燕博园届高三综合能力测试CAT二数学文试题全国卷精品解析.docx
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燕博园届高三综合能力测试CAT二数学文试题全国卷精品解析
燕博园2019届高三年级综合能力测试(CAT)
(二)
文科数学(全国卷)
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A{1,a},B{xZ|1x1},若AB,则实数a的值为()
A.1B.0C.1D.0或1
2.下列函数中是偶函数且在其定义域上存在最大值的是()
x
1
A.
21
yxB.
3
yxC.ylgxD.
y
2
3.函数ysin(2x)相邻的一个对称中心和一个对称轴的距离是()
A.B.C.
D.与有关24
x
4.方程log22x0的根所在的一个区间是()
2
A.
11
42
B.
1
2
1
C.(1,2)D.(2,2)
5.△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a22,c4,acosBbsinA,则b()
A.22B.4C.8D.23
6.已知直线l与正方体ABCDA1B1C1D1的所有面所成的角都相等,且l平面BB1D1DH,则l与平面
BBDD所成角的正切值是()
11
A.2B.2C.
2
2
D.5
7.若某三棱锥的三视图是三个腰长为2的等腰直角三角形,如图所示,则该三棱锥的外接球的表面积为()
A.12B.23C.4D.(33)
8.已知
22
O:
xy4y30,直线l:
yx,若过直线l上的点P所作的O的两条切线互相垂直,则点P的
坐标是()
A.
11
22
B.(0,0)或(2,2)C.(1,1)D.
22
33
或
44
33
9.如图是来自统计局的有关2013~2017年我国的三次产业增加值占国内生产总值比重的统计图,下列对于
2013~2017年该国的三次产业增加值占国内生产总值比重的相关判断错误..的是()
A.2013年第三产业增加值约为第一产业增加值的5倍
B.第一产业占国内生产总值的比重在逐年减少
C.第三产业占国内生产总值的比重最低的年份是2013年
D.第二产业在2017年的增加值比2015年的增加值低
10.已知函数f(x)
xa
e
x
若对x(0,),都有f(x)≥1,则a的取值范围是()
A.{1}B.(,1]C.[2,)D.(0,1]
11.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个
等边三角形,这样的数被称为三角形数.如图所示,三角形数1,3,6,⋯.在1~100这100个自然数中随机取一个数,
恰好是三角形数的概率是()
A.
13
100
B.
17
100
C.
1
4
D.
33
100
12.已知离心率为e,焦点为F1,F2的双曲线C上一点P满足sinPF1F2esinPF2F10,则双曲线的离心率
e的取值范围为()
A.(1,2]B.(1,3]C.(1,2]D.(1,12)
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.已知复数为
2
(1ai)bi(a,bR),则abi.
x1
≥
14.已知实数x,y满足约束条件xy3,则z2xy的最小值为.
≤
y≥x3
15.已知
sin2
1
4
且0,则2sin
.
44
16.等腰梯形ABCD中,AB//CD,AD4,BCD60,P是梯形ABCD内的一点,则
PAPBPCPD的最小值是.
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须
作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分.
17.(本小题满分12分)
各项均不为零的数列{}
a前n项和为Sn,数列
n
2
{nan}前n项和为Tn,且
2
a12,TnSn(n1,2,3,).
(1)求
a的值;
2
(2)求数列{a}的通项公式.
n
18.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥PABCD中,BC2,AD//BC,E为棱PA的中点,BE//平面PCD.
PBAB2BE,平面PAB平面PBC.
(1)求证:
平面ABCD平面PBC;
(2)若点F在PD上,且AFPD,ADBE,求证:
BFPC.
P
F
E
BC
AD
19.(本小题满分12分)
2018年6月25日,赶集网发布了《2018年毕业生就业报告》,2018年全国高校毕业生人数达到820万人,再创近7
年毕业生人数新高.中国高等教育发展实现了从精英教育到大众化,用十年走过了其他国家三十年、五十年甚至
是更长时间的道路.
下表是近7年高校毕业人数(精确到十万位)(数据来源:
中商产业研究院整理)
年份2012201320142015201620172018
年份代号x1234567
毕业人数y(百万人)6.87.07.37.57.78.08.2
(1)求y关于x的回归方程(系数保留两位小数);
(2)利用所求回归直线方程分析2012年至2018年全国高校毕业生人数的变化情况,并预测2023年全国高校毕
业生人数.
附:
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
n
(xx)(yy)
ii
?
?
?
i1
baybx
n
2
(xx)
i
i1
.
