践操作活动,以便在实践操作活动中发展学生的空间观念。
A几何证明的推理过程,逻辑十分严谨,它是在对问题中提到的概念(要结合图形),必须有准确的理解以及能观察出他们之间的相互关系之后,才能作出正确的判断和推理。
因此,几何概念的形成与掌握是学好几何的基础,也是学好几何的关键。
那概念教学应如何进行?
C
几何概念是几何图形的本质特证在人脑中的形成与反映,是抽象思维的基本单位。
《标准》强调,要在实际背景中理解图形的概念和性质。
例如“通过丰富的实例,进一步认识点、线、面、”就是要求引导学生在实际背景中认识、理解这些概念,而不是通过形式化的描述让学生“接受”概念。
抽象概念的形成应经历从现实到抽象的过程
以“点”的概念为例,“点”没有大小,这是抽象以后的概括,学生难以理解。
但只要借助地图上用“点”表示城市的位置、电视屏幕上的画面是由一个个小点组成的这些生活实例,学生就能体会“点”的意义。
直线、平行、平行四边形、“邻补角”等概念也类似。
通过这样的数学抽象过程,可以让学生在抽象过程中潜移默化地发展其数学抽象概括意识和能力,感受到数学的意义和价值。
像这样的例子很多,故从定义本身入手和注重日常生活中形成的概念,对掌握几何概念很有帮助。
(图形课件展示)
D要注意概念所包括的对象的变式。
每个概念都有特定的含义,而教师为说明一个概念举例子的时候,常常会举出最方便,最司空见惯的一种,久而久之,人们把这个例子中非本质东西当作概念的一部分记住了,结果造成误解,如垂线的概念。
掌握概念,要多增加变式,从多角度逐步让学生深入理解几何概念的特征,使学生在复杂的几何图形中很易观察出自己想用的几何概念,是掌握几何概念的必由之路。
C第三,分清概念的不同层次,把概念按系统归类,比较
其实这就是俗话说的编辫子,把有关的概念有次序地排列起来,成串记忆。
如教材“四边形”这一章中,可把四边形和各种特殊四边形之间关系如下图所示:
(图形课件展示)
抓住概念的内涵差异,对概念进行逻辑关系的分析,使各种四边形的概念形成一个完整的体系,能使学生对本章所学的概念形成了全面地、系统地有鉴别地认识,利于学生理解各概念之间的关系,利于学生掌握这些概念。
D第四,加强“文字语言”和“数学语言”的“互译”训练
初中学生的形象思维能力水平比较低,在学习几何时容易片面地、孤立地看问题,易把文字表述与图形表述脱节,能够背熟定义、定理,却不会转化成数学语言表述,不会识图、更难画图,这在几何概念的学习中表现尤为突出。
因此,一般来说几何成绩较代数成绩起码下降平均分10分。
为此,在教学时,一方面要求学生从几何概念规定的图形特征出发,准确地画出图形来;另一方面要注意让学生结合图形把表述概念的文字语言翻译成配有图形的字母符号语言(哪怕是一根辅助线的添法,也要强调文字语言和符号语言的吻合),并进行简单的推理练习。
例如:
“三角形一边的平行线性质定理:
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例。
”结合图形写出字母符号语言(如下)
如图已知,在△ABC中,
DE//BC→
(图形及式子课件展示)
这种“互译”训练,可使学生对几何概念理解得更为深刻并能运用灵活,为应用几何概念去判断、推理打坚实的基础。
概念教学应结合学生已有的知识,运用较多的感性材料,通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括等一系列思维活动,得出事物的本质属性。
A:
培养学生的“数学探究能力”无疑是中学阶段数学教学的重要目的,探究能力是一种综合性能力,它要求学生会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括,并能准确、清晰、有条理地进行表述。
而培养学生的数学探究能力包含了许多方面,如培养兴趣、指导方法、鼓励质疑、引导创新等。
因而探究能力的培养不是一朝一夕可以完成的,所以应该把探究能力的培养贯穿于数学教学的全过程。
引出B
探索图形性质,发展探究能力
数学能力一般可以分为两种:
①独立创造具有社会价值的数学新成果的能力;②在数学学习过程中,学习数学的能力。
中学阶段无疑是培养学生的“数学学习能力”。
而学习数学的最终目的,是数学的运用与创新。
不论是数学的运用,还是数学创新,都离不开探究,没有了探究,任何学科——包括数学,都会失去灵魂。
培养学生的数学探究能力包含了许多方面,如培养兴趣、指导方法、鼓励质疑、引导创新等。
探究能力是各种能力中的较高层次,它要求学生会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括,并能准确、清晰、有条理地进行表述。
因而探究能力的培养不是一朝一夕可以完成的,所以应该把探究能力的培养贯穿于数学教学的全过程。
如何培养学生的探究能力?
