大学物理平面简谐波波动方程教学文案doc.docx
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大学物理平面简谐波波动方程教学文案doc
大学物理平面简谐波
波动方程
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§4-2平面简谐波的波动方程
振动与波动
振动研究一个质点的运动。
区别
波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。
振动是波动的根源。
联系
波动是振动的传播。
最简单而又最基本的波动是简谐波!
简谐波:
波源以及介质中各质点的振动都是简谐振动。
任何复杂的波都可看成
是若干个简谐波的叠加。
对平面简谐波,各质点都在各自的平衡位置附近作简谐振动,但同一时刻各质
点的振动状态不同。
需要定量地描述出每个质点的振动状态。
波线是一组垂直于波面的平行射线,可选用其中一根波线为代表来研究平面简
谐波的传播规律。
一、平面简谐波的波动方程
设平面简谐波在介质中沿x轴正向传播,在此波线上任取一参考点为坐标原点
y
u
P
O
x
x
参考点原点的振动方程为
y0Acost0
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任取一点P,其坐标为x,P点如何振动?
A和与原点的振动相同,相位呢?
沿着波的传播方向,各质点的相位依次落后,波每向前传播的距离,相位落
后2
现在,O点的振动要传到P点,需要向前传播的距离为x,因而P点的相位
比O点落后x22x
P点的振动方程为
yPAcost0
2
x
由于P点的任意性,上式给出了任意时刻任意位置的质点的振动情况,将下标
去掉
yAcost
2
0
x
就是沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程。
y
u
P
O
x
x
如果波沿x轴的负向传播,P点的相位将比O点的振动相位超前2x
沿x轴负向传播的波动方程为
yAcost2x0
利用
2,u
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沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程又可写为
yAcost
2
x
Acost
2
x
u
Acos
t
x
u
即
yAcos
x
t
u
0
0
0
0
原点的振动状态传到P点所需要的时间t
x
u
P点在t
时刻重复原点在t
x
时刻的振动状态
u
波动方程也常写为
y
2
Acostx
0
Acostkx0
2
其中k波数,物理意义为2长度内所具有完整波的数目。
☆波动方程的三个要素:
参考点,参考点振动方程,传播方向
二、波动方程的物理意义
1、固定x,如令x
x0
ytAcos
t
2
x0
振动方程
0
x0处质点的振动方程
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y
O
Tt
x0处的振动曲线
该质点在t1和t2两时刻的相位差
t2
t1
2、固定t,如令t
t
0
yxAcos
2
波形方程
t00x
t0时刻各质点离开各自平衡位置的位移分布情况,即t0时刻的波形方程。
y
O
x
波形曲线
3、x和t都在变化
yt,x
Acost
2
0
x
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y
u
tt时刻
Ox
t时刻
xut
各个不同质点在不同时刻的位移,各个质点的振动情况,不同时刻的波形,反
映了波形不断向前推进的波动传播的全过程行波
t时刻,x处的某个振动状态经过t的时间,传播了xut的距离,传到
了xx处,显然
ytt,xxyt,x行波必须满足此方程
其中xut
波是振动状态的传播!
习题类型
(1)由某质元的振动方程(或振动曲线)求波动方程
(2)由某时刻的波形曲线求波动方程
例4.2:
一平面波在介质中以速度u20m/s沿直线传播,已知在传播路径上某
点A的振动方程为yA3cos4t,如图4.8所示。
(1)若以A点为坐标原点,写出波动方程,并求出C,D两点的振动方程;
(2)若以B点为坐标原点,写出波动方程,并求出C,D两点的振动方程。
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8m
5m
9m
u
C
B
A
D
x
解:
(1)振幅A3m,圆频率4rad/s,频率2Hz,
2
u
波长10m
波动方程为
y3cos4t
2x
3cos4t
xm
5
C点坐标为xC13m,振动方程为
yC
3cos
4
t
xC
3cos
4
t
13
m
5
5
D点坐标为xD9m,振动方程为
yD
3cos
4
t
xD
3cos
4
t
9
m
5
5
(2)A点坐标为xA
5
m,波动方程为
y
3cos4
t
2
xxA
3cos
4
t
xm
5
C点坐标为xC8m,振动方程为
yC3cos4t
xC
3cos4t
13
m
5
5
D点坐标为xD14m,振动方程为
yD3cos4t
xD
3cos4t
9
m
5
5
例4.3:
一平面简谐横波以u400m/s的波速在均匀介质中沿x方向传播。
位于坐标原点的质点的振动周期为0.01秒,振幅为0.1m,取原点处质点经过平衡
位置且向正方向运动时作为计时起点。
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(1)写出波动方程;
(2)写出距原点2m处的质点P的振动方程;
(3)画出t0.005秒和0.007秒时的波形图;
(4)若以距原点2m处为坐标原点,写出波动方程。
解:
(1)由题意A0.1m,T0.01秒,u400m/s
可得圆频率
2
200rad/s,波长uT4m
T
由旋转矢量图知,原点处质点的初相位
3
0
2
3
2
Ox
t0
故原点处质点的运动方程为
y00.1cos200t
3
m
2
波动方程为
y0.1cos200t
3
m
x
22
(2)xP2m处质点的振动方程为
yP0.1cos200t
3
xP
0.1cos200t
m
22
2
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(3)t1
0.005秒时,波形方程为
y
0.1cos200t1
3
x0.1cos
5
x
2
2
2
2
0.1cos
2
x
0.1sin
x
2
2
因为t2t10.0025
1T,故由t1
时刻的波形向+x方向平移
即可得t2时
4
4
刻的波形。
如图所示
y
t2
u
t1
O
x
2
(4)y0.1cos200t
2
t
x
x0.1cos200
2
2
2
Ex.4:
已知t2秒的波形曲线如图所示,波速u
0.5m/s,沿x方向传播
(m)
0.5
t12s
u
O012x(m)
求:
(1)O点的振动方程;
(2)波动方程
解:
(1)由t
2s时的波形图可知
A0.5m,
2m,T
4s,
2
T2
u
利用旋转矢量图法得出t2秒时O点振动相位
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t
0
3
2
t
2,
2
O点的初相位0
2
O
O点的振动方程为
t2s
O0.5cost
22
(2)波动方程0.5costx
22
Ex:
一列机械波沿x轴正向传播,t=0时的波形如图所示,已知波速为10m·s
-1,波长为2m,求:
(1)波动方程;
(2)P点的振动方程及振动曲线;
(3)P点的坐标;
(4)P点回到平衡位置所需的最短时间.
解:
(1)
由题5-13图可知A
0.1
m,t
0时,
原点处质点振动的初始条件为
y0
A,v0
0
,∴0
3
2
u
10
由题知
2m,u
10ms1,则
5Hz,
2
10
2
圆频率
原点O的振动方程为
y
0.1cos10
t
m
3
波动方程为
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y
0.1cos
10
t
xm
3
(2)由图知,t
0时,yP
A,vP
0
,
4
2
∴P
P点的相位应落后于
0点,故取负值)
(
3
4
∴P点振动方程为yp0.1cos(10t
)
x)
4
3
(3)由
10
(t
|t
0
5
10
3
3
解得
x
1.67m
3
(4)根据
(2)的结果可作出旋转矢量图如题5-13图(a),则由P点回到平衡位置应经历的相位角
5
326
∴所需最短时间为
t
5/6
1s
10
12
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