学年苏科版七年级下册 第7章 《平面图形的认识二》 单元高频易错必刷题三有答案.docx
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学年苏科版七年级下册第7章《平面图形的认识二》单元高频易错必刷题三有答案
2020--2021学年七年级下册第7章《平面图形的认识
(二)》
单元高频易错必刷题(三)
1.问题情境:
如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC度数.
思路点拨:
小明的思路是:
如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质,可分别求出∠APE、∠CPE的度数,从而可求出∠APC的度数;
小丽的思路是:
如图3,连接AC,通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数;
小芳的思路是:
如图4,延长AP交DC的延长线于E,通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数.
问题解决:
请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算,你求得的∠APC的度数为 °;
问题迁移:
(1)如图5,AD∥BC,点P在射线OM上运动,当点P在A、B两点之间运动时,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系?
请说明理由;
(2)在
(1)的条件下,如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合),请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系.
2.数学概念
XX百科这样定义凹四边形:
把四边形的某些边向两方延长,其他各边有不在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凹四边形.
如图①,在四边形ABCD中,画出DC所在直线MN,边BC、AD分别在直线MN的两旁,则四边形ABCD就是凹四边形.
性质初探
(1)在图①所示的凹四边形ABCD中,求证:
∠BCD=∠A+∠B+∠D.
深入研究
(2)如图②,在凹四边形ABCD中,AB与CD所在直线垂直,AD与BC所在直线垂直,∠B、∠D的角平分线相交于点E.
①求证:
∠A+∠BCD=180°;
②随着∠A的变化,∠BED的大小会发生变化吗?
如果有变化,请探索∠BED与∠A的数量关系;如果没有变化,请求出∠BED的度数.
3.已知△ABC,P是平面内任意一点(A、B、C、P中任意三点都不在同一直线上).连接PB、PC,设∠PBA=s°,∠PCA=t°,∠BPC=x°,∠BAC=y°.
(1)如图,当点P在△ABC内时,
①若y=70,s=10,t=20,则x= ;
②探究s、t、x、y之间的数量关系,并证明你得到的结论.
(2)当点P在△ABC外时,直接写出s、t、x、y之间所有可能的数量关系,并画出相应的图形.
4.如图所示,有一块直角三角板DEF(足够大),其中∠EDF=90°,把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上,三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C.
(1)若∠A=40°,则∠ABC+∠ACB= °,∠DBC+∠DCB= °∠ABD+∠ACD= °.
(2)若∠A=55°,则∠ABD+∠ACD= °.
(3)请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系 .
5.问题情境:
如图1,已知AB∥CD,∠APC=108°.求∠PAB+∠PCD的度数.
经过思考,小敏的思路是:
如图2,过P作PE∥AB,根据平行线有关性质,可得∠PAB+∠PCD= .
问题迁移:
如图3,AD∥BC,点P在射线OM上运动,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.
(1)当点P在A、B两点之间运动时,∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系?
请说明理由.
(2)如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合),请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系.
问题拓展:
如图4,MA1∥NAn,A1﹣B1﹣A2﹣…﹣Bn﹣1﹣An是一条折线段.依据此图信息,把你所发现的结论,用简洁的数学式子表达为 .
6.如图,AB∥CD,E交AB于点H、交CD于点M,MN平分∠DMH交AB于点G,∠AHE=36°.
(1)求∠CMF的度数;
(2)求∠BGM的度数.
7.如图,已知∠EDC=∠GFD,∠DEF+∠AGF=180°.
(1)请判断AB与EF的位置关系,并说明理由;
(2)请过点G作线段GH⊥EF,垂足为H,若∠DEF=30°,求∠FGH的度数.
8.已知:
如图,∠AOB=α,OC平分∠AOB,D是边OA上一点,将射线OB沿OD平移至射线DE,交OC于点F,E在F右侧.M是射线DA上一点(与D不重合),N是线段DF上一点(与D,F不重合),连接MN,∠OMN=β.
(1)请在图1中根据题意补全图形;
(2)求∠MNE的度数(用含α,β的式子表示);
(3)点G在线段OF上(与O,F不重合),连接GN并延长交OA于点H,且满足2∠NGO+∠OMN=180°,画出符合题意的图形,并探究∠ENM与∠ENG的数量关系.
9.在△ABC中,BD是△ABC的角平分线,点E在射线DC上,EF⊥BC于点F,EM平分∠AEF交直线AB于点M.
(1)如图1,点E在线段DC上,若∠A=90°,∠M=α.
