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非线性时间序列doc
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近代时间序列分析选讲:
一.非线性时间序列
二.GARCH模型
三.多元时间序列
四.协整模型
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非线性时间序列
第一章.非线性时间序列浅释
1.从线性到非线性自回归模型
2.线性时间序列定义的多样性第二章.非线性时间序列模型
1.概述
2.非线性自回归模型
3.带条件异方差的自回归模型
4.两种可逆性
5.时间序列与伪随机数
第三章.马尔可夫链与AR模型
1.马尔可夫链
2.AR模型所确定的马尔可夫链
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3.若干例子
第四章.统计建模方法
1.概论
2.线性性检验
3.AR模型参数估计
4.AR模型阶数估计
第五章.实例和展望
1.实例
2.展望
第一章.非线性时间序列浅释
1.从线性到非线性自回归模型
时间序列{xt}是一串随机变量序列,它有广泛的实际背景,特别是在经济与金融
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领域中尤其显著.关于它们的从线性与非线
性概念,可从以下的例子入手作一浅释的说
明.
考查一阶线性自回归模型---LAR
(1):
xt=xt-1+et,t=1,2,
(1.1)
其中{et}为i.i.d.序列,且Eet=0,
Eet=2<,而且et与{xt-1,xt-1,}独立.
反复使用(1.1)式的递推关系,就可得到
xt=xt-1+et
=e
=e
=e
t
t
t
+xt-1
+{et-1+xt-2}
+et-1+2xt-2
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=
=et+et-1+2et-2
++n-1et-n+1+nxt-n.
(1.2)
如果当n时,
nxt-n
0,
(1.3)
{et+et-1+2et-2++n-1et-n+1}
j=0jet-j.(1.4)
虽然保证以上的收敛是有条件的,而且要涉
及到具体收敛的含义,但是,对以上的简单
模型,不难相信,当|
|<1时,(1.3)(1.4)
式成立.于是,当||<1时,模型LAR
(1)
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有平稳解,且可表达为
xt=j=0jet-j.(1.5)
通过上面叙述可见求LAR
(1)模型的解有简
便之优点,此其一.还有第二点,容易推广
到LAR(p)模型.为此考查如下的p阶线性自回归模型LAR(p):
xt=1xt-1+2xt-2+...+pxt-p+et,
t=1,2,
(1.6)
其中{et}为i.i.d.序列,且Eet=0,
Eet=2<,而且et与{xt-1,xt-1,}独立.
虽然反复使用(1.6)式的递推式,仍然可得
到(1.2)式的类似结果,但是,用扩张后的一
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阶多元AR模型求解时,可显示出与LAR
(1)
模型求解的神奇的相似.为此记
xt
1
xt1
U=
0
Xt=
xtp1
0
1
2
p
1
0
0
(1.7)
A=
000
于是(1.6)式可写成如下的等价形式:
Xt=AXt-1+etU.(1.8)
反复使用此式的递推关系,形式上仿照(1.2)
式可得
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Xt=AXt-1+etU
=etU+et-1AU+A2xt-2
=
=etU+et-1AU+et-2A2U+
+et-n+1An-1U+Anxt-n.
如果矩阵A的谱半径(A的特征值的最大
模)(A),满足如下条件
(A)<1,(1.10)
由上式可猜想到(1.8)式有如下的解:
Xt=k=0AkUet-k.
(1.11)
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其中向量Xt的第一分量xt形成的序列{xt},
就是模型(1.6)式的解.由此不难看出,它有
以下表达方式
xt=k=0ket-k.(1.11)
其中系数k由(1.6)式中的1,2,...,p
确定,细节从略.不过,(1.11)式给了我们
重要启发,即考虑形如
xt=k=0ket-k,k=0k2,
(1.12)
的时间序列类(其中系数k能保证(1.12)
式中的xt有定义).在文献中,这样的序列
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{xt}就被称为线性时间序列.
虽然以上给出了线性时间序列的定义,
以下暂时不讨论什么是非线性时间序列,代
之先讨论一阶非线性自回归模型
---NLAR
(1),以便与LAR
(1)模型进行比
较分析.首先写出NLAR
(1)模型如下
xt=(xt-1)+et,t=1,2,
(1.13)
其中{et}为i.i.d.序列,且Eet=0,
Eet=2<,而且et与{xt-1,xt-2,}独立,
这些假定与LAR
(1)模型相同,但是,(xt-1)
不再是xt-1的线性函数,代之为非线性函数,
比如
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(xt-1)=xt-1/{a+bxt-12}.
此时虽然仍可反复使用(1.13)式进行迭代,
但是所得结果是
xt=(xt-1)+et
=et+(xt-1)
=et+(et-1+(xt-2))
=et+(et-1+(et-2+
(xt-3)))
=
=et+(et-1+(et-2++(xt-n))).
(1.14)
根据此式,我们既不能轻易判断(xt-1)函
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数满足怎样的条件时,上式会有极限,也不
能猜测其极限有怎样的形式.
