高考文科数学全国1卷附答案.docx
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高考文科数学全国1卷附答案
_-_
_-_
_
_-
_
_
:
-
号-
学-
_
_-
_
_
_-_
_
_-
_
_
_
_线
_
_封
_
_密
_
_
_-_
:
-
名姓-
-
-
班-_
_
_-
_
_
_-_
年-
_
_
_
_线
_
_封
_
密
_
_-
_
_
_-_
_
_-
_
_
_-_
_
_-
_
_
_-_
_
_-
:
校-
学-
12B-SX-0000022
绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学全国I卷
本试卷共23小题,满分150分,考试用时120分钟
(适用地区:
河北、河南、山西、山东、江西、安徽、湖北、湖南、广东、福建)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在
答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每个小题给出的四个选
项中,只有一项是符合题目要求的。
1
.设z
3
i
,则z=
1
2i
A.2
B.3
C.
2
D.1
2.已知集合U
1,2,3,4,5,6,7
,A
2,3,4,5
,B
2,3,6,7,则
BeA
U
A.1,6
B.1,7
C.6,7
D.1,6,7
3
.已知a
log20.2,b20.2,c
0.20.3
,则
A.a
b
c
B.a
c
b
C.c
a
b
D.b
c
a
4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之
比是51(51≈0.618,称为黄金分割比例),著名
22
的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉
的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51.若某人满足
2
上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下
端的长度为
26cm,则其身高可能是
A.165cm
B.175cm
C.185cm
D.190cm
5.函数f(x)=sinxx2在[—π,π]的图像大致为cosxx
A.B.
C.D.
6.某学校为了解1000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,⋯,1000,
从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生
被抽到,则下面4名学生中被抽到的是
A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生
7.tan255=°
A.-2-3B.-2+3C.2-3D.2+3
-1--2-
12B-SX-0000022
8.已知非零向量
a,b满足a=2
b,且(a–b)
b,则a与b的夹角为
π
π
2π
5π
A.
B.
C.
D.
6
3
3
6
1
9.如图是求
2
1
的程序框图,图中空白框中应填入
2
1
2
1
A.A=
A
2
B.A=2
1
A
1
C.A=
2A
1
D.A=1
1
2A
x2
y2
1(a0,b
0)的一条渐近线的倾斜角为
130°,则C的
10.双曲线C:
b2
a2
离心率为
A.2sin40°
B.2cos40°
C.
1
1
D.
cos50
sin50
11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA-bsinB=4csinC,
cosA=-
1
,则b
=
4
c
A.6
B.5
C.4
D.3
12.已知椭圆C的焦点为F1(1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若
|AF|
2|FB|,|AB||BF|,则C的方程为
2
2
1
A.x2
y2
1
B.x2
y2
1
2
3
2
x2
y2
1
x2
y2
1
C.
3
D.
4
4
5
二、填空题:
本题共
4小题,每小题
5分,共20分。
13.曲线y3(x2
x)ex在点(0,0)
处的切线方程为___________.
14.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1
1,S3
3
,则S4=___________.
4
15.函数f(x)
sin(2x
3π
)3cosx的最小值为___________.
2
16.已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC
的距离均为
3,那么P到平面ABC的距离为___________.
三、解答题:
共
70分。
解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
第
17~21题
为必考题,每个试题考生都必须作答。
第
22、23题为选考题,考生根据要求
作答。
(一)必考题:
共60
分。
17.(12分)
某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对
该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;
(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?
-3--4-
12B-SX-0000022
附:
K2
n(ad
bc)2
.
(a
b)(cd)(ac)(b
d)
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
18.(12分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
-5--6-
12B-SX-0000022
19.(12分)
20.(12分)
如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,
已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f(′x)为f(x)的导数.
E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(1)证明:
f(′x)在区间(0,π)存在唯一零点;
(1)证明:
MN∥平面C1DE;
(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.
(2)求点C到平面C1DE的距离.
-7--8-
12B-SX-0000022
21.(12分)
(二)选考题:
共
10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则
已知点A,B关于坐标原点
O对称,│AB│=4,⊙M过点A,B且与直线
x+2=0
按所做的第一题计分。
相切.
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
(1
)若A在直线x+y=0上,求⊙M的半径;
(2
)是否存在定点
P,使得当A运动时,│MA│-│MP│为定值?
并说明理由.
1
t
2
x
,
在直角坐标系
xOy中,曲线C的参数方程为
1
t2
(t为参数),以坐
4t
y
1
t2
标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
l的极坐标方程为
2cos
3sin110.
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)求C上的点到l距离的最小值.
-9--10-
12B-SX-0000022
23.[选修4-5:
不等式选讲](10分)
已知a,b,c为正数,且满足
abc=1.证明:
(1)1
1
1
a2
b2
c2;
a
b
c
(2)(a
b)3
(b
c)3
(c
a)3
24.