①∠AEF= ;(用含α的式子表示)
②求证:
BD∥ME;
(2)如图2,点E在DC的延长线上,EM交BD的延长线于点N,用等式表示∠BNE与∠BAC的数量关系,并证明.
10.补全解答过程:
如图,∠1+∠2=180°,∠3=∠A.
求证:
∠B=∠C.
证明:
∵∠1+∠2=180°,
∴ (同旁内角互补,两直线平行).
∴∠3=∠D( ).
又∵∠3=∠A,
∴ .
∴AB∥CD( ).
∴∠B=∠C( ).
参考答案
1.解:
小明的思路:
如图2,过P作PE∥AB,
∵AB∥CD,
∴PE∥AB∥CD,
∴∠APE=180°﹣∠A=50°,∠CPE=180°﹣∠C=60°,
∴∠APC=50°+60°=110°,
故答案为:
110;
(1)∠CPD=∠α+∠β,理由如下:
如图5,过P作PE∥AD交CD于E,
∵AD∥BC,
∴AD∥PE∥BC,
∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β;
(2)当P在BA延长线时,∠CPD=∠β﹣∠α;
理由:
如图6,过P作PE∥AD交CD于E,
∵AD∥BC,
∴AD∥PE∥BC,
∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,
∴∠CPD=∠CPE﹣∠DPE=∠β﹣∠α;
当P在BO之间时,∠CPD=∠α﹣∠β.
理由:
如图7,过P作PE∥AD交CD于E,
∵AD∥BC,
∴AD∥PE∥BC,
∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,
∴∠CPD=∠DPE﹣∠CPE=∠α﹣∠β.
2.
(1)证明:
如图①,延长DC交AB于点E,
∵∠BEC是△AED的一个外角,
∴∠A+∠D=∠BEC,
同理,∠B+∠BEC=∠BCD,
∴BCD=∠A+∠B+∠D.
(2)①证明:
如图②,延长BC、DC分别交AD、BC于点F、G,
由题意可知,∠AFC=∠AGC=90°,
∵在四边形AFCG中,∠AFC+∠AGC+∠A+∠FCG=360°,
∴∠A+∠FCG=180°,
∵∠FCG=∠BCD,
∴∠A+∠BCD=180°;
②解:
由
(1)可知,在凹四边形ABED中,
∠A+∠ABE+∠ADE=∠BED①,
同理,在凹四边形EBCD中,
∠BED+∠EBC+∠EDC=∠BCD②,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC,
同理,∠ADE=∠EDC,
①﹣②得∠A+∠BCD=2∠BED,
由
(2)①可知,在凹四边形ABCD中,∠A+∠BCD=180°,
∴2∠BED=180°,
∴∠BED=90°.
2.解:
(1)①∵∠BAC=70°,
∴∠ABC+∠ACB=110°,
∵∠PBA=10°,∠PCA=20°,
∴∠PBC+∠PCB=80°,
∴∠BPC=100°,
∴x=100,
故答案为100.
②结论:
x=y+s+t.
理由:
∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°,∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°,
∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC,
∴x=y+s+t.
(2)s、t、x、y之间所有可能的数量关系:
如图1:
s+x=t+y;
如图2:
s+y=t+x;
如图3:
y=x+s+t;
如图4:
x+y+s+t=360°;
如图5:
t=s+x+y;
如图6:
s=t+x+y;
.
4.解:
(1)在△ABC中,∵∠A=40°,
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°,
在△DBC中,∵∠BDC=90°,
∴∠DBC+∠DCB=180°﹣90°=90°,
∴∠ABD+∠ACD=140°﹣90°=50°;
故答案为:
140;90;50.
(2)在△ABC中,∵∠A=55°,
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣55°=125°,
在△DBC中,∵∠BDC=90°,
∴∠DBC+∠DCB=180°﹣90°=90°,
∴∠ABD+∠ACD=125°﹣90°=35°,
故答案为:
35;
(3)∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为:
∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A.证明如下:
在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A.
在△DBC中,∠DBC+∠DCB=90°.
∴∠ABC+∠ACB﹣(∠DBC+∠DCB)=180°﹣∠A﹣90°.
∴∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A,
故答案为:
∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A.
