初二数学 等腰三角形.docx
- 文档编号:18161228
- 上传时间:2023-08-13
- 格式:DOCX
- 页数:35
- 大小:323.74KB
初二数学 等腰三角形.docx
《初二数学 等腰三角形.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初二数学 等腰三角形.docx(35页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
初二数学等腰三角形
等腰三角形
一.学习目标
1.了解等腰三角形和等边三角形的概念,并能判定等腰三角形和等边三角形;
2.正确理解等腰三角形和等边三角形的性质,能运用它们的性质解决相关的问题;
二.重难点分析
重点:
等腰三角形和等边三角形的性质和判定,及有一个角是
的直角三角形的性质。
难点:
综合运用等腰三角形的性质解决问题。
三.知识梳理
四.精讲精练
●等腰三角形的性质
1.等腰三角形的定义:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
2.等边三角形的定义:
有三条边相等的三角形叫做等边三角形.
3.等腰三角形的性质:
(1)两腰相等.
(2)两底角相等.
(3)“三线合一”,即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
(4)是轴对称图形,底边的垂直平分线是它的对称轴.
例1.如图,AE∥BD,C是BD上的点,且AB=BC,∠ACD=110°,则∠EAB度数为( )
A.70°B.55°C.40°D.35°
【答案】C
【解析】解:
∵∠ACD=110°,∴∠BCA=70°,
∵AB=BC,∴∠BAC=∠BCA=70°,
∵AE∥BC,∴∠EAC=∠ACD=110°,
∴∠EAC=110°﹣70°=40°.
例2.等腰三角形两边长分别是4cm和1cm,则这个三角形周长是( )
A.9cmB.6cmC.9cm或6cmD.10cm
【答案】A
【解析】解:
当腰长是1cm时,因为1+1<4,不符合三角形的三边关系,应排除;
当腰长是4cm时,因为4+4>1,符合三角形三边关系,此时周长是9cm;
例3.如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC.若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是( )
A.AE=ECB.AE=BEC.∠EBC=∠BACD.∠EBC=∠ABE
【答案】C
【解析】解:
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∵以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,∴BE=BC,
∴∠ACB=∠BEC,∴∠BEC=∠ABC=∠ACB,∴∠A=∠EBC,
练习.如图,直线l1∥l2,以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧,分别交直线l1、l2于点B、C,连接AC、BC.若∠ABC=67°,则∠1=( )
A.23°B.46°C.67°D.78°
【答案】B
【解析】解:
根据题意得:
AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=67°,
∵直线l1∥l2,∴∠2=∠ABC=67°,
∵∠1+∠ACB+∠2=180°,∴∠1=180°﹣∠2﹣∠ACB=180°﹣67°﹣67°=46°.
例4.某城市几条道路的位置关系如图所示,已知AB∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等,则∠C的度数为( )
A.48°B.40°C.30°D.24°
【答案】D
【解析】∵AB∥CD,∴∠1=∠BAE=48°,
∵∠1=∠C+∠E,∵CF=EF,∴∠C=∠E,
∴∠C=
∠1=
×48°=24.
练习1.如图,AB∥CD,AD=CD,∠1=70°30',则∠2的度数是( )
A.40°30'B.39°30'C.40°D.39°
【答案】C
【解析】∵QR∥OB,∠AOB=40°,∴∠AQR=∠AOB=40°,
∵OP=QP,∴∠PQO=∠AOB=40°,
∵∠AQR+∠PQO+∠PQR=180°,∴∠PQR=180°﹣2∠AQR=100°.
练习2.如图,已知DE∥BC,AB=AC,∠1=125°,则∠C的度数是( )
A.55°B.45°C.35°D.65°
【答案】A
【解析】解:
∵∠1=125°,∴∠ADE=180°﹣125°=55°,
∵DE∥BC,AB=AC,
∴AD=AE,∠C=∠AED,∴∠AED=∠ADE=55°,
又∵∠C=∠AED,∴∠C=55°.
例5.已知实数x,y满足
,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对
【答案】B
【解析】解:
根据题意得
,解得
,
(1)若4是腰长,则三角形的三边长为:
4、4、8,不能组成三角形;
(2)若4是底边长,则三角形的三边长为:
4、8、8,能组成三角形,周长为4+8+8=20.
