整式分式因式分解二次根式解题技巧1124130857docx.docx
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整式分式因式分解二次根式解题技巧1124130857docx
1.整式
用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.
只含有数与字母的积的代数式叫单项式.
注意:
单项式是由系数、字母、字母的指数构成的,其中系数不能用带分数
表示,如:
41a2b这种表示就是错误的,应写成:
13a2b.一个单项式中,
3
3
所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.如:
5a3b2c是六次单项式.
几个单项式的和叫多项式.其中每个单项式叫做这个多项式的项.多项式中不含字母的项叫做常数项.多项式里次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数.
单项式和多项式统称整式.
用数值代替代数式中的字母,按照代数式指明的运算,计算出的结果,叫代数式的值.
注意:
(1)求代数式的值,一般是先将代数式化简,然后再将字母的取值代
入
(2)求代数式的值,有时求不出其字母的值,需要利用技巧,利用“整
体”代入.
2.同类项
所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.
注意:
(1)同类项与系数大小没有关系;
(2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系.把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.
合并同类项的法则是:
同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字
母的指数不变.
去括号法则1:
括号前是“+”,把括号和它前面的“+”号一起去掉,括号里各项都不变号.
去括号法则2:
括号前是“-”,把括号和它前面的“-”号一起去掉,括号里各项都变号.
整式的加减法运算的一般步骤:
(1)去括号;
(2)合并同类项.
同底数幂的乘法法则:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.如:
aman
amn(m,n都是正整数).
幂的乘方法则:
幂的乘方,底数不变,指数相乘.如:
amn
amn(m,n都
是正整数).
积的乘方法则:
积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,
再把所有的幂
相乘.如:
abn
anbn(n为正整数).
单项式的乘法法则:
单项式乘以单项式,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
注意:
单项式乘以单项式的结果仍然是单项式.
单项式与多项式相乘的运算法则:
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项
式的每一项,再把所得的积相加.如:
mabcmambmc(m,a,b,c都是
单项式).
注意:
①单项式与多项式相乘,结果是一个多项式,其项数与因式中多项式的项数相同.
②计算时要注意符号问题,多项式的每一项都包括它前面的符号,同时还要注意单项式的符号.
多项式乘法法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
注意:
多项式与多项式相乘的展开式中,有同类项的要合并同类项.
①平方差公式:
(a②完全平方公式:
③立方和公式:
(a
④立方差公式:
(a
⑤(abc)2
a2
b)(a
b)
a2
b2;
(a
b)2
a2
2ab
b2,(ab)2
a2
2abb2;
b)(a2
ab
b2)
a3
b
3
b)(a2
ab
b2)
a3
b
3;
b2
c2
2ab
2bc
2ac.
注意:
公式中的字母可以表示数,也可以表示单项式或多项式.
同底数幂的除法法则:
同底数幂相除,底数不变,指数相减.如:
amanamn(m,n为正整数,a0).
注意:
a01(a0);ap1p(a0,p为正整数).
a
单项式的除法法则:
单项式相除,把系数和同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里面含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
多项式除以单项式的运算法则:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.
注意:
这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式,反之,单项式除以多项式是不能这么计算的
3.因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
注意:
(1)因式分解专指多项式的恒等变形,即等式左边必须是多项式.例
如:
8a3b4ab2a2;a11a1等,都不是因式分解.
aa
(2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.例如:
2a2bc2abc,不是因式分解.
(3)因式分解和整式乘法是互逆变形.
(4)因式分解必须在指定的范围内分解到不能再分解为止.如:
a4
25b4在有理数范围内应分解为:
a2
5b2a2
5b2;而在实数范围内则应
分解为:
a2
5b2a5ba5b.
1、提公因式法:
如果多项式的各项都含有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式
法.提公因式法的关键在于准确的找到公因式,而公因式并不都是单项式;公因式的系数应取多项式整数系数的最大公约数;字母取多项式各项相同的字母;各字母指数取次数最低的.
2、运用公式法:
把乘法公式反过来,可以把符合公式特点的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.
平方差公式:
a2
b2
a
b
a
b.
完全平方公式:
a2
2ab
b2
ab2;a2
2abb2
ab2.
立方和公式:
a3
b3
a
b
a2
ab
b2
.
立方差公式:
a3
b3
a
b
a2
ab
b2
.
注意:
运用公式分解因式,首先要对所给的多项式的项数,次数,系数和符号进行观察,判断符合哪个公式的条件.公式中的字母可表示数,字母,单项式或多项式.