5.解:
如图2,过P作PE∥AB,
∵AB∥CD,
∴PE∥AB∥CD,
∴∠PAB+∠APE=180°,∠PCD+∠CPE=180°,
∵∠APC=108°,
∴∠PAB+∠PCD=360°﹣108°=252°;
故答案为:
252°;
(1)∠CPD=∠α+∠β,理由如下:
如图3,过P作PE∥AD交CD于E,
∵AD∥BC,
∴AD∥PE∥BC,
∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β;
(2)当P在BA延长线时,∠CPD=∠β﹣∠α;理由:
如图3﹣1,过P作PE∥AD交CD于E,
∵AD∥BC,
∴AD∥PE∥BC,
∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,
∴∠CPD=∠CPE﹣∠DPE=∠β﹣∠α;
当P在BO之间时,∠CPD=∠α﹣∠β.理由:
如图3﹣2,过P作PE∥AD交CD于E,
∵AD∥BC,
∴AD∥PE∥BC,
∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,
∴∠CPD=∠DPE﹣∠CPE=∠α﹣∠β.
问题拓展:
分别过A2,A3…,An﹣1作直线∥A1M,过B1,B2,…,Bn﹣1作直线∥A1M,
由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.
故答案为:
∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.
6.解:
(1)∵AB∥CD,
∴∠EMC=∠AHE=36°,
∴∠CMF=180°﹣36°=144°;
(2)∠DME=∠CMF=144°,
∵MN平分∠DMH交AB于点G,
∴∠DMN=72°,
∵AB∥CD,
∴∠BGM=108°.
7.解:
(1)AB∥EF,
理由是:
∵∠EDC=∠GFD,
∴DE∥GF,
∴∠DEF=∠GFE,
∵∠DEF+∠AGF=180°,
∴∠GFE+∠AGF=180°,
∴AB∥EF;
(2)如图,
∵GH⊥EF,
∴∠GHF=90°,
∵GF∥DE,∠DEF=30°,
∴∠GFE=∠DEF=30°,
∴∠FGH=180°﹣∠GHF﹣∠GFE=180°﹣90°﹣30°=60°.
8.解:
(1)图形如图所示.
(2)∵OC平分∠AOB,
∴∠AOC=∠BOC=
α,
∵DE∥OB,
∴∠DFO=∠BOC=
α,
∴∠ENM=∠OMN+∠MDN=β+∠DOF+∠DFO=β+α.
(3)结论:
∠ENM=180°﹣2∠ENG.
理由:
如图,设直线GN交OA于T.∠NGO=γ.
∵∠ENM=α+β=α+180°﹣2γ=180°+α﹣2γ,
∵∠ENG=∠DNT=∠MTN﹣∠ADF=∠AOC+∠NGO﹣∠ADF=
α+γ﹣α=γ﹣
α,
∴∠ENM=180°﹣2∠ENG.
9.解:
(1)①∵∠A=90°,∠M=α,
∴∠AEM=180°﹣90°﹣α=90°﹣α,
∵EM平分∠AEF,
∴∠AEF=2∠AEM=180°﹣2α,
故答案为:
180°﹣2α;
②证明:
∵EF⊥BC,
∴∠EFC=90°,
∵∠A=90°,
∴∠C+∠ABC=90°,
∴∠CEF=∠ABC,
∵∠AEF=180°﹣2α,
∴∠CEF=2α,
∴∠ABC=2α,
∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠ABD=
ABC=α,
∴∠ABD=∠M,
∴BD∥ME;
(2)2∠BNE=90°+∠BAC,
证明:
∵BD平分∠ABC,EM平分∠AEF,
设∠ABD=x,∠AEM=y,
∴∠ABC=2x,∠AEF=2y,
∵∠ABD+∠BAD=180°﹣∠ADB,
∠NED+∠END=180°﹣∠NDE,
∵∠ADB=∠NDE,
∴∠ABD+∠BAD=∠NED+∠END,
∴x+∠BAD=y+∠END,
∴x﹣y=∠END﹣∠BAD,
同理,∠ABC+∠BAC=∠FEC+∠EFC,
∴2x+∠BAC=2y+∠EFC,
∴2x﹣2y=∠EFC﹣∠BAC,
∵EF⊥BC,
∴∠EFC=90°,
∴2(x﹣y)=90°﹣∠BAC,
∴2(∠END﹣∠BAD)=90°﹣∠BAC,
即2(∠BNE﹣∠BAC)=90°﹣∠BAC,
∴2∠BNE=90°+∠BAC.
10.证明:
∵∠1+∠2=180°,
∴AD∥EF(同旁内角互补,两直线平行).
∴∠3=∠D(两直线平行,同位角相等).
又∵∠3=∠A,
∴∠A=∠D.
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等).
故答案为:
AD∥EF;两直线平行,同位角相等;∠A=∠D;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等.
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