学年华师版九年级数学下册262 二次函数的图象与性质.docx
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学年华师版九年级数学下册262二次函数的图象与性质
二次函数
的图象和性质
教学目标
1.知识与技能
能够用描点法作出函数y=ax2的图象,并根据图象认识和理解其性质
2.过程与方法
经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,体会数形结合的思想和方法.
3.情感、态度与价值观
在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中,体会数形结合与转化,体会数学内在的美感.
教学重点难点
1.重点
函数y=ax2的图象的画法,了解抛物线的含义,理解函数y=ax2的图象与性质.
2.难点
用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象,掌握其性质特征.
教与学互动设计
(一)创设情境导入新课
导语一回忆一次函数和反比例函数的定义,图象特征,思考二次函数的图象又有何特征呢?
导语二展示(用课件或幻灯片)具有抛物线的实例让大家欣赏,议一议这与二次函数有何联系呢?
导语三用红色的乒乓球作投篮动作,观察乒乓球的运动路线,思考运动路线有何规律?
怎样用数学规律来描述呢?
(二)合作交流解读探究
1.函数y=ax2的图象画法及相关名称
【探究l】画y=x2的图象
学生动手实践、尝试画y=x2的图象
教师分析,画图像的一般步骤:
列表→描点→连线
教师在学生完成图象后,在黑板上示范性画出y=x2的图象,如图22-1-1.
【共同探究】次函数图像有何特征?
特征如下:
①形状是开口向上的抛物线
②图象关于y轴对称
③由最低点,没有最高点.
结合图象介绍下列名称:
①顶点;②对称轴;③开口及开口方向.
2.函数y=ax2的图象特征及其性质
【探究2】在同一坐标系中,画出y=
x2,y=2x2的图象.
学生自己完成此题.教师做个别指导,在学生(大部分)完成后,教师可示范性地画出两函数的图象.如图22-1-2
比较图中三个抛物线的异同.
相同点:
①顶点相同,其坐标都为(0,0).
②对称轴相同,都为y轴
③开口方向相同,它们的开口方向都向上.
不同点:
开口大小不同.
【练一练】画函数y=-x2,y=-
x2,y=-2x2的图象.(分析:
仿照探究1的实施过程)
比较函数y=-x2,y=-
x2,y=-2x2的图象.找出它们的异同点.
相同点:
①形状都是抛物线.
②顶点相同,其坐标都为(0,0).
③对称轴相同,都为y轴
④开口方向相同,它们的开口方向都向下.
不同点:
开口大小不同.
【归纳】y=ax2的图象特征:
(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线
(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a>0时,抛物线开口向上,顶点时抛物形的最低点.a<0时,抛物线开口向下,顶点时抛物形的最高点.
(3)|a|越大,抛物线y==ax2的开口越小
(三)应用迁移巩固提高
类型之一如何画好二次函数的图象
【点拨】画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行.①列表、取值;②描点;③连线但初学者对三个步骤,易犯下列错误,注意避免.
【易错点1】表格中,取值过多或过少.画函数y=ax2图象,取对应值时,一般5组或7组有代表性的对应值即可.
【易错点2】连线不是光滑曲线,有的用折线,有的画的过渡不自然,不象抛物线.
例1下图是甲、乙、丙三人画得二次函数y=2x2的图象.请你帮助修改.
解:
图甲中有两个错误的地方.①连线不能用直尺作线段,图象中相邻两点时用光滑曲线连接.②抛物线开口应向上无限延伸,不能到两端点为止.修改见图甲中虚线.
图乙中有一个错误,其中有一个点(1,-2)的位置画错.(或表格中对应值算错)修改见图乙中虚线.
图丙种错误是x的值都是非负数,没有负数,导致出现其图象只是抛物线的一半,没有对称性.修改见图丙中虚线.
【点评】此三类错误是初学者应注意的三个方面,以后的练习中,应提醒大家注意.
类型之二函数y=ax2的图象特征的应用
例2
(1)填空:
函数
的图象是,顶点坐标是,对称轴是,开口方向是.
(2)函数y=x2,y=
,y=-2x2图象如图所示,请指出三条抛物线的名称.
解:
(1)
可化为y=2x2.它的图象是抛物线,顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴,开口方向向上.
【点评】解析式需化为一般式,再根据图象特征解答,避免发生错误.
(2)根据抛物线y=ax2中,a的值的作用来判断,最上面的抛物线为y=x2,中间的为y=
x2,x轴下方的为y=-2x2
【点评】抛物线y=ax2中a>0时,开口向上.a<0时,开口向下.|a|越大,开口越小.
(四)总结反思拓展升华
【总结】
1.本节所学知识:
①二次函数y=ax2的图象的画法.②二次函数y=ax2的图象特征及其性质.
2.本节所用的方法:
实践比较法
【反思】函数y=ax2与y=-ax2的图象之间有何关系?