-11--12-
12B-SX-0000022
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学全国I卷参考答案
一、选择题
1.C
2.C
3.B
4.B
5.D
6.C
7.D
8.B
9.A
10.D
11.A
12.B
二、填空题
13.y=3x
14.5
15.-4
16.2
8
三、解答题
17.解:
(1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为
40
0.8,因此男顾
50
客对该商场服务满意的概率的估计值为
0.8.
女顾客中对该商场服务满意的比率为
30
,因此女顾客对该商场服务满
0.6
50
意的概率的估计值为
0.6.
(2)
K
2100(40203010)2
.
50
50
70
30
4.762
由于4.7623.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
18.解:
(1)设
an的公差为d.
由S9
a5得a14d0.
由a3=4得a12d4.于是a18,d2.
因此an的通项公式为an102n.
(2)由
(1)得a
4d,故
an
(n
n(n9)d.
1
5)d,Sn
2
由a1
0知d
0,故Sn⋯an等价于n2
11n10,
0,解得1≤n≤10.
所以n的取值范围是{n|1剟n10,n
N}.
19.解:
(1)连结BC,ME
BB,BC的中点,所以
ME∥BC
,且
1
.因为M,E分别为
1
1
ME
1
.又因为N为AD1的中点,所以
ND
1
.
1
1
BC
AD
2
2
∥
∥
∥
ND
,因此四边形MNDE
由题设知AB11
=
DC,可得BC1=AD1
,故ME=
为平行四边形,
MN∥ED.又MN
平面
CDE,所以MN∥平面CDE
1
1
.
(2)过C作C1E的垂线,垂足为H.
由已知可得DE
BC,DECC,所以DE⊥平面CCE,故DE⊥CH.
1
1
从而CH⊥平面CDE,故CH的长即为C到平面CDE的距离,
1
1
由已知可得CE=1,C1C=4,所以CE
17,故CH
4
17
.
1
17
从而点C到平面
417
CDE的距离为
.
1
17
20.解:
-13--14-
12B-SX-0000022
(1)设g(x)
f
(x),则g(x)
cosxxsinx
1,g(x)xcosx.
π
0;当x
π
π
当x(0,)时,g(x)
2
π时,g(x)0,所以g(x)在(0,)
2
2
π
单调递增,在
π单调递减.
2
又g(0)
0,g
π
0,g(π)
2,故g(x)在(0,π)存在唯一零点.
2
所以f
(x)在(0,π)存在唯一零点.
(2)由题设知
f(π)⋯aπ,f(π)
0,可得a≤0.
由
(1)知,
f(x)在(0,π)只有一个零点,设为
x0,且当x
0,x0时,
f(x)
0;当x
x0,π时,f
(x)
0,所以f(x)在0,x0
单调递增,
在x0,π单调递减.
又f(0)
0,f(π)
0,所以,当x
[0,π]时,f(x)⋯0.
又当a,
0,x
[0,π]时,ax≤0,故f(x)⋯ax.
因此,a的取值范围是(
0]
.
21.解:
(1)因为
M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在
直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点
O对称,所以M在直线y
x上,故可
设M(a,a).
因为M与直线x+2=0相切,所以
M的半径为r
|a
2|.
由已知得|AO|=2,又MO
AO,故可得2a2
4
(a2)2
,解得a=0或
a=4.
故M的半径r=2或r=6.
(2)存在定点P(1,0)
,使得|MA||MP|为定值.
理由如下:
设M(x,y),由已知得
M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.
由于MOAO,故可得x2y24(x2)2,化简得M的轨迹方程为
y24x.
因为曲线C:
y2
4x是以点P(1,0)
为焦点,以直线x
1为准线的抛物线,
所以|MP|=x+1.
因为|MA||MP|=r
|MP|=x+2
(x+1)=1,所以存在满足条件的定点
P.
1
t
2
2
1t
2
2
4t2
22.解:
(1)因为
1
,且
2
y
,所以
1t2
1
x
2
1t2
1t22
1
C的直角坐标方程为
2
y2
1).
x
1(x
4
l的直角坐标方程为
2x
3y11
0.
(2)由
(1)可设C的参数方程为
x
cos
为参数,π
π).
y
2sin
(
4cos
π
11
|2cos
23sin
11|
3
C上的点到l的距离为
.
7
7
当
2π时,4cos
π11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小
3
3
值为
7.
23.解:
(1)因为a2
b2
2abb,2
c2
2bc,c2
a2
2ac,又abc
1,故有
a2
b2
c2
ab
bc
ca
ab
bc
ca
1
1
1.
abc
a
b
c
所以111
a2
b2
c2.
a
bc
-15--16-
12B-SX-0000022
(2)因为a,b,c
为正数且abc1,故有
(ab)3
(bc)3
(ca)3
33(ab)3(bc)3(ac)3
=3(a+b)(b+c)(a+c)
3(2ab)(2bc)(2ac)
=24.
所以(ab)3(bc)3(ca)324.
-17--18-
12B-SX-0000022
-19--20-
12B-SX-0000022
-21--22-
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