“不同的人在数学上得到不同的发展”是《数学课程标准》的基本理念,也是科学探究的最根本目的。
探究性学习是一种富有创造性的学习方式,是凸显学生主动性、培养学生创新精神和创造能力的一种有效途径。
《课程标准》中明确指出:
“有效的数学学习活动不能单纯地依靠模仿与记忆,动手实践、自主探索与合作交流是学生数学学习的重要方式。
”
所谓探究性学习能力是指学生在学科领域或现实生活的情境中通过发现问题、调查研究、动手操作、表达与交流等探究活动,获得知识、技能和态度的学习方式和学习过程的能力。
探究性学习是积极的、有意义的学习过程,它符合学生的心理、认知特点,有利于培养学生的创新意识和实践能力,能促进学生主体性的发展。
我们应本着尊重学生人格、关注个性差异、满足不同需要的原则,努力培养学生主动的、富有个性的探究性学习能力。
探究性学习,不仅仅关注学生获得了多少知识,更加关注学生学习的过程与学习方法的掌握和学生情感态度与价值观的提升。
因此,教师要在数学教学中注重探究能力的培养。
在学生探究过程中,教师要采用有效而具体的教学策略帮助学生达成探究目标,为学生创设情景,启发学生思考;组织学生讨论,适时给予评价;帮助、引导学生在问题探究中不断地质疑和释疑,主要途径有:
1、创设合理的问题情境,引发学生探究欲望
要培养学生的探究能力,首先要提高学生学习数学的积极性,而问题情境的创设,是调动学生学习数学积极性的主要方面,创设情景的形式可以多种多样,可以是问题的情景,可以使一个有趣的小实验,可以是一个小故事,也可以是一段录像。
C2、认真钻研教材,拓展学生探究空间
数学教材是数学课程标准的体现,是数学学科知识体系的精选。
但是教师在教材中不能只停留在课本表面,而应该认真钻研和熟悉教材,针对教材中的知识点,充分利用各种教学资源,组织学生探究。
D3、注重学生参与,提高学生的探究能力
数学教学是师生双方共同的活动。
作为教师,应当积极为学生创设各种主动发现的机会,鼓励学生积极参与课堂教学,在数学活动中积极体验数学,发现数学问题。
在教学中,凡是学生能想、能说、能做的就应大胆放手让学生去想、去猜测、去探索、并动手操作。
让教室成为学生探索问题的空间。
在几何教学中,要尽量让学生亲自实验,通过量一量、剪一剪、折一折、画一画来探索几何命题。
在解题的思维过程中,也要让学生探索实验,要让学生参与解题思路的探索过程,改教师讲思路为师生共同探索思路,教师启发引导,学生尝试探究。
对错误思路不轻易否定,要在讨论论证中排除,讨论中肯定,并从中选优,让学生在参与探索过程中,体会方法,尝试创新。
C4、合理设计习题,巩固学生的探究成果
数学主要是采取练习题的方式对知识进行巩固和加强,提高解题技巧和分析能力,使所学知识得到迁移和应用,从而培养学生的探究性思维能力。
在解答习题的过程中,只要教师善于引导,善于启发,富有创造意识,学生的探究性思维品质是可以得到提高的。
A:
学生探究能力的培养不是一朝一夕可以完成的,所以应该把探究能力的培养贯穿于数学教学的全过程。
下面,我们来讨论第四个话题引出B
B四、几何教学中如何用合情推理探究图形性质
加强学生对几何事实的自主探索
我们知道,创新始于探索,而探索是一个独立思考与合作交流的过程。
初中学生已经具备了一定的数学探究能力,因此,可以让他们尝试自主探索,如通过测量、实验等操作性活动,或者借助类比、归纳等思维活动,学生探究的组织形式可以是小组合作,如一些数学探究的要求较高、方式较为多样的几何事实,就比较适宜通过学生的小组合作方式进行探究。
