2年级奥数二至五讲.docx
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2年级奥数二至五讲
第二讲数数与计数
(一)
数学需要观察.大数学家欧拉就特别强调观察对于数学发现的重要作用,认为“观察是一件极为重要的事”.本讲数数与计数的学习有助于培养同学们的观察能力.在这里请大家记住,观察不只是用眼睛看,还要用脑子想,要充分发挥想像力.
例1数一数,图2-1和图2-2中各有多少黑方块和白方块?
解:
仔细观察图2-1,可发现黑方块和白方块同样多.因为每一行中有4个黑方块和4个白方块,共有8行,所以:
黑方块是:
4×8=32(个)
白方块是:
4×8=32(个)
再仔细观察图2-2,从上往下看:
第一行白方块5个,黑方块4个;
第二行白方块4个,黑方块5个;
第三、五、七行同第一行,
第四、六、八行同第二行;
但最后的第九行是白方块5个,黑方块4个.可见白方块总数比黑方块总数多1个.
白方块总数:
5+4+5+4+5+4+5+4+5=41(个)
黑方块总数:
4+5+4+5+4+5+4+5+4=40(个)
再一种方法是:
每一行的白方块和黑方块共9个.
共有9行,所以,白、黑方块的总数是:
9×9=81(个).
由于白方块比黑方块多1个,所以白方块是41个,黑方块是40个.
例2图2-3所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成,中间有个“雪花”状的墙洞,问需要几块正六边形的砖(图2-4)才能把它补好?
解:
仔细观察,并发挥想象力可得出答案,用七块正六边形的砖可把这个墙洞补好.如果动手画一画,就会看得更清楚了.
例3将8个小立方块组成如图2-5所示的“丁”字型,再将表面都涂成红色,然后就把小立方块分开,问:
(1)3面被涂成红色的小立方块有多少个?
(2)4面被涂成红色的小立方块有多少个?
(3)5面被涂成红色的小立方块有多少个?
解:
如图2-6所示,看着图,想像涂色情况.当把整个表面都涂成红色后,只有那些“粘在一起”的面(又叫互相接触的面),没有被涂色.每个小立方体都有6个面,减去没涂色的面数,就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都写在了它的上面,参看图2-6所示.
(1)3面涂色的小立方体共有1个;
(2)4面涂色的小立方体共有4个;
(3)5面涂色的小立方体共有3个.
例4如图2-7所示,一个大长方体的表面上都涂上红色,然后切成18个小立方体(切线如图中虚线所示).在这些切成的小立方体中,问:
]
(1)1面涂成红色的有几个?
(2)2面涂成红色的有几个?
(3)3面涂成红色的有几个?
解:
仔细观察图形,并发挥想像力,可知:
(1)上下两层中间的2块只有一面涂色;
(2)每层四边中间的1块有两面涂色,上下两层共8块;
(3)每层四角的4块有三面涂色,上下两层共有8块.最后检验一下小立体总块数:
2+8+8=18(个).
习题二
1.如图2-8所示,数一数,需要多少块砖才能把坏了的墙补好?
2.图2-9所示的墙洞,用1号和2号两种特型砖能补好吗?
若能补好,共需几块?
3.图2-10所示为一块地板,它是由1号、2号和3号三种不同图案的瓷砖拼成.问这三种瓷砖各用了多少块?
4.如图2-11所示,一个木制的正方体,棱长为3寸,它的六个面都被涂成了红色.如果沿着图中画出的线切成棱长为1寸的小正方体.
求:
(1)3面涂成红色的有多少块?
(2)2面涂成红色的有多少块?
(3)1面涂成红色的有多少块?
(4)各面都没有涂色的有多少块?
(5)切成的小正方体共有多少块?
5.图2-12所示为棱长4寸的正方体木块,将它的表面全染成蓝色,然后锯成棱长为1寸的小正方体.
问:
(1)有3面被染成蓝色的多少块?
(2)有2面被染成蓝色的多少块?
(3)有1面被染成蓝色的多少块?
(4)各面都没有被染色的多少块?
(5)锯成的小正方体木块共有多少块?
