数学建模作业实验2.docx
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数学建模作业实验2.docx
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数学建模作业实验2
数学建模作业——实验2
学院:
软件学院
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日期:
2016年5月25日
基本实验
1.生产安排问题
某公司使用三种操作装配三种玩具——玩具火车、玩具卡车和玩具汽车。
对于三种操作可用时间限制分别为每天430分钟、460分钟和420分钟,玩具火车、玩具卡车和玩具汽车的单位收入分别是3美元、2美元和5美元。
每辆玩具火车在三种操作的装配时间分别是1分钟、3分钟和1分钟。
每辆玩具卡车和每辆玩具汽车相应的时间是(2,0,4)和(1,2,0)分钟(0分钟表示不使用该项操作)。
(1)将问题建立成一个线性规划模型,确定最优的生产方案。
(2)对于操作1,假定超过它当前每天430分钟能力的任何附加时间必须依靠每小时50美元的加班获得。
每小时成本包括劳动力和机器运行费两方面。
对于操作1,使用加班在经济上有利吗?
如果有利,最多增加多少时间?
(3)假定操作2的操作员已同意每天加班工作2小时,其加班费是45美元一小时。
还有操作自身的成本是一小时10美元。
这项活动对于每天收入的实际结果是什么?
(4)操作3需要加班时间吗?
答:
(1)设三种玩具的日产量为x1,x2,x3,最优生产方案为:
max=3x1+2x2+5x3
约束条件
x1+3x2+x3<430
2x1+4x3<460
x1+2x2<420
x1,x2,x3为整数
LINGO语句:
Max=3*x1+2*x2+5*x3;
X1+3*x2+x3<430;
2*x1+4*x3<460;
X1+2*x2<420;
@gin(X1);@gin(X2);@gin(X3);
运算结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
823.0000
Objectivebound:
823.0000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
3
ModelClass:
PILP
Totalvariables:
3
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
3
Totalconstraints:
4
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
10
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
X1228.0000-3.000000
X267.00000-2.000000
X31.000000-5.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1823.00001.000000
20.0000000.000000
30.0000000.000000
458.000000.000000
利润最大化最优生产方案:
玩具火车生产228辆,玩具卡车生产67辆,玩具汽车生产1辆,总共可获利润823美元。
(2)假设操作1每天加班t分钟,则有:
Max=3*x1+2*x2+5*x3-t/60*50;
X1+3*x2+x3<430+t;
2*x1+4*x3<460;
X1+2*x2<420;
@gin(X1);@gin(X2);@gin(X3);@gin(t);
运算结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
823.1667
Objectivebound:
823.1667
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
2
ModelClass:
PILP
Totalvariables:
4
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
4
Totalconstraints:
4
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
12
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
X1230.0000-3.000000
X267.00000-2.000000
X30.000000-5.000000
T1.0000000.8333333
RowSlackorSurplusDualPrice
1823.16671.000000
20.0000000.000000
30.0000000.000000
456.000000.000000
操作1加班,最终的利润仍然为823美元,并未增加。
所以,对于操作1,加班并不能带来经济上的利益。
(3)
Max=3*x1+2*x2+5*x3-2*(45+10);
X1+3*x2+x3<430;
2*x1+4*x3<460+60;
X1+2*x2<420;
@gin(X1);@gin(X2);@gin(X3);
运算结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
783.0000
Objectivebound:
783.0000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
3
ModelClass:
PILP
Totalvariables:
3
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
3
Totalconstraints:
4
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
10
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
X1258.0000-3.000000
X257.00000-2.000000
X31.000000-5.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1783.00001.000000
20.0000000.000000
30.0000000.000000
448.000000.000000
操作2加班2小时的结果是利润低了823-783=40美元。
(4)假设操作3加班t1,则有:
Max=3*x1+2*x2+5*x3;
X1+3*x2+x3<430;
2*x1+4*x3<460;
X1+2*x2<420+t1;
@gin(X1);@gin(X2);@gin(X3);@gin(t1);
运算结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
823.0000
Objectivebound:
823.0000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
3
ModelClass:
PILP
Totalvariables:
4
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
4
Totalconstraints:
4
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
11
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
X1228.0000-3.000000
X267.00000-2.000000
X31.000000-5.000000
T196.000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1823.00001.000000
20.0000000.000000
30.0000000.000000
4154.00000.000000
利润与不加班完全一样,所以,操作3不需要加班。
2.动物饲料制造
有一家牛饲料公司要生产两种类型的动物饲料:
粉状饲料和颗粒饲料。
生产这些饲料所需的原料有:
燕麦、玉米和糖渣。
首先需要将这些原料(糖渣除外)磨碎,然后将所有原料混合形成饲料产品。
在最后一个生产工序中,需要将半成品制成颗粒状或粉末状,从而得到最终产品。
生产流程如图2.1所示。
表2.2列出了每天各种原料的可用来以及对应的价格。
表2.3列出了各道工序的成本。
如果每天需求量为9000千克颗粒饲料,12000千克粉末饲料,则各种原材料应分别使用多少,并应怎样进行混合才能够使总成本最低?