练习.一个三角形的三个内角的度数的比是1:
2:
3,这个三角形是 三角形;一个等腰三角形两边的长分别是15cm和7cm,则它的周长是 .
【答案】直角;37cm
【解析】解:
∵一个三角形的三个内角的度数的比是1:
2:
3,∴最大的角=180×
=90°,
∴这个三角形是直角三角形;
①7cm是腰长时,三角形的三边分别为7cm、7cm、15cm,∵7+7=14<15,∴不能组成三角形,
②7cm是底边时,三角形的三边分别为7cm、15cm、15cm,能组成三角形,周长=7+15+15=37cm,
综上所述,它的周长是37cm.
例6.已知如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC,求证:
AO⊥BC.
【解析】证明:
延长AO交BC于点D,
在△ABO和△ACO中,
,∴△ABO≌△ACO(SSS),
∴∠BAO=∠CAO,
∵AB=AC,∴AO⊥BC.
练习.如图,已知△ABC,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,EF垂直平分AC,分别交AC,AD,AB于点E,M,F.若∠CAD=20°,求∠MCD的度数.
【解析】解:
∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,∴AD⊥BC,
∵∠CAD=20°,∴∠ACD=70°,
∵EF垂直平分AC,∴AM=CM,
∴∠ACM=∠CAD=20°,∴∠MCD=50°.
例7.如图1,若△ACD的周长为7cm,DE为AB边的垂直平分线,则AC+BC= cm.
【答案】7
【解析】解:
1、∵DE为AB边的垂直平分线,∴AD=BD,
∴△ACD的周长=AC+AD+DC=AC+CD+BD=AC+BC=7cm.
练习.如图2,已知△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD为∠ABC的平分线,则图中共有 个等腰三角形.
【答案】3
【解析】解:
∵AB=AC,∠A=36°,
∴△ABC是等腰三角形,∠C=∠ABC=
=72°,
∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠A=∠DBC=36°,
∴AD=BD,△ADB是等腰三角形,∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°=∠C,
∴BC=BD,△CDB是等腰三角形,
例8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE⊥BE于点E,且BE=
.
求证:
AB平分∠EAD.
【解析】证明:
∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴BD=
BC,AD⊥BC,
∵BE=
BC,∴BD=BE,∵AE⊥BE,∴AB平分∠EAD.
练习1.在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:
∠CBE=∠CAD.
【解析】证明:
∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,
又∵BE⊥AC,∴∠ADC=∠BEC=90°,∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°
∴∠CBE=∠CAD.
练习2.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.求证:
DE=DF.
【解析】证明:
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°,
在△BDE和△CDF中,
,∴△BDE≌△CDF(AAS),
∴DE=DF.
●等腰三角形的判定
等腰三角形的判定:
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形.
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形.
例1.在△ABC中,∠A、∠B、∠C对应的边分别为a、b、c,给出以下条件,不能判定其是等腰三角形的是( )
A.∠A:
∠B:
∠C=1:
1:
3B.a:
b:
c=2:
2:
1
C.∠B=50°,∠C=80°D.2∠A=∠B+∠C
【答案】D
【解析】解:
A、∠A:
∠B:
∠C=1:
1:
2,∴∠A=∠B,故A是等腰三角形;
B、a:
b:
c=2:
2:
1,∴a=b,故B是等腰三角形;
C、∠B=50°,∠C=80°,∴∠A=∠B=50°,故C是等腰三角形;
D、2∠A=∠B+∠C,∠A=60°,∠B+∠C=120°,故D不是等腰三角形;
练习.在下面的三角形,不可能是等腰三角形的是( )
A.有两个内角分别为110°,40°的三角形
B.有两个内角分别为70°,55°的三角形
C.有一个外角为100°,一个内角为80°的三角形
D.有一个外角为100°,一个内角为50°的三角形
【答案】A
【解析】解:
A、有两个内角分别为110°,40°的三角形,第三个角是30°,不可以构成等腰三角形,故本选项错误;
B、有两个内角分别为70°,55°的三角形,第三个角是55°,可以构成等腰三角形,故本选项正确;
C、有一个外角为100°,一个内角为80°的三角形,与外角相邻的内角是80°,可以构成等腰三角形,故本选项正确;
D、有一个外角为100°,一个内角为50°的三角形,与外角相邻的内角是80°,第三个角是50°,可以构成等腰三角形,故本选项正确.