6.图2-13所示为一个由小正方体堆成的“塔”.如果把它的外表面(包括底面)全部涂成绿色,那么当把“塔”完全拆开时,3面被涂成绿色的小正方体有多少块?
7.图2-14中的小狗与小猫的身体的外形是用绳子分别围成的,你知道哪一条绳子长吗?
(仔细观察,想办法比较出来).
习题二解答
1.解:
用10块砖可把墙补好,可以从下往上一层一层地数(发挥想像力):
共1+2+2+1+2+2=10(块).
如果用铅笔把砖画出来(注意把砖缝对好)就会十分清楚了,如图2-15所示.
2.解:
仔细观察,同时发挥想像力可知需1号砖2块、2号砖1块,也就是共需(如图2-16所示)
1+2=3(块).
3.解:
因为图形复杂,要特别仔细,最好是有次序地按行分类数,再进行统计:
4.解:
(1)3面涂色的有8块:
它们是最上层四个角上的4块和最下层四个角上的4块.
(2)2面涂色的有12块:
它们是上、下两层每边中间的那块共8块和中层四角的4块.
(3)1面涂色的有6块:
它们是各面(共有6个面)中心的那块.
(4)各面都没有涂色的有一块:
它是正方体中心的那块.
(5)共切成了3×3×3=27(块).
或是如下计算:
8+12+6+1=27(块).
5.解:
同上题
(1)8块;
(2)24块;(3)24块;
(4)8块;(5)64块.
6.解:
3面被涂成绿色的小正方体共有16块,就是图2—18中有“点”的那些块(注意最下层有2块看不见).
7.解:
分类数一数可知,围成小猫的那条绳子比较长.因为小狗身体的外形是由32条直线段和6条斜线段组成;小猫身体的外形是由32条直线段和8条斜线段组成.
第三讲数数与计数
(二)
例1数一数,图3-1中共有多少点?
解:
(1)方法1:
如图3-2所示从上往下一层一层数:
第一层1个第二层2个第三层3个第四层4个第五层5个第六层6个第七层7个第八层8个第九层9个第十层10个第十一层9个第十二层8个第十三层7个第十四层6个第十五层5个第十六层4个第十七层3个第十八层2个第十九层1个
总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+(9+8+7+6+5+4+3+2+1)
=55+45=100(利用已学过的知识计算).
(2)方法2:
如图3-3所示:
从上往下,沿折线数
第一层1个第二层3个第三层5个第四层7个第五层9个第六层11个第七层13个第八层15个第九层17个第十层19个
总数:
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100(利用已学过的知识计算).
(3)方法3:
把点群的整体转个角度,成为如图3-4所示的样子,变成为10行10列的点阵.显然点的总数为10×10=100(个).
想一想:
①数数与计数,有时有不同的方法,需要多动脑筋.
②由方法1和方法3得出下式:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10
即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想:
1=1×1
1+2+1=2×2
1+2+3+2+1=3×3
1+2+3+4+3+2+1=4×4
1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6
1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7
1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×9
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10
这样的等式还可以一直写下去,能写出很多很多.
同学们可以自己检验一下,看是否正确,如果正确我们就发现了一条规律.
③由方法2和方法3也可以得出下式:
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.
即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想:
1+3=2×2
1+3+5=3×3
1+3+5+7=4×4
1+3+5+7+9=5×5
1+3+5+7+9+11=6×6
1+3+5+7+9+11+13=7×7
1+3+5+7+9+11+13+15=8×8
1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10
还可往下一直写下去,同学们自己检验一下,看是否正确,如果正确,我们就又发现了一条规律.
例2数一数,图3-5中有多少条线段?
解:
(1)我们已知,两点间的直线部分是一条线段.以A点为共同端点的线段有:
ABACADAEAF5条.
以B点为共同左端点的线段有:
BCBDBEBF4条.
以C点为共同左端点的线段有:
CDCECF3条.
以D点为共同左端点的线段有:
DEDF2条.
以E点为共同左端点的线段有:
EF1条.
总数5+4+3+2+1=15条.
(2)用图示法更为直观明了.见图3-6.