3、分组分解法:
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键是合理的选择分组的方法,分组时要预先考虑到分组后是否能直接提公因式或直接运用公式.
4、十字相乘法:
x2
pqx
pq
xp
xq.
5、求根法:
当二次三项式ax2
bx
c不易或不能写成用公式法或十字相乘
法分解因式时,可先用求根公式求出一元二次方程
ax2
bxc0的两个根
x1,x2,然后写成:
ax2
bx
cax
x1
xx2
.运用求根法时,必须注意这个
一元二次方程ax2
bx
c
0要有两个实数根.
因式分解的一般步骤是:
(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提取公因式;
(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下,观察多项式的次数:
二项式可以尝试运用公式法分解因式;三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法或求根法分解因式;四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式;
(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止.
4.分式
一般的,用A,B表示两个整式,AB就可以表示成A的形式.如果B中含
B
有字母,式子A就叫做分式.其中,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.分
B
式和整式通称为有理式.
注意:
(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志,它是分式与分数、整式的根本区别;
(2)分式的分母的值也不能等于零.若分母的值为零,则分式无意义;
(3)当分子等于零而分母不等于零时,分式的值才是零.
把一个分式的分子与分母的公因式约去,把分式化成最简分式,叫做分式的
约分.
一个分式约分的方法是:
当分子、分母是单项式时,直接约分;当分子、分母是多项式时,把分式的分子和分母分解因式,然后约去分子与分母的公因式.
一个分式的分子和分母没有公因式时,叫做最简分式,也叫既约分式.
10n,
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.
取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母
分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.用式
子表示是:
A
A
M
A
M(其中M是不等于零的整式).
B
B
M
B
M
分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变.如:
AAAA
BBBB
分式的系数化整问题,是利用分式的基本性质,将分子、分母都乘以一个适当的不等于零的数,使分子、分母中的系数全都化成整数.当分子、分母中的系数都是分数时,这个“适当的数”应该是分子和分母中各项系数的所有分母的最
小公倍数;当分子、分母中各项系数是小数时,这个“适当的数”一般是其中n等于分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数.
例、不改变分式的值,把下列各分式分子与分母中各项的系数都化为整数,且使各项系数绝对值最小.
1
a
1
b
0.4x2
3
y2
(1)2
3
;
(2)
1x2
10
.
1
a
1
b
0.6y2
3
4
4
分析:
第
(1)题中的分子、分母的各项的系数都是分数,应先求出这些分数
所有分母的最小公倍数,然后把原式的分子、分母都乘以这个最小公倍数,即可把系数化为整数;第
(2)题的系数有分数,也有小数,应把它们统一成分数或小数,再确定这个适当的数,一般情况下优先考虑转化成分数.
1
1
1
1
12
a
b
a
b
4b;
解:
(1)
2
3
2
3
6a
1
1
1a
1b
12
4a
3b
a
b
3
4
3
4
0.4x
2
3
y
2
0.4x2
0.3y2
100
40x2
30y2
58x2
6y2
(2)
10
1
2
2
(0.25x2
0.6y2)
100
25x2
60y2
55x2
12y2
0.6y
x
4
8x2
6y2
.
5x2
12y2
1、分式的乘除法则:
分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.用式子表示是:
ac
ac;
a
c
ad
ad
.
bd
bd
bd
bc
bc
2、分式的乘方法则:
分式乘方是把分子、分母各自乘方.用式子表示是:
n
n
a
a
n
(n为整数).
b
b
3、分式的加减法则:
①同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用式子表示是:
abab
ccc
;
②异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减.用式子表示是:
a
c
adbc.
b
d
bd
分式的混合运算关键是弄清运算顺序,分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算,再进行加、减运算,遇到括号,先算括号内的.
例、计算x
2
x
4
x
6
x
8.
x
1
x
3
x
5
x
7
分析:
对于这道题,一般采用直接通分后相加、减的方法,显然较繁,注意
观察到此题的每个分式的分子都是一个二项式,并且每个分子都是分母与1的和,所以可以采取“裂项法”.
解:
原式
x11x31x51x71
x
1
x
3
x
5
x
7
1
1
1
1
1
1
1
x
1
x
3
x
5
1
x7
1
1
1
1
x
1
x
3
x
5
x
7
2
2
x
1
x
3
x
5
x
7
2x
5
x
7
2x
1
x
3
x
1
x
3
x
5
x
7
16x
64
.
x
1
x
3
x
5
x
7
点评:
本题考查在分式运算中的技巧问题,要认真分析题目特点,找出简便的解题方法,此类型的题在解分式方程中也常见到.