例2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,两条角平分线BD、CE相交于点F,则图中的等腰三角形共( )
A.6个B.7个C.8个D.9个
【答案】C
【解析】解:
由题意得:
∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=∠A=36°,
∠CBE=∠CEB=∠BDC=DCB=72°
∴△ABC,△CBD,△BCE,△ABD,△ACE,△CDF,△BEF,△BCF均为等腰三角形.
题中共有8个等腰三角形.
练习.在平面直角坐标系内点A、点B的坐标分别为(0,5)、(6,5),在坐标轴上找一点C,使△ABC是等腰三角形,则符合条件的点C的个数是( )
A.5个B.6个C.7个D.8个
【答案】C
【解析】解:
∵点A、B的坐标分别为(0,5)、(6,5),
∴AB⊥y轴,AB=6,
①若AP=AB,以A为圆心,AB为半径画弧与坐标轴有4个交点,即满足△ABP是等腰三角形的P点有4个;
②若BP=AB,以B为圆心,BA为半径画弧与坐标轴有2个交点(A点除外),即满足△ABP是等腰三角形的P点有2个;
③若PA=PB,作AB的垂直平分线与坐标轴只有一个交点,即满足△ABP是等腰三角形的P点有1个;
所以点P在坐标轴上,△ABP是等腰三角形,符合条件的点P共有7个.
例3、如图,在△ABC,∠A=36°,∠B=72°,AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D,E,则图中等腰三角形的个数为( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】B
【解析】解:
∵∠A=36°,∠B=72°,
∴∠ACB=180°﹣36°﹣72°=72°,
∴∠ACB=∠B,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,
∵DE垂直平分AC,∴EA=EC,
∴∠ACE=∠A=36°.∴AE=CE,∴△ACE是等腰三角形,
∴∠AEC=180°﹣36°﹣36°=108°,
∴∠BEC=72°.∴∠BEC=∠B,∴CE=BC.∴△BEC是等腰三角形,
∴等腰三角形有△ABC,△ACE,△BEC,
练习.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AD,CF都是高,相交于P,角平分线BE分别交AD,CF于Q,S,那么图中的等腰三角形的个数是( )
A.5B.4C.3D.2
【答案】A
【解析】解:
∵等腰三角形有△ABD,△CFB,△AFP,△PQS,△CDP,共5个
例4.如图,点A、B分别在两条坐标轴上,在坐标轴上取一点P,使得△PAB为等腰三角形,则符合条件的点P最多有_____个
【答案】8
【解析】解:
当P在x轴上时,AB=AP时,P点有两个,BP=AP时,P点有一个,AB=BP时,P点有一个
当P在y轴上时,AB=BP时,P点有两个,BP=AP时,P点有一个,AB=AP时,P点有一个,
综上所述:
符合条件的P点有8个,
练习.如图所示,在直角坐标系中,O(0,0),P(2,1),Q是坐标轴上的一点,若△OPQ成等腰三角形,则Q点所在的位置有( )
A.4处B.6处C.7处D.8处
【答案】D
【解析】解:
如图,以点O为圆心,以OP为半径画弧,分别交x轴、y轴于两点;以点P为圆心,以PO为半径画弧,分别交x轴、y轴于一点;作线段PO的垂直平分线,分别交x轴、y轴于一点;
综上所述,若△OPQ成等腰三角形,则Q点所在的位置有8处,
例5、在△ABC中,AD平分∠BAC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证:
AB=AC.
【解析】解:
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=DF,
又∵BD=CD,∠DEB=∠DFC=90°,
∴Rt△DEB≌Rt△DFC,
∴∠B=∠C,∴AB=AC.
练习1.已知:
如图,锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O,且OB=OC.
(1)求证:
△ABC是等腰三角形;
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上,并说明理由.
【解析】
(1)证明:
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,
∵BD、CE是△ABC的两条高,∴∠BDC=∠CEB=90°.
在△BDC和△CEB中,
,
∴△BDC≌△CEB(AAS),∴∠EBC=∠DCB,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.
(2)解:
点O在∠BAC的平分线上,理由如下:
∵△BDC≌△CEB,∴BD=CE,
又∵OB=OC,∴OD=OE.