总数5+4+3+2+1=15(条).
想一想:
①由例2可知,一条大线段上有六个点,就有:
总数=5+4+3+2+1条线段.由此猜想如下规律(见图3-7):
还可以一直做下去.总之,线段总条线是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数比总数小1.我们又发现了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的关系.
②上面的事实也可以这样说:
如果把相邻两点间的线段叫做基本线段,那么一条大线段上的基本线段数和线段总条数之间的关系是:
线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数等于基本线段的条数(见图3-8).基本线段数线段总条数
还可以一直写下去,同学们可以自己试试看.
例3数一数,图3-9中共有多少个锐角?
解:
(1)我们知道,图中任意两条从O点发出的射线都组成一个锐角.
所以,以OA边为公共边的锐角有:
∠LAOB,∠AOC,∠AOD,∠AOE,
∠AOF共5个.
以OB边为公共边的锐角有:
∠BOC,∠BOD,∠BOE,∠BOF共4个.
以OC边为公共边的锐角有:
∠COD,∠COE,∠COF共3个.以OD边为公共边的锐角有:
∠DOE,∠DOF共2个.以OE边为一边的锐角有:
∠EOF只1个.
锐角总数5+4+3+2+1=15(个).
②用图示法更为直观明了:
如图3-10所示,锐角总数为:
5+4+3+2+1=15(个).
想一想:
①由例3可知:
由一点发出的六条射线,组成的锐角的总数=5+4+3+2+1(个),由此猜想出如下规律:
(见图3-11~15)
两条射线1个角(见图3-11)
三条射线2+1个角(见图3-12)
四条射线3+2+1个角(见图3-13)
五条射线4+3+2+1个角(见图3-14)
六条射线5+4+3+2+1个角(见图3-15)
总之,角的总数是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数比射线数小1.
②同样,也可以这样想:
如果把相邻两条射线构成的角叫做基本角,那么有共同顶点的基本角和角的总数之间的关系是:
角的总数是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数等于基本角个数.
③注意,例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段的,例3是关于角的,但求总数时,它们有同样的数学表达式.同学们可以看出,一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系,这就是数学的魔力.
习题三
1.书库里把书如图3-16所示的那样沿墙堆放起来.请你数一数这些书共有多少本?
2.图3-17所示是一个跳棋盘,请你数一数,这个跳棋盘上共有多少个棋孔?
3.数一数,图3-18中有多少条线段?
4.数一数,图3-19中有多少锐角?
5.数一数,图3-20中有多少个三角形?
6.数一数,图3-21中有多少正方形?
习题三解答
1.解:
方法1:
从左往右一摞一摞地数,再相加求和:
10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10
=135(本).
方法2:
把这摞书形成的图形看成是由一个长方形和一个三角形“尖顶”组成.
长方形中的书10×11=110
三角形中的书1+2+3+4+5+4+3+2+1=25
总数:
110+25=135(本).
2.解:
因为棋孔较多,应找出排列规律,以便于计数.
仔细观察可知,图中大三角形ABC上的棋孔的排列规律是(从上往下数):
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,另外还有三个小三角形中的棋孔的排列规律是1,2,3,4,所以棋孔总数是:
(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13)+(1+2+3+4)×3=91+10×3=121(个).
3.解:
方法1:
按图3-22所示方法数(图中只画出了一部分)
线段总数:
7+6+5+4+3+2+1=28(条).
方法2:
基本线段共7条,所以线段总数是:
7+6+5+4+3+2+1=28(条).
4.解:
按图3-23的方法数:
角的总数:
7+6+5+4+3+2+1=28(个).
5.解:
方法1:
(1)三角形是由三条边构成的图形.
以OA边为左公共边构成的三角形有:
△OAB,△OAC,△OAD,△OAE,△OAF,△OAG,△OAH,共7个;
以OB边为左公共边构成的三角形有:
△OBC,△OBD,△OBE,△OBF,△OBG,△OBH,共6个;
以OC边为左公共边构成的三角形有:
△OCD,△OCE,△OCF,△OCG,△OCH,共5个;
以OD边为左公共边构成的三角形有:
△ODE,△ODF,△ODG,△ODH,共4个;
以OE边为左公共边构成的三角形有:
△OEF,△OEG,△OEH,共3个;
以OF边为左公共边构成的三角形有:
△OFG,△OFH,共2个;
以OG边和OH,GH两边构成的三角形仅有:
△OGH1个;
三角形总数:
7+6+5+4+3+2+1=28(个).