20.(本小题满分12分)
经过抛物线
2
C:
ymx的焦点F作斜率为k1的直线,分别交抛物线C于点A、B,点P(1,2)在抛物线C上,直线
l经过线段AB的中点M与点P.
(1)求抛物线C的焦点坐标;
(2)作斜率为
k的直线m交抛物线于C、D,若k1k21,直线l经过线段CD的中点N,求证:
直线m经过定
2
点.
21.(本小题满分12分)
已知函数
1
3
f(x)sinxaxx.
6
(1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若f(x)存在极小值点
x与极大值点x2,求证:
x12ax22.
1
(二)选考题:
共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所作的第一题计分.
22.【选修4—4:
坐标系与参数方程】(本小题满分10分)
已知点A(2,0),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为
cos1,点P为曲线C上的动点.
(1)写出点A的极坐标及曲线C的直角坐标方程;
(2)当APO为最大值时,求△PAO的外接圆的参数方程.
23.【选修4—5:
不等式选讲】(本小题满分10分)
已知函数f(x)x2ax.
(1)当a1时,求不等式f(x)≥2的解集;
(2)是否存在实数a,使得{x|f(x)≥2}R?
若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
燕博园2019届高三年级综合能力测试(CAT)
(二)
文科数学(全国卷)参考答案
1.答案:
B
解析:
A{1,a},B{0},AB,a0.
2.答案:
D
解析:
选项A,D为偶函数,选项B为奇函数,选项C的定义域为(0,),是非奇非偶函数.
选项A,
21
yx,当x0时,y取得最小值1,
选项D,因为x≥0,所以
x0
11
y≤1,即存在最大值1,故选D.
22
3.答案:
C
解析:
函数ysin(2x)的周期T,则其相邻的一个对称中心和一个对称轴的距离是
4.答案:
B
T
44
.
解析:
x111111
f(x)log2x,则flog230,flog212110,
2
2482224
1
f
(1)log21210,所以原方程的根所在的一个区间为
2
2
1
2
1
.
5.答案:
A
解析:
由acosBbsinA及正弦定理可得sinAcosBsinBsinA,又因为sinA0,所以cosBsinB
所以
B,由余弦定理得:
4
2222
bac2accosB81622248,b22.
2
6.答案:
B
解析:
因为直线l与正方体
ABCDABCD的所有面所成的角都相等,所以直线l沿着正方体体对角线的方向,
1111
不妨设l为
AC,则H为平面BB1D1D的中心,连接A1C1,A1C1B1D1O1,易证得:
A1C1平面BB1D1D,所以
1
AHO即为l与平面
11
BBDD所成的角,
11
_
AO
11
tanAHO2
11
OH
1
.
D1C1
O1
A1
B1
H
DC
7.答案:
A
AB
解析:
该三棱锥的直观图如图所示,可将其还原成一个棱长为2的正方体,三棱锥的外接球即为正方体的外接球,
2外接球的直径即为正方体的体对角线,所以2R23,R3,外接球的表面积
S4R12
8.答案:
C
解析:
O的标准方程为x2(y2)21,圆心为(0,2),半径r1,过点P所作的O的两条切线互相垂直,所以
点P与圆心的距离为2r2,因为点P在直线yx上,所以可设P(t,t),所以
2
(2)22
tt,所以
2
(t1)0,t1,故点P的坐标是(1,1).
9.答案:
D
解析:
第二产业在2017年的增加值占.国.内.生.产.总.值.的.比.重.比2015年的增加值占.国.内.生.产.总.值.的.比.重.低。
10.答案:
B
xa
e
xaxaxaxa
解析:
x(0,),()≥1,即e≥x,ex≥0,设g(x)ex,则g(x)e1,
fx
x
a
当a≤0时,则g(x)0恒成立,所以g(x)在(0,)上单调递增,所以g(x)g(0)e≥1恒成立,满足题意;
当a0,令g(x)0,得xa,当0xa时,g(x)0,g(x)单调递减,当xa时,g(x)0,g(x)单调递增,
所以当xa时,g(x)取得最小值
g(x)g(a)1a,由题意可得1a≥0,解得a≤1,即0a≤1,综上可
min
知,a的取值范围是(,1].
11.答案:
A
解析:
三角形数
13
为.
100
12.答案:
D
123
n(n1)n(n1)
n,当n13时,
22
91
n(n1)
当n14时,
2
105
所以所求概率
解析:
在
△PFF中,由正弦定理可得
12
PFPFF
212
sin
PFsinPFF
121
所以
PF
2
PF
1
e
因为
PF2aPF2a
21
PFPFPF
111
1,所以当点P为双曲线的左顶点(a,0)时,PF1取得最小值,
PF
2
PF
1
取得最大值
cae
cae
1
1
所以
e
e
1
1
e
整理得
2210
ee,
解得12e12,又因为e1,所以e(1,12).