∵OD⊥AC,OE⊥AB,
∴点O在∠BAC的平分线上.
练习2.已知:
如图,△ABC中,BC边上有D、E两点,∠1=∠2,∠3=∠4.
求证:
△ABC是等腰三角形.
【解析】证明:
∵∠B=∠3﹣∠1,∠C=∠4﹣∠2,
又∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC,
即△ABC是等腰三角形.
练习3.如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC交CD于F,交BC于E,试说明△CEF是等腰三角形.
【解析】解:
∵∠ACB=90°,∴∠B+∠BAC=90°,
∵CD⊥AB,∴∠CAD+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠B,
∵AE是∠BAC的平分线,∴∠CAE=∠EAB,
∵∠EAB+∠B=∠CEF,∠CAE+∠ACD=∠CFE,
∴∠CFE=∠CEF,∴CF=CE,
∴△CEF是等腰三角形.
练习4.已知:
如图,AB=AC,D是AB上一点,DE⊥BC于点E,ED的延长线交CA的延长线于点F.求证:
△ADF是等腰三角形.
【解析】解:
∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角).
∵DE⊥BC于E,∴∠FEB=∠FEC=90°,
∴∠B+∠EDB=∠C+∠EFC=90°,
∴∠EFC=∠EDB(等角的余角相等).
∵∠EDB=∠ADF(对顶角相等),
∴∠EFC=∠ADF.
∴△ADF是等腰三角形.
例6.如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD、CE相交于F.
求证:
AF平分∠BAC.
【解析】证明:
∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∵BD、CE分别是高,∴BD⊥AC,CE⊥AB(高的定义).
∴∠CEB=∠BDC=90°.∴∠ECB=90°﹣∠ABC,∠DBC=90°﹣∠ACB.
∴∠ECB=∠DBC(等量代换).∴FB=FC(等角对等边),
在△ABF和△ACF中,
,
∴△ABF≌△ACF(SSS),
∴∠BAF=∠CAF(全等三角形对应角相等),
∴AF平分∠BAC.
练习.如图,△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB,过D作直线平行于BC,交AB、AC于E、F,求证:
EF=BE+CF.
【解析】解:
∵△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB,
∴∠1=∠2,∠5=∠6,
∵EF∥BC,∴∠2=∠3,∠4=∠6,
∴∠1=∠3,∠4=∠5,
根据在同一三角形中等角对等边的原则可知,BE=ED,DF=FC,
故EF=ED+DF=BE+CF.
例7.如图,已知点D、E是△ABC的边BC上两点,且BD=CE,∠1=∠2.试证:
△ABC是等腰三角形.
【解析】证明:
∵∠1=∠2,
∴AD=AE,∠ADB=∠AEC,
在△ABD和△ACE中
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.
●等边三角形
等边三角形的性质:
三边都相等,三个角都相等,每一个角都等于
.
等边三角形的判定:
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形.
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.
(3)有一个角是
的等腰三角形是等边三角形.
例1.下列关于等边三角形的说法正确的有( )
①等边三角形的三个角相等,并且每一个角都是60°;
②三边相等的三角形是等边三角形;
③三角相等的三角形是等边三角形;
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④
【答案】D
【解析】解:
根据等边三角形的每个角都是60°;故①正确.
根据等边三角形的概念:
三边相等的三角形是等边三角形.故②正确;
根据等边对等角;故③正确;
根据等边三角形的判定;故④正确.
练习1.如图,等边△ABC中,BD=CE,AD与BE交于P,AQ⊥BE,垂足为Q,PD=2,PQ=6,则BE的长为( )
A.14B.13C.12D.无法求出
【答案】A
【解析】解:
∵AB=BC,∠ABD=∠C=60°,BD=CE,
∴△ABD≌△BCE,
∴BE=AD,∠APQ=∠ABP+∠PAB=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°,
在Rt△APQ中,PQ=6,AP=2PQ=12,
∴BE=AD=AP+PD=12+2=14.
练习2.如图,△ABC是等边三角形,∠CBD=90°,BD=BC,则∠1的度数是 .