(2)方法2:
显然底边AH上的每一条线段对应着一个三角形,而基本线段是7条,所以三角形总数为:
7+6+5+4+3+2+1=28(个).
6.解:
最小的正方形有25个,
由4个小正方形组成的正方形16个;
由9个小正方形组成的正方形9个;
由16个小正方形组成的正方形4个;
由25个小正方形组成的正方形1个;
正方形总数:
25+16+9+4+1=55个.
第四讲认识简单数列
我们把按一定规律排列起来的一列数叫数列.
在这一讲里,我们要认识一些重要的简单数列,还要学习找出数列的生成规律;学会把数列中缺少的数写出来,最后还要学习解答一些生活中涉及数列知识的实际问题.
例1找出下面各数列的规律,并填空.
(1)1,2,3,4,5,□,□,8,9,10.
(2)1,3,5,7,9,□,□,15,17,19.
(3)2,4,6,8,10,□,□,16,18,20.
(4)1,4,7,10,□,□,19,22,25.
(5)5,10,15,20,□,□,35,40,45.
注意:
自然数列、奇数列、偶数列也是等差数列.
例2找出下面的数列的规律并填空.
1,1,2,3,5,8,13,□,□,55,89.
解:
这叫斐波那契数列,从第三个数起,每个数都是它前面的两个数之和.这是个有重要用途的数列.8+13=21,13+21=34.所以:
空处依次填:
例3找出下面数列的生成规律并填空.
1,2,4,8,16,□,□,128,256.
解:
它叫等比数列,它的后一个数是前一个数的2倍.16×2=32,32×2=64,所以空处依次填:
例4找出下面数列的规律,并填空.
1,2,4,7,11,□,□,29,37.
解:
这数列规律是:
后一个数减前一个数的差是逐渐变大的,这些差是个自然数列:
例5找出下面数列的规律,并填空:
1,3,7,15,31,□,□,255,511.
解:
规律是:
后一个数减前一个数的差是逐渐变大的,差的变化规律是个等比数列,后一个差是前一个差的2倍.
另外,原数列的规律也可以这样看:
后一个数等于前一个数乘以2再加1,即后一个数=前一个数×2+1.
例6找出下面数列的生成规律,并填空.
1,4,9,16,25,□,□,64,81,100.
解:
这是自然数平方数列,它的每一个数都是自然数的自乘积.如:
1=1×1,4=2×2,9=3×3,16=4×4,25=5×5,
,64=8×8,81=9×9,100=10×10.
若写成下面对应起来的形式,就看得更清楚.
自然数列:
12345678910
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
自然数平方数列:
149162536496481100
例7一辆公共汽车有78个座位,空车出发.第一站上1位乘客,第二站上2位,第三站上3位,依此下去,多少站以后,车上坐满乘客?
(假定在坐满以前,无乘客下车,见表四
(1))
方法2:
由上表可知,车上的人数是自1开始的连续自然数相加之和,到第几站后,就加到几,所以只要加到出现78时,就可知道是到多少站了,
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78(人)
可见第12站以后,车上坐满乘客.
例8如果第一个数是3,以后每隔6个数写出一个数,得到一列数:
3,10,17,……,73.这里3叫第一项,10叫第二项,17叫第三项,试求73是第几项?
解:
从第1项开始,把各项依次写出来,一直写到73出现为止(见表四
(2)).
可见73是第11项.
例9一天,爸爸给小明买了一包糖,数一数刚好100块.爸爸灵机一动,又拿来了10个纸盒,接着说:
“小明,现在你把糖往盒子里放,我要求你在第一个盒子里放2块,第二个盒子里放4块,第三个盒子里放8块,第四个盒子里放16块,……照这样一直放下去.要放满这10个盒,你说这100块糖够不够?