答:
设需燕麦X1千克,玉米X2千克,糖渣X3千克,LINGO语句如下:
MIN=1.3*X1+1.7*X2+1.2*X3+2.5*(X1+X2)+0.5*(X1+X2+X3)+
4.2*9000+1.7*12000;
(13.6*X1+4.1*X2+5.0*X3)/(X1+X2+X3)>9.5;
(7.1*X1+2.4*X2+0.3*X3)/(X1+X2+X3)>2;
(7.0*X1+3.7*X2+25*X3)/(X1+X2+X3)<6;
X1+X2+X3=9000+12000;
X1<11900;X2<23500;X3<750;
@gin(X1);@gin(X2);@gin(X3);
运算结果:
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
150868.4
Objectivebound:
150868.4
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
6
Totalsolveriterations:
313
ModelClass:
PINLP
Totalvariables:
3
Nonlinearvariables:
3
Integervariables:
3
Totalconstraints:
8
Nonlinearconstraints:
3
Totalnonzeros:
18
Nonlinearnonzeros:
9
VariableValue
X111899.00
X28677.000
X3424.0000
RowSlackorSurplusDualPrice
1150868.4-1.000000
20.1052381E-020.000000
33.0207100.000000
40.1000000E-030.000000
50.0000000.000000
61.0000000.000000
714823.000.000000
8326.00000.000000
所需燕麦11899千克,玉米8677千克,糖渣424千克,这样混合可以使得总成本最低,最低值为150868.4元。
3.投资问题
假设投资者有如下四个投资机会:
(A)在三年内,投资人应在每年的年初投资,每年每元投资可获利息0.2元,每年取息后可重新将本息投入生息。
(B)在三年内,投资人应在第一年年初投资,每两年每元投资可获利息0.5元。
两年后取息,可重新将本息投入生息。
这种投资最多不得超过20万元。
(C)在三年内,投资人在第二年年初投资,两年后每元可获利息0.6元,这种投资最多不得超过15万元。
(D)在三年内,投资人应在第三年年初投资,一年内每元可获利息0.4元,这种投资不得超过10万元。
假定在这三年为一期的投资中,每期的开始有30万元的资金可供投资,投资人应怎样决定投资计划,才能在第三年底获得最高的的收益。
答:
设Xij为第i年年初投资j产品的金额(i=1,2,3;j=A,B,C,D),则可得LINGO语句:
X1A+X1B<30;
X1B<20;
X2A+X2C<30-X1B+0.2*X1A;
X2C<15;
X3A+X3D<0.2*X2A+0.5*X1B+30;
X3D<10;
MAX=X3A+X3D+X3A*0.2+X3D*0.4;
运算结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
52.88000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
0
ModelClass:
LP
Totalvariables:
6
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
0
Totalconstraints:
7
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
15
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
X1A10.000000.000000
X1B20.000000.000000
X2A12.000000.000000
X2C0.0000000.2400000
X3A32.400000.000000
X3D10.000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
10.0000000.4800000E-01
20.0000000.3120000
30.0000000.2400000
415.000000.000000
50.0000001.200000
60.0000000.2000000
752.880001.000000
最优投资计划:
第一年A产品投资10万元,B产品投资20万元;第二年A产品投资12万元,C产品不投资;第三年A产品投资32.4万元,D产品投资10万元。
最后收获本息共计52.88万元。
4.自行车生产规划
有一家工厂生产儿童自行车,在表2.4中给出了明年预期销售量(以千辆为单位),此公司的生产能力为每个月30千辆自行车.通过工人加班,可以将产量提高50%,但会将每辆自行车的生产成本从30欧元提高到40欧元。
表2.4明年的销售预期(千辆)
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
销售量
30
15
15
25
33
40
45
45
26
14
25
30
当前自行车的库存量为2千辆.对于库存中的每辆自行车,在每个月月底都需要支付5欧元的存储费用,并假定此公司的库存能力是无限的.现在是1月1日,在今后的12个月里面每个月应生产和存储多少辆自行车才能满足此销售预期,并最小化总成本?
答:
设i月的正常产量为Xi,库存量为Yi,加班产量Zi,预期销量为Ai,i取值1…12.