在小组合作中,通过同学间的相互交流,既促进几何事实的发现,又展现了多样化的解决方法。
当然,在这样的小组合作中要注意保持学生的自主,防止出现一些“语言霸权”现象,造成其他学生的学习失去了自主,而成为“语言霸权”者主导下的他主学习;而对于一些数学探究的要求较低、方法也比较单一的几何事实,就可以要求学生通过独立思考去完成。
C突出空间和图形问题解决方式的多样化
发现问题和解决问题的方法的多样化是学生个体思维差异性的必然要求;同时,空间与图形的内容贴近学生的生活实际,因而空间与图形有关结论的获得或有关问题的解决,可以借助于学生的测量、实验等操作性活动,也可以进行理论的推导,这些,都为学生多样化的思维提供了较大的空间。
例如,对于平行四边形的性质探索,学生的方法可以是多样的。
可能有的学生先绘制一些平行四边形(或在几何画板等软件平台下绘制图形),然后通过实际的测量获得有关线段、角的等量关系;有的学生习惯于理性的分析,图形的分解与组合能力较高,可以通过将平行四边形分解为两个三角形,然后通过证明两个三角形全等而得到平行四边形的有关性质;也有的学生借助平移、旋转等几何变换研究平行四边形的有关性质,如可以通过将平行四边形绕中心进行旋转或者设法将两个完全相同的平行四边形通过翻折、旋转等实验活动,获得有关性质,当然也可能还有学生并不进行有关实验,而只是利用几何变换的知识进行理性分析,同样可以获得相应的结论。
为此,在相应的教学中,应注意给予学生较大的空间,可以仅仅提出一个宽泛的问题,如在交代平行四边形有关概念的基础上,要求学生自主探索平行四边形中有关线段、角是否存在某种特殊的等量关系;然后,在学生探索的基础上,进行班级的汇报,并整理思路。
平行四边形的性质教学可以通过学生的猜测、实验和几何的推理过程相结合,几何推理将对猜测和实验中的结论进行验证。
D
还可以设计一定的问题情境,让学生在解决问题的过程中进行探索。
例如,在探索三角形全等的判定时,可设置这样的问题情境:
小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,如图,他是否可以只带其中一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具呢?
如果可以,带哪块去合适?
为什么?
图形课件展示)
让学生在具体问题情境的理解与解决活动中,经历探究的过程。
对于三角形全等的判定,在探索判定条件的阶段,就应力求让学生通过活动探索获得有关判定的条件,并关注获得判定条件所用方法的多样性,至于所用方法的严密性、科学性等并不是这一阶段所要关注的核心问题;而在对三角形全等的判定定理进行证明并利用它们证明其他相关结论时,我们关注的就应是证明思路是否合理、清晰,表述是否简洁、明了等,并希望学生通过严密的逻辑论证能够发现一些新的结论。
因此,在后者的教学设计中,应注意设计一些相互联系又渐次递进的问题,让学生在这些问题的解决过程中揭示出它们之间的联系与差别。
例如,在得到三角形全等的判定定理之后,可以设计这样几个问题:
B
(1)如图,已知∠EBC=∠DCB,增加一个你认为适当的条件,使得△EBC≌△DCB,并说说你的理由。
尽可能给出更多这样的条件,并与同伴交流你所给的条件和理由。
B
(2)在第
(1)题中,连接DE,并设BD和CE相交于O点,根据你所增加的条件,四边形EDCB有什么特征。
图中有哪些等腰三角形?
哪些相互全等的三角形?
你是怎样发现的?
又如何解释你的结论?
如果再延长BE和CD使得它们相交于点A,又有什么样的结论呢?