”小朋友,请你帮小明想一想?
解:
小朋友,你是不是以为100块糖肯定能够放满这10个纸盒的了!
下面让我们算一算,看你想得对不对(见表四(3)).表四(3)
放满10个盒所需要的糖块总数:
可见100块糖是远远不够的,还差1946块呢!
这可能是你没有想到的吧!
其实,数学中还有很多很多奇妙无比的故事呢.
习题四
1.从1开始,每隔两个数写出一个自然数,共写出十个数来.
2.从1开始,每隔六个数写出一个自然数,共写出十个数来.
3.在习题一和习题二中,按题目要求写出的两个数列中,除1以外出现的最小的相同的数是几?
4.自2开始,隔两个数写一个数:
2,5,8,……,101.
可以看出,2是这列数的第一项,5是第二项,8是第三项,等等.问101是第几个数?
5.如图4-1所示,“阶梯形”的最高处是4个正方形叠起来的高度,而且整个图形包括了10个小正方形.如果这个“阶梯形”的高度变为12个小正方形叠起来那样高,那么,整个图形应包括多少个小正方形?
6.如图4-2所示,把小立方体叠起来成为“宝塔”,求这个小宝塔共包括多少个小立方体?
7.开学的第一个星期,小明准备发起成立一个趣味数学小组,这时只有他一个人.他决定第二个星期吸收两名新组员,而每个新组员要在进入小组后的下一个星期再吸收两名新组员,求开学4个星期后,这个小组共有多少组员?
8.图4-3所示为细胞的增长方式.就是说一个分裂为两个,再次分裂变为4个,第三次分裂为8个,……照这样下去,问经过10次分裂,一个细胞变成几个?
9.图4-4所示是一串“黑”、“白”两色的珠子,其中有一些珠子在盒子里,问
(1)盒子里有多少珠子?
(2)这串珠子共有多少个?
习题四解答
1.解:
可以先写出从1开始的自然数列,再按题目要求删去那些不应该出现的数,就得到答案了:
即1,4,7,10,13,16,19,22,25,28
可以看出,这是一个等差数列,后面一个数比前面一个数大3.
2.解:
仿习题1,先写前面的几个数如下:
可以看出,1,8,15,22,……也是一个等差数列,后面的一个数比前面的一个数大7.按照这个规律,可以写出所有的10个数:
1,8,15,22,29,36,43,50,57,64.
3.解:
观察习题一和习题二两个数列:
可见两个数列中最小的相同数是22.
4.解:
经仔细观察后可以看出,这是一个等差数列,后一个数比前一个数大3,即公差是3.下面再多写出几项,以便从中发现规律:
(表四(4))
再仔细观察可知:
第二项=第一项+1×公差,即5=2+1×3;
第三项=第一项+2×公差,即8=2+2×3;
第四项=第一项+3×公差,即11=2+3×3;
第五项=第一项+4×公差,即14=2+4×3;
…………
由于101=2+33×3;
可见,101是第34项,即第34个数.
5.解:
仔细观察可发现,这个“阶梯形”图形最高处是4个小正方形时,它就有4个台阶,整个图形包括的小正方形数为:
1+2+3+4=10.
所以最高处是12个小正方形时,它必有12个台阶,整个图形包括的小正方形数为:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78(个).
6.解:
从上往下数,小宝塔共有六层.仔细观察可发现如下规律(表四(5)):
所以六层小立方体的总数为:
1+3+6+10+15+21=56(个).
7.解:
列表如下:
4个星期后小组的总人数:
1+2+4+8=15(人).
8.解:
列表如下:
一个细胞经过10次分裂变为1024个.
9.解:
仔细观察可知,这串珠子的排列规律是:
白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白
1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,7,1,
①在盒子里有:
4+1+4=9(个).
②这一串珠子总数是:
1+1+1+2+1+3+1+4+1+5+1+6+1+7+1
=1+2+3+4+5+6+7+(1+1+1+1+1+1+1+1)
=28+8=36(个).
第五讲自然数列
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- 年级 奥数二至五讲