对于p阶非线性自回归模型
xt=(xt-1,xt-2,,xt-p)+et,
t=1,2,
(1.15)
仿照(1.6)至(1.9)式的扩张的方法,我们引
入如下记号
(xt1,xt2,...,xtp
xt1
(xt-1,xt-2,,xt-p),
xtp1
(1.16)
我们得到与(1.15)式等价的模型
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Xt=(Xt-1)+etU,t=1,2,(1.17)
但是,我们再也得不出(1.9)至(1.14)式的
结果,
至此我们已将看出,从线性到非线性自回归模型有实质性差异,要说清楚它们,并不是很简单的事情.从数学角度而言,讨论线性自回归模型可借用泛函分析方法,然
而,讨论非线性自回归模型,则要借用马尔可夫链的理论和方法.这也正是本讲座要介绍的主要内容.
2.线性时间序列定义的多样性
现在简单叙述一下非线性时间序列定
义的复杂性,它与线性时间序列的定义有关.
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前一小节中(1.12)式所显示的线性时间序
列,只是一种定义方式.如果改变对系数
k的限制条件,就会给出不同的定义.更
为重要的是,在近代研究中,将(1.12)式中
的i.i.d.序列{et}放宽为平稳鞅差序列,这在
预报理论中很有意义.
无论引用哪一种线性时间序列定义,都对相应的序列的性质有所研究,因为其研究成果可用于有关的线性时间序列模型解的
特性研究.事实上,已经有丰富的成果被载入文献史册.
依上所述可知,由于线性时间序列定义的多样性,必然带来非线性时间序列定义的复杂性.这里需要强调指的是,对于非线性时间序列,几乎没有文章研究它们的一般性
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质,这与线性时间序列情况不同.于是人们要问,我们用哪些工具来研究非线性时间序
列模型解的特性呢?
这正是本次演讲要回答的问题.确切地说,我们将介绍马尔可夫
链,并借助于此来讨论非线性自回归模型解的问题.
第二章.非线性时间序列模型
1.概论
从(1.12)式可见,一个线性时间序列{xt},
被{et}的分布和全部系数i所决定.在此
有无穷多个自由参数,这对统计不方便,因
此人们更关心只依赖有限个自由参数的线
性时间序列,这就是线性时间序列的参数模
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型.其中最常用的如ARMA模型.对于非线性时间序列而言,使用参数模型方法几乎是唯一的选择.由于非线性函数的多样性,
带来了非线性时间序列模型的多样性.但是,迄今为止被研究得较多,又有应用价值的非线性时序模型,为数极少,而且主要是针对非线性自回归模型.在介绍此类模型之前,我们先对非线性时序模型的分类作一概述.
通用假定:
{t}为i.i.d.序列,且Et=0,
而且t与{xt-1,xt-2,}独立.
可加噪声模型:
xt=(xt-1,xt-2,)+t,
t=1,2,
(2.1)
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其中()是自回归函数.当它仅依赖于有
限个未知参数时,记此参数向量为,其相应的(2.1)模型常写成
xt=(xt-1,xt-2,;)+t,
t=1,2,
(2.2)
否则,称(2.1)式称为非参数模型.
关于(2.1)(2.2)的模型的平稳性,要在
下一章讨论,但是,它有类似于线性AR模
型的几个简单性质,是重要的而且容易获得
的,它们是:
E(xt|xt-1,xt-2,)
=E{(xt-1,xt-2,)+t|xt-1,xt-2,}
可编辑
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=(x
=(x
t-1
t-1
x
x
t-2
t-2
⋯)+E(t|xt-1,xt-2,⋯)
⋯)
(2.3)
var{xt|xt-1,xt-2,⋯}
E{[xt-(xt-1,⋯)]2|xt-1,xt-2,⋯}
=E{t2|xt-1,xt-2,⋯}
=Et2
=
2.
