高三第一轮复习基本不等式.docx
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高三第一轮复习基本不等式
1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件:
a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:
当且仅当a=b时取等号.
[探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义?
提示:
①当a=b时,≥取等号,即a=b⇒=
②仅当a=b时,≥取等号,即=⇒a=b.
2.几个重要的不等式
a2+b2≥2ab(a,b∈R);+≥2(a,b同号).
ab≤2(a,b∈R);2≤(a,b∈R)
3.算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:
两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数.
4.利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0,则
(1)如果积xy是定值P,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2(简记:
积定和最小).
(2)如果和x+y是定值P,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是2(简记:
和定积最大).
[探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时,等号取不到时,如何处理?
提示:
当等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来求解.例如,y=x+在x≥2时的最小值,利用单调性,易知x=2时ymin=.
公式的逆用
运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a2+b2≥2ab逆用就是ab≤;≥(a,b>0)逆用就是ab≤2(a,b>0)等,还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等.
基本不等式的变形
(1)≥2≥ab(a,b∈R,当且仅当a=b时取等号);
(2)≥≥≥(a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号).
利用基本不等式求最值应注意的问题
(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可.
(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.
(3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.
题型一.利用基本不等式证明不等式
利用基本不等式证明不等式的方法技巧
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:
拆项、并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.
[例1] 已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)≥9;
(2)+≤2.
解法一:
∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+=1+=2+.同理,1+=2+.
∴==5+2≥5+4=9,当且仅当=,即a=b时取“=”.
∴≥9,当且仅当a=b=时等号成立.
法二:
=1+++=1++=1+,∵a,b为正数,a+b=1,
∴ab≤2=,当且仅当a=b=时取“=”.于是≥4,≥8,当且仅当a=b=时取“=”.
∴≥1+8=9,当且仅当a=b=时等号成立.
(2)证明:
∵a>0,b>0,且a+b=1, ∴+=+
≤+===2.当且仅当a+=1,b+=1,即a=b=时“=”成立.
1.已知a>0,b>0,c>0,求证:
++≥a+b+c.
2.设a,b均为正实数,求证:
++ab≥2.
3.已知log2a+log2b≥1,则3a+9b的最小值为________.
4.已知x<,求f(x)=4x-2+的最大值.
5.已知a>0,b>0,且2a+b=4,则的最小值为________.
1.证明:
∵a>0,b>0,c>0,∴+≥2=2c,+≥2=2b,+≥2=2a.
以上三式相加得:
2≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.
2.证明:
由于a、b均为正实数,所以+≥2=,
当且仅当=,即a=b时等号成立,又因为+ab≥2=2,当且仅当=ab时等号成立,
所以++ab≥+ab≥2,当且仅当即a=b=时取等号.
3.解析:
log2a+log2b=log2ab.∵log2a+log2b≥1,∴ab≥2且a>0,b>0.
3a+9b=3a+32b≥2=2≥2≥2=18,当且仅当a=2b,∴3a+9b的最小值为18.
4.解:
因为x<,所以5-4x>0,则f(x)=4x-2+=-+3≤-2+3=1.
当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立.
5解析 由4=2a+b≥2,得ab≤2,又a>0,b>0,所以≥,当且仅当a=1,b=2时等号成立.
题型二.利用基本不等式求最值
应用基本不等式求最值的条件
利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
(1)一正二定三相等.“一正”就是各项必须为正数;
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.
[例2]
(1)(2012·浙江高考)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )
A. B.C.5D.6
(2)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则+的最小值为________;
(3)当x>0时,则f(x)=的最大值为________.
思维启迪 利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第
(1)问把+中的“1”代换为“2x+y”,展开后利用基本不等式;第
(2)问把函数式中分子分母同除“x”,再利用基本不等式.
解
(1)由x+3y=5xy,得+=5(x>0,y>0),
则3x+4y=(3x+4y)=≥=(13+12)=5.
当且仅当=,即x=2y时,“=”成立,此时由解得
(2)∵x>0,y>0,且2x+y=1,∴+=+=3++≥3+2.当且仅当=时,取等号.
(3)∵x>0,∴f(x)==≤=1,当且仅当x=,即x=1时取等号.
思维升华
(1)利用基本不等式求函数最值时,注意“一正、二定、三相等,和定积最大,积定和最小”.
(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式,可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形,使之能够使用基本不等式.
1.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列x,c,d,y成等比数列,则的最小值是( )
A.0 B.1
C.2 D.4
2.若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值为( )
A.B.