(3)如图,△ABC中AB=AC,D、E分别是AC、AB上一点,连接DE、BD和CE,设BD和CE交于O点。
试增加一个条件,使得DE∥BC;在这个条件下,找出两个等腰三角形和两对全等三角形;并尝试找出本题与前面两题的一些联系。
五、视图和投影的教学要求
A:
初中学段增加“视图与投影”的意图是:
通过二维与三维图形的联系和转换,发展学生的空间观念。
这些内容的设置,使视图与构造、直观与推理、观察与投影等内容成为培养学生空间观念的重要学习资源。
在以往的数学课程体系中,这样的内容往往显得无足轻重,有些则完全被排斥在数学课程之外,因为按照传统的数学课程理念衡量,这样的内容不那么系统,很难能用定义、定理、命题、性质把它们穿起来;这样的内容也不那么好教,一方面严格的逻辑在这里用处不大,另一方面“灌输”的方法也很难起作用;这样的内容学生学习效果更不好评价,因为探究这样的内容需要观察、思考、交流、模拟、尝试,甚至要争论、辩论,要走出课堂,其中任何一个环节都不大容易在纸上呈现,不好量化
那么如何通过这部分知识的教学发展学生的空间观念?
姜
B:
1.空间观念的教育价值
实践证明“空间观念”是创新的一个基本要素。
科学发现、科学创新更多的起源于直觉,而有关空间的内容具有直观、形象的特点,因而更易于诱发科学创新。
有人认为,没有空间观念,几乎谈不上任何发明创造。
因为,许许多多的发明创造都是以实物呈现的,首先呈现在设计者头脑中的是设计物的实物形态,但表现出来的往往是其平面图形——设计图纸,然后工人师傅根据图纸制作出相应的模型(实物形态),再根据模型修改设计,直到最终完善成型。
在这一充满丰富想象和创造的探求过程中,人的思维是必要不断的在二维空间和三维空间之间转换,空间观念在这一过程中起着至关重要的作用。
此外,有关空间的内容,与学生的生活实际紧密联系,贴近学生的生活经验,因而,便于学生从生活实际中抽象出数学对象,促进学生对数学对象的理解和应用,促进学生数学化意识的养成。
同时,贴近学生生活实际的有关空间的内容,呈现方式活泼,有助于激发学生的学习欲望和学习兴趣,发挥学生的主动性创造性,克服传统教学过于强调计算与演绎证明、内容单调、呈现方式冷冰冰,学生被动学习的弊端,促进有效地教与学。
C2.体现空间观念的呈现方式。
下面是几个具体的例子:
例1下图是摆在桌子上的三件物品:
图形都课件展示)
如果是上方垂直看下去,形状是这样的:
这里已经没有高度,显然是一张平面图(俯视图),它是我们用目光或照相机从正上方向下做“投影”或拍照的结果,是实物从三维空间到二维空间的转换。
反过来呢?
下图中的a,b,c,d,e表示从桌子上的四周观察这几件物品的几个不同地点:
从这几个地点分别会看到怎样的形状?
具体说来,下面一组图分别是从哪里看到的?
正确的结果要基于图形从二维空间到三维空间转换。
D再进一步,可以采取稍微抽象些的方式,离开实物继续讨论同样的问题。
下图有点像电视台的实况转播厅,1,2,3,4这四台摄像机分别会拍到什么样的画面?
a,b,c,d四个画面分别是哪台摄像机拍到的?
学生回答上面这样的问题时,可能会得出各种各样的答案,若要知道答案是否正确,则要用到“如果......那么……”这一基本的推理形式,学生会采取模拟、归纳、与位置有关的演绎,甚至实际操作等一系列方法去做尝试,这里没有严格的逻辑,观察与投影、视图与构造、直观与推理相互交织在一起,帮助学生得出正确的结论。
通过具体的情境让学生探索和发现,在不断提出问题和解决问题的氛围中发展空间观念。
例2C当你乘车沿一条平坦的路向前行驶时,为什么你前方那些高一些的建筑物
好像“沉”到了位于它们前面那些矮一些的建筑物后面去了?
而当你经过它们之后,那些“沉”下去的建筑物又逐渐“冒”了出来,这其中的原因何在?
这一情形可以抽象为如下图那样的侧视图。
图形都课件展示)
如果你所在的位置是:
A,你是否会看到后面那座高大的建筑物?
为什么?
这样的情境是很多学生经历过的,这样的问题能吸引它们的兴趣,而正确回答这个问题要涉及到视线、视点、视角、视距等许多与投影有关的概念,对这个问题的讨论会引导学生逐渐明了这样的道理:
被视物体上看上去的高矮是由视角a所决定的,而视角的大小又依赖于被视物的高度及视点与被视物之间的距离。
距离越近,视角a越大,距离越远,视角a越小。
如果A再向前挪动一点,视角a再大一点,那座高大的建筑物就会在你眼前消失,“沉”到矮的那座后面去。
这样,问题就可以回答清楚了。
D反过来,如下图所示,当A处于什么位置时,在E点就看到不同了呢?