(它们关于x轴对称)
【拓展】
已知函数y=ax2经过(1,2).
(1)求a的值.
(2)当x<0时,y的值随x的增大而变化的情况
解:
(1)将x=1,y=2代入y=ax2中,得2=a×12∴a=2.
(2)根据函数y=2x2知x<0时y随x的增大而减小.
【点评】①通常用待定系数法函数y=ax2中只有一个待定系数a,故知道其图象上一点坐标或x,y的一组对应值就可求出解析式.②结合图象知:
x<0时,x的值增大时,图像上的点的位置越来越低,故y的值越来越小,即y随x的增大而减小..
(五)当堂检测反馈
1.抛物线y=4x2中的开口方向是向上,顶点坐标是(0,0),对称轴是y轴.抛物线y=-
x2的开口方向是向下,顶点坐标是(0,0),对称轴是y轴.
2.二次函数y=ax2与y=2x2,开口大小,形状一样,开口方向相反,则a=2.
【分析】a与-2互为相反数
3.在同一坐标系中:
①y=
,②y=-x2,③y=2x2这三个函数图象开口最大的是
①
,最小的是③y=2x2,开口向下的是②y=-x2.
解:
∵|
|<|-1|<|2|,∴抛物线①的开口最大,抛物线③开口最小.
∵函数y=-x2中,二次项系数为-1<0.∴此函数图象的开口向下.
4.二次函数y=2x2,y=-2x2,y=
的图象共同点是①顶点相同,都是原点(0,0);②对称轴相同,都是y轴.
5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是y轴,且经过(-3,2).求此抛物线的解析式,并指出x>0时,y随x的变化情况.
解:
设此抛物线的解析式为y=ax2,∵此抛物线过点(-3,2),
∴2=a·(-3)2,即a=
.∴y=
x2,∴当x>0时,y随x的增大而增大.
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
教学目标:
⒈经历描点法画函数图像的过程, 学会观察、归纳、概括函数图像的特征;
⒉掌握型二次函数图像的特征;
⒊经历从特殊到一般的认识过程,学会合情推理。
教学重点:
y=ax2+bx+c(a
0)型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳
教学难点:
选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像,
教学手段:
实物投影
教学过程:
一、复习引入
前面我们学习了二次函数的三种表示方法,提问学生,教师展示投影:
一般式y=ax2+bx+c(a
0),顶点式y=a(x+k)2+h(a
0),两根式y=a(x-x1)(x-x2)(a
0)
x
-3
-2
-1
1
2
0
y
-4
-1
0
-4
-9
-1
x
o
1
2
3
4
5
y
3
0
-1
0
3
8
如;抛物线过A(-1,0),B(3,0),C(1,4)三点,求此二次函数解析式..学生完成。
答案:
y=-x2+2x+3
二、新课讲授
例1、做出二次函数
(1)y=-(x+1)2与
(2)y=(x-2)2-1的图像;
解:
在同一坐标系中用描点法画出二次函数
(1)y=(x+1)2与
(2)y=(x-2)2-1的图像
问题:
a)无论x取何值,对于
(1)来说,y的值有什么特征?
对于
(2)来说,又有什么特征?
b)y值相同时,自变量的取值有什么特征?
目的:
上面的两个函数图像概括出
(1)二次函数的图像的对称性:
关于x=
对称
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点,函数有最小值;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线上的最高点,函数有最大值。
(3)二次函数的的函数增减性:
如果a>0,那么在轴的左侧,y随x的增大而减小,在轴的右侧y随x的增大而增大;
如果a<0,那么在轴的左侧,y随x的增大而增大,在轴的右侧y随x的增大而减小;
练习:
求函数y=-3x2-6x+2
的顶点坐标,对称轴,最值。
例2、y=x2-(m-3)x-m
(1)证明:
无论m为何值,图像与x轴总有两个交点;
(2)m为何值时,图像与x轴的两个交点间距离等于3?
解:
(1)即证y=-3x2-6x+2=0
有两个实根,由
>0可得证。
(2)两个交点的距离即两个实根的距离。
|x1-x2|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=m2-2m+9=9得m=o,2
目的:
初步理解二次函数、二次方程的关系,为后面二次不等式的学习打下基础。
例3、求y=x2+4x在-1
x
1上的最值。
解;对称轴x=-2,由图像可知,当-1
x
1时,x=-1,y取最小值-3.x=1时,y取最大值5
目的;强化运用图像解决闭区间上最值问题,教师讲解时应变换区间,训练三种常见类型,可以根据实际情况添加字母参数。
课堂练习:
1、抛物线顶点为(2,3)过(3,1),求方程。
2、求y=2x2+4x-2的最值,对称轴及顶点。
3、抛物线y=x2-(m+2)x+4与x轴不相交,求m的范围?