5.二次根式
式子a(a0)叫做二次根式,二次根式必须满足:
①含有二次根号“”;
②被开方数a必须是非负数.如5,(ab)2,a3(a3)都是二次根式
若二次根式满足:
①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不
含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫最简二次根式,如5a,
3x2y2,a2b2是最简二次根式,而a,ab2,48ab2,1就不
bx
是最简二次根式.
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤:
①如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化进行化简.
②如果被开方数是整数或整式,先将它分解因数或因式,然后把能开得尽方
的因数或因式开出来.
几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫同类二次根式.
注意:
当几个二次根式的被开方数相同时,也可以直接看出它们是同类二次根式.如24和324一定是同类二次根式.
合并同类二次根式就是把几个同类二次根式合并成一个二次根式.合并同类二次根式的方法和合并同类项类似,把根号外面的因式相加,根式指数和被开方数都不变.
把分母中的根号化去,叫分母有理化.如
1
3
1
3
1
3
1
3
1.
(31)(31)
3
1
2
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,那么这两
个代数式互为有理化因式.如
31和31;3
2和3
2;a和a;
aba和aba都是互为有理化因式.
注意:
二次根式的除法,往往是先写成分子、分母的形式,然后利用分母有
理
化
来
运
算
.
如
3(3
7)
3
3(3
7)
33
2133
21.
3
7
(37)(3
7)
32
(7)2
2
(1)(
a)2
a(a
0).
(2)a2aa(a0),a(a0).
(3)
ab
a
b(a0,b0).
(4)
a
a(a
0,b
0)
b
b
二次根式的加减法法则:
(1)先把各个二次根式化成最简二次根式;
(2)找出其中的同类二次根式;
(3)再把同类二次根式分别合并.二次根式的乘法法则:
两个二次根式相乘,被开方数相乘,根指数不变.即:
abab(a,b0).此法则可以推广到多个二次根式的情况.二次根式的除法法则:
两个二次根式相除,被开方数相除,根指数不变,即:
a
a
b
(a0,b0).此法则可以推广到多个二次根式的情况.
b
二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样,
先乘方,再乘除,最后加减,
有括号的先算括号里的(或先去掉括号).
例1、计算:
2
2
.
12361236
分析:
此题一般的做法是先分母有理化,
再计算,但由于1
236分
母有理化比较麻烦,我们应注意到1
2
3
6
2131;
1
2
3
6
2
1
3
1
,这样做起来就比较简便.
解:
2
2
1
2
3
6
1
2
3
6
2
2
2
1
3
1
2
1
3
1
2
2
1
3
1
2
2
1
3
1
2
2
2
1
2
1
3
1
2
3
1
2
3
2.
例2、计算:
5
2
7
3
1
.
2
3
3
5
3
5
5
7
5
7
分析:
按一般的方法做起来比较麻烦,注意题目的结构特点,逆用分式加、
减法的运算法则“11ba”进行变换,进而运用“互为相反数的和为零”
a
b
ab
的性质来化简.
解:
52
5
3
3
2;7
3
7
5
53,
原式
1
1
1
1
1
2
3
3
5
3
5
5
7
5
7
1
2
3
3
2.
例3、已知x
3
,a是x的整数部分,b是x的小数部分,求a
b的
7
2
a
b
值.
分析:
先将x分母有理化,求出a,b的值,再求代数式的值.
解:
3
7
2,
x
72
又273,
4
x
5.
a
4,b
724
72
.
ab4
72
67
677
2
8719.
ab
4
72
72
727
2
3
二次根式的化简技巧
一、
巧用公式法
例1计算a2ba
b
ab
b
a
b
a
分析:
本例初看似乎很复杂,其实只要你掌握好了公式,问题就简单了,因为
a与
b成
立,且分式也成立,故有a>0,b>0,ab0
而同时公式:
a
b2=a2-2ab+b2,a2
-b2=abab,可以帮助我们将
a2ab
b和
ab变形,所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。
a
b
2
a
b
a
b=
解:
原式=
+
a
b
+
a
b=2
a-2
b
a
b
a
b
二、适当配方法。
例2.计算:
3
2
2
2
3
3
6
1
分析:
本题主要应该从已知式子入手发现特点,∵分母含有
1+
2
3其分子必有含
1+2
3
3+2
2=
1
2
3
6
31
2,通过因
的因式,于是可以发现
2
,且
式分解,分子所含的
1+
2
3的因式就出来了。
解:
原式=32
6=1
2
2
2
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