则总成本最小为:
MIN=
;
Xi+Y(i-1)+Zi=Ai+Yi;
Xi≤30;Zi≤15;Y(0)=2;
Ai={30,15,15,25,33,40,45,45,26,14,25,30}
LINGO语句:
Model:
SETS:
MONTH/1..12/:
X,Y,Z,A;
ENDSETS
DATA:
A=30,15,15,25,33,40,45,45,26,14,25,30;
ENDDATA
MIN=@SUM(MONTH:
30*X+5*Y+40*Z);
X
(1)+Z
(1)+2=A
(1)+Y
(1);
@FOR(MONTH(i)|i#gt#1:
X(i)+Y(i-1)+Z(i)=Y(i)+A(i));
@FOR(MONTH(i):
X(i)<=30;Z(i)<=15);
End
运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
10645.00
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
15
ModelClass:
LP
Totalvariables:
36
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
0
Totalconstraints:
37
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
107
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
X
(1)28.000000.000000
X
(2)15.000000.000000
X(3)15.000000.000000
X(4)28.000000.000000
X(5)30.000000.000000
X(6)30.000000.000000
X(7)30.000000.000000
X(8)30.000000.000000
X(9)26.000000.000000
X(10)14.000000.000000
X(11)25.000000.000000
X(12)30.000000.000000
Y(4)3.0000000.000000
Z(6)10.000000.000000
Z(7)15.000000.000000
Z(8)15.000000.000000
A
(1)30.000000.000000
A
(2)15.000000.000000
A(3)15.000000.000000
A(4)25.000000.000000
A(5)33.000000.000000
A(6)40.000000.000000
A(7)45.000000.000000
A(8)45.000000.000000
A(9)26.000000.000000
A(10)14.000000.000000
A(11)25.000000.000000
A(12)30.000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
20.000000-30.00000
30.000000-30.00000
40.000000-30.00000
50.000000-30.00000
60.000000-35.00000
70.000000-40.00000
80.000000-45.00000
90.000000-50.00000
100.000000-30.00000
110.000000-30.00000
120.000000-30.00000
130.000000-35.00000
220.0000005.000000
240.00000010.00000
260.00000015.00000
270.0000005.000000
280.00000020.00000
290.00000010.00000
360.0000005.000000
依据上述运算可得:
最优排产的成本为10645千欧元=10645000欧元。
4月库存3千辆,6月加班生产10千辆,7月和8月加班生产15千辆,其余月份按需求量正常生产,无库存,无加班。
最优排产表如下:
最优排产表(千辆)
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
销售量
30
15
15
25
33
40
45
45
26
14
25
30
正常生产
28
15
15
28
30
30
30
30
26
14
25
30
加班生产
0
0
0
0
0
10
15
15
0
0
0
0
仓库存储
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
5.银行服务员的安排
某银行每天的营业时间是上午9时至下午5时,根据经验,每天不同时间段所需的服务员数量如表2.5所示。
储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。
表2.5不同时间段所需的服务员数量
时段
9-10
10-11
11-12
12-13
13-14
14-15
15-16
16-17
数量
4
3
4
6
5
6
8
8
全时服务员每天的报酬是100元,从上午9时到下午5时工作,但中午12时至14时之间必须安排1小时午餐时间。
储蓄所每天可以雇佣不超过3名半时服务员,每个半时服务员必须联系工作4个小时,报酬40元。
请回答下列问题:
(1)储蓄所应如何雇佣全时和半时两类服务员?
(2)如果不雇佣半时服务员,每天至少增加多少费用?
(3)如果雇佣半时服务员的数量没有限制,每天可减少多少费用?
答:
(1)设:
m为全时服务员总数,x为12~13时先去吃饭的全时服务员数,n为半时服务员总数,y为12~13时候补全时人员的半时人数。
可建立模型:
目标函数:
min=100m+40x//佣金最少
约束条件:
m+n≥8//全时人数和半时人数总和应不少于用人最多时刻的人数
m-x+y≥6//全时人数减去吃饭的人数加上来替补的半时人数应满足12~13时人员需求
x+n≥5//13~14时所有的半时人员全在
m+n-y≥8//第一批半时人员最晚工作到16时(条件m+n≥8可省去)
LINGO语句:
MODEL:
min=100*m+40*n;
n<3;
m+n-y>8;
m-x+y>6;
n+x>5;
@gin(m);@gin(n);@gin(x);@gin(y);
END
运算结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
820.0000
Objectivebound:
820.0000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
ModelClass:
PILP
Totalvariables:
4
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
4
Totalconstraints:
5
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
11
Nonlinear
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