4、求y=2x2-4x+3当-1
x
2时的最值。
课堂小结:
1、认识了二次函数的图像何性质。
2、能用图像何性质解决有关最值问题。
3、数形结合思想,分类讨论思想的渗透。
课后巩固:
1、图像过(6,0)点,且当x=4时y有最小值8,求抛物线方程。
2、图像过(4,-3)点,当x=3时有最大值4,求抛物线方程。
3、求y=-x2+2x+4的顶点坐标及最值。
4、求y=x2+2ax-3在1
x
2时的最值。
课题:
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(学案)
教学目标:
⒈经历描点法画函数图像的过程, 学会观察、归纳、概括函数图像的特征;
⒉掌握型二次函数图像的特征;
⒊经历从特殊到一般的认识过程,学会合情推理。
教学重点:
y=ax2+bx+c(a
0)型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳
教学难点:
选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像
复习引入
前面我们学习了二次函数的三种表示方法:
一般式_________________顶点式_________________两根式_________________
如;抛物线过A(-1,0),B(3,0),C(1,4)三点,求此二次函数解析式
例1、做出二次函数
(1)y=-(x+1)2与
(2)y=(x-2)2-1的图像;
问题:
(1)无论x取何值,对于
(1)来说,y的值有什么特征?
对于
(2)来说,又有什么特征?
(2)y值相同时,自变量的取值有什么特征?
练习:
求函数y=-3x2-6x+2
的顶点坐标,对称轴,最值
例2、y=x2-(m-3)x-m
(1)证:
无论m为何值,图像与x轴总有两个交点;
(2)m为何值时,图像与x轴的两个交点间距离等于3
例3、求y=x2+4x在-1
x
1上的最值
课堂练习:
1.抛物线顶点为(2,3)过(3,1),求方程
2.求y=2x2+4x-2的最值,对称轴及顶点
3.抛物线y=x2-(m+2)x+4与x轴不相交,求m的范围
4.求y=2x2-4x+3当-1
x
2时的最值
课堂小结:
1,认识了二次函数的图像何性质
2,能用图像何性质解决有关最值问题
3,数形结合思想,分类讨论思想的渗透
课后巩固:
1,图像过(6,0)点,且当x=4时y有最小值8,求抛物线方程;
2,图像过(4,-3)点,当x=3时有最大值4,求抛物线方程;
3,求y=-x2+2x+4的顶点坐标及最值
4,求y=x2+2ax-3在1
x
2时的最
求二次函数的函数表达式
教学内容
求二次函数的函数表达式
课型
新授课
主备人
执教人
教学目标
会根据不同的条件,利用待定系数法求二次函数的函数关系式
教学重点
会根据不同的条件,利用待定系数法求二次函数的函数关系式
教学难点
在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用,会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题
一:
问题引入
一般地,函数关系式中有几个独立的系数,那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式.例如:
我们在确定一次函数
的关系式时,通常需要两个独立的条件:
确定反比例函数
的关系式时,通常只需要一个条件:
如果要确定二次函数
的关系式,又需要几个条件呢?
二、探索新知
知识点1:
设顶点式
求二次函数关系式
例1、已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y轴交于点(0,1),求这条抛物线的解析式。
练习:
已知抛物线的顶点在原点,且过点(2,8),求这条抛物线的解析式。
知识点2:
设一般式:
求二次函数关系式
例2、已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2);求二次函数的关系式.
练习:
已知抛物线过三点:
(0,-2)、(1,0)、(2,3),求该二次函数的关系式.
知识点3:
设交点式
求二次函数的关系式。
例3、已知抛物线与x轴的两个交点为(1,0)和(5,0),且经过点(2,–10),求这个二次函数的解析式。
练习:
已知抛物线的顶点为(3,-2),且与x轴两交点间的距离为4,求该二次函数的关系式..
方法归纳:
确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法,在选择把二次函数的关系式设成什么形式时,可根据题目中的条件灵活选择,以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形式:
(1)一般式:
,给出三点坐标可利用此式来求.
(2)顶点式:
,给出两点,且其中一点为顶点时可利用此式来求.
(3)交点式:
,给出三点(其中两点为与x轴的两交点)时用此式来求.
三、课堂练习
1、根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.
(1)已知二次函数的图象经过点(0,2)、(1,1)、(3,5);
(2)已知抛物线的顶点为(-1,2),且过点(2,1);
(3)已知抛物线与x轴交于点M(-1,0)、(2,0),且经过点(1,2).
2.已知抛物线y=ax2+bx+c过三点:
(-1,-1)、(0,-2)、(1,1).
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的关系式;
(2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(3)这个函数有最大值还是最小值?
这个值是多少?
3、已知抛物线的对称轴是x=-1,它与x轴交点间的距离等于4,它在y轴的负半轴上的截距是6,则它的关系式.
4.有一个抛物线形的拱形桥洞,桥洞离水面的最大高度为4m,跨度为10m.如图所示,把它的图形放在直角坐标系中.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)如图,在对称轴右边1m处,桥洞离水面的高是多少?
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