【答案】75°
【解析】解:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABC=60°,
∵BD=BC,∴AB=BD,
∴∠BAD=∠BDA,∵∠CBD=90°,
∴∠ABD=90°+60°=150°,∴∠BDA=15°,
∵∠CBD=90°,BD=BC,
∴∠BCD=∠BDC=45°,
∴∠ADC=45°﹣15°=30°,
∴∠1=∠ADC+∠BCD=30°+45°=75°.
例2.如图,将边长为3cm的等边△ABC沿着边BC向右平移2cm,得到△DEF,则四边形ABFD的周长为( )
A.15cmB.14cmC.13cmD.12cm
【答案】C
【解析】解:
∵△ABC沿边BC向右平移2cm得到△DEF,
∴DF=AC,AD=CF=2cm,
∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD,
=AB+BC+CF+AC+AD,=△ABC的周长+AD+CF,=9+2+2,=13cm.
例3.图①是一块边长为1,周长记为P1的正三角形纸板,沿图①的底边剪去一块边长为
的正三角形纸板后得到图②,然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板(即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的
)后,得图③,④,…,记第n(n≥3)块纸板的周长为Pn,则Pn﹣Pn﹣1的值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解答】解:
P1=1+1+1=3,P2=1+1+
=
,P3=1+
+
+
×3=
,
P4=1+
+
+
×2+
×3=
,
…
∴p3﹣p2=
﹣
=
=
,
P4﹣P3=
﹣
=
=
,
则Pn﹣Pn﹣1=
=
.
练习.如图,∠MON=30°,点A1,A2,A3,…在射线ON上,点B1,B2,B3,…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…均为等边三角形.若OA1=1,则△AnBnAn+1的边长为 .
【答案】2n﹣1
例4.已知:
如图,等边△ABC中,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于Q.求证:
BP=2PQ.
【解析】解:
AE=CD,AC=BC,∴EC=BD;
∵△ABC为等边三角形,
∴∠C=∠ABC=60°,AB=BC,
在△BEC与△ADB中,
∴△BEC≌△ADB(SAS),∴∠EBC=∠BAD;
∵∠ABE+∠EBC=60°,则∠ABE+∠BAD=60°,
∵∠BPQ是△ABP外角,
∴∠ABP+∠BAP=60°=∠BPQ,又∵BQ⊥AD,
∴∠PBQ=30°,∴BP=2PQ.
练习1.如图,等边△ABC中,D是BC上一点,以AD为边作等腰△ADE,使AD=AE,∠DAE=80°,DE交AC于点F,∠BAD=15°,求∠FDC的度数.
【解析】解:
∵∠DAE=80°,AD=AE,
∴∠ADE=
(180°﹣80°)=50°,
∠ADC=∠BAD+∠B=15°+60°=75°,
又∵∠ADE=50°
∴∠FDC=∠ADC﹣∠ADE=75°﹣50°=25°.
练习2.如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:
AE=CD.
【解析】证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABE=60°
又∵△BDE是等边三角形,∴BE=BD,∠DBE=60°,
∴∠ABE=∠DBE,
∴在△ABE和△CBD中,
,
∴△ABE≌△CBD(SAS),∴AE=CD.
练习3.△DAC和△EBC均是等边三角形,连AE、BD,△ACE与△BCD全等吗?
请说明理由.
【解析】解:
△ACE≌△DCB;
理由:
∵∠ACD=∠ECB=60°,
∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE,∴∠ACE=∠DCB,
∵在△ACE和△DCB中
,
∴△ACE≌△DCB(SAS).
●含30°角的直角三角形
含
角的直角三角形的重要结论:
在直角三角形中,如果一个锐角等于
,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
例1.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )
A.
mB.4mC.4
mD.8m
练习1.将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上,另一个顶点A在纸带的另一边沿上,测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角,如图,则三角尺边AC的长为( )
A.6B.3
C.4
D.6
【答案】A
练习2.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=10,点M、N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM=( )
A.3B.4C.5D.6
【答案】B
【解析】解:
作PH⊥MN于H,∵PM=PN,
∴MH=NH=
MN=1,∵∠AOB=60°,∴∠OPH=30°,
∴OH=
OP=5,∴OM=OH﹣MH=4,
例2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于D.如果∠ABC=60°,EC=3,那么AE等于( )
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 初二数学 等腰三角形 初二 数学