(2.4)
P{xt =P{(xt-1,⋯)+t =P{t =F(x-(xt-1,⋯)). (2.5) 可编辑 -------------精选文档----------------- 其中F是t的分布函数. 带条件异方差的模型: xt=(xt-1,xt-2,) +S(xt-1,xt-2,)t, t=1,2, (2.6) 其中()和S()也有限参数与非参数型 之分,这都是不言自明的.另外,(2.6)式显 然不属于可加噪声模型.但是,它比下面的 更一般的非可加噪声模型要简单得多.这可 通过推广(2.3)(2.4)(2.5)式看出,即有, E(xt|xt-1,xt-2,) 可编辑 -------------精选文档----------------- =E{(xt-1,xt-2,⋯) +S(xt-1,xt-2,⋯)t|xt-1,xt-2,⋯} =(xt-1,xt-2,⋯) +S(xt-1,xt-2,⋯)E{t|xt-1,xt-2,⋯} =(xt-1,xt-2,⋯). (2.3)’ var{xt|xt-1,xt-2,⋯} E{[xt-(xt-1,⋯)]2|xt-1,xt-2,⋯} =E{S2(xt-1,xt-2,⋯)t2|xt-1,xt-2,⋯} =S2(xt-1,xt-2,⋯)E{t2|xt-1,xt-2,⋯} =S2(xt-1,xt-2,⋯) 2. (2.4)’ P{xt 可编辑 -------------精选文档----------------- =P{(xt-1,⋯) +S(xt-1,⋯)t =P{t<[x-(xt-1,⋯)]/S(xt-1,⋯)} =F([x-(xt-1,⋯)]/S(xt-1,⋯)). (2.5)’ 一般非性序模型: xt=(xt-1,xt-2,⋯;t,t-1,⋯) t=1,2,⋯ (2.7) 其中(⋯)也有参数与非参数型之区, 也是不言自明的.然,(2.7)式既不是可加 噪声模型,也不属于(2.6)式的条件异方 差的模型.然,它可能具有条件异方差性 .相反,后两者都是(2.7)式的特殊型. 可编辑 -------------精选文档----------------- 虽说(2.7)式是更广的模型形式,在文献中 却很少被研究.只有双线性模型作为它的一 种特殊情况,在文献中有些应用和研究结果 出现.现写出其模型于后,可供理解其双线 性模型的含义 xt=j=1pjxt-j+j=1qjt-j +i=1Pj=1Qijt-ixt-j. 2.非线性自回归模型 在前一小节中的(2.1)和(2.2)式就是非线性自回归模型,而且属于可加噪声模型类.在这一小节里,我们将介绍几种(2.2)式的常见的模型. 函数后的线性自回归模型: 可编辑 -------------精选文档----------------- f(xt)=1f(xt-1)+2f(xt-2)+...+pf(xt- p)+t, t=1,2, (2.8) 其中f(.)是一元函数,它有已知和未知的不 同情况,不过总考虑单调增函数的情况, =(1,2,,p)是未知参数.在实际 应用中,{xt}是可获得量测的序列. 当f(.)是已知函数时,{f(xt)}也是可获得量测的序列,于是只需考虑yt=f(xt)所满足的线性AR模型 yt=1yt-1+2yt-2+...+pyt-p+t, t=1,2, (2.9) 可编辑 -------------精选文档----------------- 此时可不涉及非线性自回归模型概念.在宏观计量经济分析中,常常对原始数据先取对数后,再作线性自回归模型统计分析,就属于此种情况.这种先取对数的方法,不仅简 单,而且有经济背景的合理解释,它反应了经济增长幅度的量化规律.虽然在统计学中还有更多的变换可使用,比如Box-Cox变 换,但是,由于缺少经济背景的合理解释, 很少被使用.由此看来,当f(.)有实际背景依据时,可以考虑使用(2.7)式的模型. 当f(.)是未知函数时,{f(xt)}不是可量测的序列,于是只能考虑(2.8)模型.注意f(.) 是单调函数,可记它的逆变换函数为f-1(.),于是由(2.8)模型可得 可编辑 -------------精选文档----------------- xt=f-1(1f(xt-1)+2f(xt-2)+... +pf(xt-p)+t), t=1,2, (2.9)’ 此式属于(2.7)式的特殊情况,此类模型很 少被使用.取而代之是考虑如下的模型 xt=1f(xt-1)+2f(xt-2)+...+pf(xt-p) +t, t=1,2, (2.10) 其中f(.)是一元函数,也有已知和未知之分, 可不限于单调增函数.此式属于(2.1)式的 特殊情况,有一定的使用价值. 当(2.10)式中的f(.)函数是已知时,此式还有更进一步的推广模型, 可编辑 -------------精选文档----------------- xt=1f1(xt-1,⋯,xt-s)+2f2(xt-1,⋯,xt-s) +...+pfp(xt-1,⋯,xt-s)+t, t=1,2,⋯ (2.11) 其中fk(⋯)(k=1,2,⋯,p)是已知的s元函数. 例如,以后将要多次提到的如下的模型: xt=1I(xt-1<0)xt-1+2I(xt-10)xt-1+ t, t=1,2,⋯ (2.12) 其中I(.)是示性函数.此模型是分段性的, 是著名的TAR模型的特殊情况.了有助 于理解它,我写出它的分段形式: 可编辑 -------------精选文档----------------- 1x1 t x1 0, xt= xt1 t=1,2, 2xt1 t 0. 请注意,(2.8)(2.10)和(2.11)式具有一个共同的特征,就是未知参数都以线性形式出现在模型中.这一特点在统计建模时带来极大的方便.此类模型便于实际应用.但是,对于{xt}而言不具有线性特性,所以,讨论它们的平稳解的问题,讨论它们的建模理论依据问题,都需要借助于马尔可夫链的工具. 已知非线性自回归函数的模型: xt=(xt-1,xt-2,,xt-p;)+t, t=1,2,(2.13) 可编辑 -------------精选文档----------------- 其中()是p元已知函数,但是其中含有 未知参数=(1,2,,p).一般说来, 在一定范围内取值. 例如, xt= 1xt1 t,t=1,2, 12xt2 1 其中=(1,2)是
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