图中的阴影部分给出了这个区域,它是由E看不到的点形成的,称为E点的盲区。
这是一个空间,在不同的背景下,这里有不同的意义。
在这里可以躲开E点的观察和跟踪,而如果这里代表的是通讯系统的盲区,无线电话就会拨不出去、收不到。
B这个例子揭示了如何从普通生活中的情境出发,在分析讨论的基础上找出数学模型,通过思考和简单的试验,不断认识、了解和把握实物与相应的平面图形之间的相互转换关系,通过切身的感受和体验建立空间观念。
这样的题材接触多了,二维和三维空间之间的转换就会越来越灵活自如,学生的空间观念就可以不断地生发并逐步形成。
3.有助于学生形成空间观念的教学策略。
第一,学生经验是发展空间观念的基础。
学生的空间知识来自丰富的现实原型,与现实生活关系非常紧密,这是他们理解和发展空间观念的宝贵资源。
培养空间观念要将视野拓宽到生活的空间,重视现实世界中有关空间与图形的问题。
通过自主探索,逐步认识简单图形的形状、大小和相互位置关系,初步认识一些特殊图形的特征及性质,学会运用测量、计算、实际操作、图形变换、代数化以及推理等手段,解释和处理一些基本的空间与图形问题,并在此过程中,通过从不同的角度观察物体、辨别方位、动手操作、想象、描述和表示、分析和推理等活动,发展学生的空间观念。
C第二,发展空间观念的途径应多样化
空间观念是从现实生活中积累的丰富几何知识体验出发,从经验活动的过程中逐步建立起来的,发展学生空间观念的基本途径应当多种多样。
无论何种途径,都是以学生的经验为基础。
这些可能的途径包括:
生活经验的回忆、实物观察、动手操作、想象、描述和表示、联想、模拟、分析和推理等。
通过这些途径,学生感知和体验空间与图形的现实意义,初步体验二维与三维空间相互转换关系,突出从实际操作开始,向想象发展的阶段性策略。
D第三,空间观念应在发展过程中逐步形成。
一般说来,低学段的学生已经积累了一定的空间与图形方面的知识经验,他们往往需要借助与生活实际有关的具体情境认识和把握与空间观念有关的内容,观察、操作等活动对于他们形成空间观念具有重要意义。
这时要让学生亲自动手,让视觉、听觉、触觉等许多器官协同参与活动,使学生有较多的机会通过内容丰富的图形符号感知及实物操作的探究活动,不断丰富归纳和类比的经验,使空间观念得以形成和巩固。
随着年龄的增加,学生的语言表达能力、动手操作能力和自主探索能力有所提高,他们可以通过观察、分析、独立思考、合作交流等方式,从形状、特征、方位、关系等多种角度认识事物,在这个基础上,分解、变换、运动以及确定方向和位置的诸多手段将使他们更全面地感知和体验周围的事物,理解空间,把握空间,直观和抽象进一步相互融合,并逐步产生演绎和论证的需要,在发展的过程中形成空间观念。
C第四,空间观念需要自主探索与合作交流的氛围。
以被动听讲和练习为主的方式,是难以形成空间观念的。
培养空间观念需要大量的实践活动,学生要有充分的时间和空间观察、测量、动手操作,对周围环境和实物产生直接感知,这些都不仅需要自主探索、亲身实践,更离不开大家一起动手、共同参与。
观察、操作、归纳、类比、猜测、变换、直观思考等对形成空间观念有重要作用的手段只有在大家共同探讨、合作解决问题的过程中才能不断生成和发展,并得到提升。
通过合作交流可以更清楚地明确自己对空间的看法,并有机会分享各自的想法。
大家的共同感受对促进空间观念的发展具有重要意义。
B总之,无论对教材、教学还是教师,这里提到的空间观念都是一个需要重新认识的新课题,都应给予充分的关注。
空间观念从理念变培养学生创新意识的现实,还需要深入进行研究和探讨,有形成空间观念的内容、情境和教学方式也需要在实
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