C.+D.+2
3.若x>0,y>0,且+≤a恒成立,则a的最小值是________.
4.
(1)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0(m,n>0)上,求+的最小值;
(2)若正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围.
5.
(1)已知正实数x,y满足xy=1,则(+y)·(+x)的最小值为________.
(2)已知x,y∈R+,且满足+=1,则xy的最大值为________.
1.解析:
选D 由题知a+b=x+y,cd=xy,x>0,y>0,则=≥=4,当且仅当x=y时取等号.
2.解析:
选C 圆的直径是4,说明直线过圆心(-1,2),故a+b=1,+==++≥+,当且仅当=,即a=2(-1),b=2-时取等号.
3解析:
由+≤a,得a≥,令f(x,y)=,
则f(x,y)===≤=,当且仅当x=y时等号成立.故a≥.
4.解:
(1)∵y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,∴A(1,1),又点A在直线mx+ny-1=0(m>0,n>0)上,∴m+n=1
(m>0,n>0).∴+=(m+n)·=2++≥2+2=4,当且仅当m=n=时,等号成立,∴+的最小值为4.
(2)∵ab=a+b+3,又a,b∈(0,+∞),∴ab≥2+3.设=t>0,∴t2-2t-3≥0.∴t≥3或t≤-1(舍去).
∴ab的取值范围是[9,+∞).
5.解析
(1)依题意知,(+y)(+x)=1+++1≥2+2=4,当且仅当x=y=1时取等号,
故(+y)·(+x)的最小值为4.
(2)∵x>0,y>0且1=+≥2,∴xy≤3.当且仅当=时取等号.
题型三.恒成立问题
思维升华
(1)a>f(x)恒成立⇔a>(f(x))max,a 例2 (1)已知f(x)=32x-(k+1)3x+2,当x∈R时,f(x)恒为正值,则k的取值范围是( ) A.(-∞,-1)B.(-∞,2-1) C.(-1,2-1)D.(-2-1,2-1) (2)已知函数f(x)=(a∈R),若对于任意x∈N*,f(x)≥3恒成立,则a的取值范围是________. 思维启迪 对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数,然后通过求最值得参数范围. 解析 (1)由f(x)>0得32x-(k+1)·3x+2>0,解得k+1<3x+,而3x+≥2(当且仅当3x=, 即x=log3时,等号成立),∴k+1<2,即k<2-1. (2)对任意x∈N*,f(x)≥3恒成立,即≥3恒成立,即知a≥-(x+)+3. 设g(x)=x+,x∈N*,则g (2)=6,g(3)=.∵g (2)>g(3),∴g(x)min=.∴-(x+)+3≤-, ∴a≥-,故a的取值范围是[-,+∞). (2)求最值时要注意其中变量的条件,有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性. 1.已知x>0,y>0,且+=1,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是________. 2.(2010·山东)若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是________. 3.已知函数f(x)=(x>0), (1)指出f(x)的单调区间,并进行证明; (2)若x>0时,不等式f(x)≥x恒成立,求实数a的取值范围. 4.若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,)成立,则a的最小值是( ) A.0B.-2C.-D.-3 1.解析 要使x+2y>m2+2m恒成立,主要(x+2y)min>m2+2m,而x>0,y>0,x+2y=(x+2y)·1=(x+2y)·=4++≥8,所以(x+2y)min=8,m2+2m<8,解得-4<m<2. 2.解析 ∵≤a恒成立,∴a≥max, 而=≤=(x>0),当且仅当x=时,等号成立,∴a≥. 3.解 (1)f(x)==x+-a(x>0),f(x)在(0,]上为减函数,在[,+∞)上为增函数. 设0<x1<x2≤,则f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)+=. 因为0<x1<x2≤,所以x1-x2<0,0<x1x2<2,所以f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2). 故f(x)在(0,]上为减函数.同理可证,f(x)在[,+∞)上为增函数. (2)由f(x)≥x,有x+-a≥x,x+-a≥0,因为x>0,所以x+≥2=2(当且仅当x=2时取等号). 要使不等式f(x)≥x对x>0恒成立,只需2-a≥0,所以a≤2即为所求.所以实数a的取值范围为(-∞,2]. 4.解析 方法一 设f(x)=x2+ax+1,则对称轴为x=-.当-≥,即a≤-1时, f(x)在(0,)上是减函数,应有f()≥0⇒a≥-,∴-≤a≤-1. 当-≤0,即a≥0时,f(x)在(0,)上是增函数,应有f(0)=1>0恒成立,故a≥0.
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- 第一轮 复习 基本 不等式