四年级奥数第13讲数数图形教.docx
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四年级奥数第13讲数数图形教
学科教师辅导讲义
学员编号:
年级:
四年级
课时数:
3
学员姓名:
辅导科目:
奥数
学科教师:
授课主题
第13讲-数数图形
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
①认识了解线段、角、三角形、长方形等基本图形;
②学会数基本图形的个数;
③掌握数图形的规律。
授课日期及时段
T(Textbook-Based)——同步课堂
一、学会数图形
同学们,你想学会数图形的方法吗?
要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必
须要有次序、有条理地数,从中发现规律,以便得到正确的结果。
要正确数出图形的个数,关键是要从基本图形入手。
首先要弄清图形中包含的基本图形是什么,有多少个,
然后再数出由基本图形组成的新的图形,并求出它们的和。
当我们识了线段、角、三角形、长方形等基本图形后,这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。
要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数,就需要仔细地观察,灵活地运用有关的知识和思考方法,掌握数图形的规律,才能获得正确的结果。
二、解题策略
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点:
1.弄清被数图形的特征和变化规律。
2.要按一定的顺序数,做到不重复,不遗漏。
考点一:
基本图形
例1、数出下图中有多少条线段?
【解析】方法一:
我们可以采用以线段左端点分类数的方法。
以A点为左端点的线段有:
AB、AC、AD3条;以B点为左端点的线段有:
BC、BD2条;以C点为左端点的线段有:
CD1条。
所以,图中共有线段3+2+1=6(条)。
方法二:
把图中线段AB、BC、CD看做基本线段来数,那么,由1条基本线段构成的线段有:
AB、BC、CD3条;由2条基本线段构成的线段有:
AC、BD2条;由3条基本线段构成的线段有:
AD1条。
所以,图中一共有3+2+1=6(条)线段。
例2、数出图中有几个角?
【解析】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
方法一:
以OA为一边的角有:
∠AOB、∠AOC、∠AOD3个;以OB为一边的角还有:
∠BOC、∠BOD2个;以OC为一边的角还有:
∠COD1个。
所以,图中共有角3+2+1=6(个)。
方法二:
把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做基本角来数,那么,由1个基本角构成的角有:
∠AOB、∠BOC、∠COD3个;由2个基本角构成的角有:
∠AOC、∠BOD2个;由3个基本角构成的角有:
∠AOD1个。
所以,图中一共有3+2+1=6(个)角。
例3、数出右图中共有多少个三角形?
【解析】方法一:
我们可以采用按边分类数的方法。
以PA为边的三角形有:
△PAB、△PAC、△PAD、3个;以PB为边的三角形还有:
△PBC、△PBD2个;以PC为边的三角形还有:
△PCD1个。
所以,图中共有三角形3+2+1=6(个)。
方法二:
把图中三角形△PAB、△PBC、△PCD看做基本三角形来数,那么,由1个基本三角形构成的三角形有:
△PAB、△PBC、△PCD3个;由2个基本三角形构成的三角形有:
△PAC、△PBD2个;由3个基本三角形构成的三角形有:
△PAD1个。
所以,图中一共有3+2+1=6(个)三角形。
方法三:
我们发现,要数出图中三角形的个数,只需数出线段AD中包含几条线段就可以了,即3+2+1=6(个)。
所以图中共有6个三角形。
例4、数出下图中有多少个长方形?
【解析】数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样,长方形是由长、宽两对线段围成,线段CD上有3+2+1=6(条)线段,其中每一条与AC中一条线段对应,分别作为长方形的长和宽,这里共有6×1=6(个)长方形,而AC上共有2+1=3(条)线段也就有6×3=18(个)长方形。
它的计算公式为:
长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数:
(3+2+1)×(2+1)=18(个)
例5、数一数,下图中有多少个正方形?
(每个小方格是边长为1的正方形)
【解析】图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个,边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个,边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个。
所以图中的正方形总数为:
1+4+9=14个。
经进一步分析可以发现,由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为:
1×1+2×2+…+n×n。
考点二:
较复杂的问题
例1、有5个同学,每两个人握手一次,一共要握手多少次?
【解析】这道题可以用数线段的方法来解答。
根据题意,画出线段图,每一个端点代表一个同学。
从图上可以看出,第1个同学要与其余4个同学握手共握手4次;第2个同学还要与其余3个同学握手共握手3次,第3个同学要与其余2个同学握手共握手2次;第4个同学还要与最后1个同学握手共握手1次。
所以,一共要握手4+3+2+1=10(次)
例2、从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站,铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票?
这些车票中有多少种不同的票价?
【解析】这道题是数线段的方法在实际生活中的应用,连同广州、北京在内,这条铁路上共有10个站,共有1+2+3+…+9=45条线段,因此要准备45种不同的车票。
由于这些车站之间的距离各不相等,因此,有多少种不同的车票,就有多少种不同的票价,所以共有45种不同的票价。
例3、求下列图中线段长度的总和。
(单位:
厘米)
【解析】要求图中的线段长度总和,可以这样计算:
AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE
=1+(1+4)+(1+4+2)+(1+4+2+3)+4+(4+2)+(4+2+3)+2+(2+3)=352厘米
从上面的计算中可以发现这样一个规律,算式中长1厘米的基本线段(我们把不能再划分的线段称为基本线段)出现了4次,长4厘米的线段出现了(3×2)次,长2厘米的线段出现了(2×3)次,长3厘米的线段出现了(1×4)次,所以,各线段长度的总和还可以这样算:
1×4+4×(3×2)+2×(2×3)+3×(1×4)
=1×(5-1)+4×(5-2)×2+2×(5-3)×3+3×(5-4)×4=52厘米
上式中的5是线段上的5个点,如果设线段上的点数为n,基本线段分别为a1、a2、…a(n-1)。
以上各线段长度的总和为L,那么L=a1×(n-1)×1+a2×(n-2)×2+a3×(n-3)×3+…+a(n-1)×1×(n-1)
例4、下图中共有多少个三角形?