13.答案:
13
4
解析:
2
1a2aibi,所以
1
a
2
12
ab
2a13
b
4
y
A
2213
所以
abiab.
4
14.答案:
6
O
C
xy
x
3
解析:
作可行域为如图所示的△ABC,
其中A(1,2),B(1,2),C(3,0),则z0,z4,z6,
ABC
B
所以
zminzC6.
yx3
x1
15.答案:
3
2
解析:
2sin2sincoscossinsincos
444
23
(sincos)12sincos1sin2
4
又因为0,所以sincos,
4
所以
sincos
3
2
.
16.答案:
12
解析:
解法1:
取AB中点M,CD中点N,MN23则PAPB2PM,PCPD2PN,所以
PAPBPCPD4PMP,当N点P为MN的中点时,PMPN取得最小值3,故
PAPBPCPD的最小值是12.
以D为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系,设ABt,则A(2,23),B(t2,23),
C(4t,0),D(0,0),设P(x,y),则PAPBPCPD(2xt4,2y43)(2xt4,2y)
2
ttt
2
4x24(y3)12,当x2,y3,即P2,3时,PAPBPCPD取得最
222
y小值12.
AMB
AB
P
DC
N
DxC
2(1,2,3,)22nn22
所以
a24,或a20(舍).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
(Ⅱ)因为
TSn,所以
2(1,2,3,)
nn
2
T1S1(n2,3,).
nn
所以
2
na(SS)a.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
nnn1n
n1
因为0≥.⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
a,所以nanSnSn1n(SnSn1).所以SS1(n2)
nnn
n1
所以
n1nn143
SSn(n1)(n2)
≥,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
n1
n1n2n321
当n1时,上式也成立.
所以
aSS12n(n1).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分
nnn
当n1时,上式也成立,所以a2n.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
n
18.(12分)(Ⅰ)证明:
因为PBAB2BE,E为棱PA的中点,
所以APBE,且ABE,所以ABBP,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
4
又因为平面PAB平面PBC,平面PAB平面PBCPB,
所以AB平面PBC,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
又因为AB平面ABCD,所以平面ABCD平面PBC;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
(Ⅱ))经过点E作EM//AD交PD于点M,连接CM,
因为BE//平面PCD,BE平面BCME,平面PCD平面BCMEMC,所以BE//MC,
因为APBE,ADBE,ADAPA,
所以BE平面PAD.因为BE//MC,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
所以MC平面PAD.因为AF平面PAD,所以MCAF.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
又因为AFPD,PDMCM,所以AF平面PCD,因为PC平面PCD.
所以PCAF.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
由(Ⅰ)知,AB平面PBC,又因为PC平面PBC,所以ABPC.
又因为PCAF,ABAFA,所以PC平面ABF.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分
又因为BF平面ABF,所以BFPC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
P
F
E
M
BC
AD
19.(12分)
解:
(Ⅰ)x4,
6.87.07.37.57.78.08.2
y7.5,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
7
7
(xix)(yiy)i1
(14)(6.87.5)(24)(7.07.5)347.37.5447.57.5
547.77.5648.07.5748.27.5
6.6⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
7
2
(xix)94114928,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
i1
7
(xx)(yy)
ii
i1
所以
0.24,a?
7.50.2446.547
(xx)
i
2
i1
则y关于x的回归直线方程是y?
0.24x6.54;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
(Ⅱ)因为b?
0.240,
所以2012-2018年全国高校毕业生人数逐年增加,平均每年大约增加24万人,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
将2023年的年份代号x12代入回归方程得y9.42,
可预测2023年全国高校毕业生人数大约是942万人.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
20.解:
(Ⅰ)点P(1,2)在抛物线
2
C:
ymx上,
所以m4,所以抛物线C的方程为y24x;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
所以抛物线C的焦点F坐标为(1,0);⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
(Ⅱ)由题意可知直线l不与x轴垂直,设直线l为y2k(x1),
直线AB为yk1(x1),A(x1,y1),B(x2,y2).设直线m为yk2xb,C(x3,y3),D(x4,y4).
将
yk1(x1)代入方程
24
yx,得
2
k1y4y4k10可得0,
yy
12
4
k
1
yy4
12
xx112
122
kkk
111
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
22
M(1,)
所以
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