【解析】为了保证不漏数又不重复,我们可以分类来数三角形,然后再把数出的各类三角形的个数相加。
(1)图中共有6个小三角形;
(2)由两个小三角形组合的三角形有3个;
(3)由三个小三角形组合的三角形有4个;
(4)由六个小三角形组合的三角形有1个。
所以共有6+3+4+1=14个三角形。
例5、数出下图中所有三角形的个数。
【解析】和三角形AFG一样形状的三角形有5个;和三角形ABF一样形状的三角形有10个;和三角形ABG一样形状的三角形有5个;和三角形ABE一样形的三角形有5个;和三角形AMD一样形状的三角形有5个,共35个三角形。
例6、如下图,平面上有12个点,可任意取其中四个点围成一个正方形,这样的正方形有多少个?
【解析】把相邻的两点连接起来可以得到下面图形,从图中可以看出:
(1)最小的正方形有6个;
(2)由4个小正方形组合而成的正方形有2个;
(3)中间还可围成2个正方形。
所以共有6+2+2=10个。
例7、数一数,下图中共有多少个三角形?
我们可以分类来数:
1、单一的小三角形有16个;
2、两个小三角形组合的有10个;
3、四个小三角形组合的有8个;
4、八个小三角形组合的有2个。
所以,图中一共有16+10+8+2=36个三角形。
P(Practice-Oriented)——实战演练
Ø课堂狙击
1、数出下图中有多少条线段?
【解析】我们可以采用以线段左端点分类数的方法。
以A点为左端点的线段有4条;以B点为左端点的线段有3条;以C点为左端点的线段有2条,以D点为左端点的线段有1条。
所以图中共有线段4+3+2+1=10(条)。
2、数出图中有几个角?
【解析】以OA为一边的角有2个;以OB为一边的角还有1个;以OC为一边的角还有:
∠COD1个。
所以,图中共有角2+1=3(个)。
3、数出图中共有多少个三角形?
【解析】我们可以采用按边分类数的方法。
以BA为边的三角形有4个;以AC为边的三角形还有3个;以AD为边的三角形还有2个,以AE为边的三角形还有1个。
所以,图中共有三角形4+3+2+1=10(个)。
4、数出下图中有多少个长方形?
【解析】长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数:
(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个)
5、银海学校三年级有9个班,每两个班要比赛拔河一次,这样一共要拔河几次?
【解析】第一个班要和其余8个班比赛一次,第二个班又要和剩下7个班比赛一次,依次下去,总数是:
8+7+6+5+4+3+2+1=36场。
6、从上海到武汉的航运线途中,有9个停靠码头,航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票?
【解析】算上上海、武汉一共有11个码头,一共有10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55条线段,那么算上往返的船票,一共是110种。
7、数一数,图中共有多少个三角形。
【解析】一共有22+10=32个。
8、下图中共有8个点,连接任意四点围成一个长方形,一共能围成多少个长方形?
【解析】
一共3+2+1=6个。
Ø课后反击
1、数出下图中有几个长方形?
【解析】一共5+4+3+2+1=15个。
2、数出图中有几个角?
【解析】一共4+3+2+1=10个。
3、数出图中共有多少个三角形?
【解析】一共有(4+3+2+1)+(4+3+2+1)=20个。
4、数出下图中有多少个长方形?
【解析】一共有:
4+1+1+1=7个。
5、有1,2,3,4,5,6,7,8等8个数字各用一次,能组成多少个不同的两位数?
【解析】个位为8,十位可以有7种;个位为7,十位也可以有7种;依次推,最后一共有:
56种。
6、从上海至青岛的某次直快列车,中途要停靠6个大站,这次列车有几种不同票价?
【解析】一共有8个站,那么一共有:
7+6+5+4+3+2+1=28条线段,那么一共有28种票价。
7、下面图中共有多少个三角形?
【解析】一共有:
5+6+2+1=14个。
8、下图中共有多少个正方形,多少个三角形?
【解析】正方形一共有:
4+4+1+1=10个;
三角形一共有:
16+16+8+4=44个。
9、下图中共有6个点,连接其中的三点围成一个三角形,一共能围成多少个三角形?
【解析】一共有5个。
1、下边三个图中都有一些三角形,在图A中,有个;在图B中,有___个;在图C中,有______个。
(第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试)
【解析】5;8;5
2、数一数,图中有_________个三角形。
(第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试)
【解析】一共20个。
S(Summary-Embedded)——归纳总结
(1)认识了解线段、角、三角形、长方形等基本图形;
(2)学会数基本图形的个数;
(3)掌握数图形的规律
重点和难点突破:
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点:
1.弄清被数图形的特征和变化规律。
2.要按一定的顺序数,做到不重复,不遗漏。
Ø本节课我学到了
Ø我需要努力的地方是
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- 四年级 奥数第 13 数数 图形