计算机在材料科学中的应用课件3.ppt
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材料科学研究中常用的数值分析方法,1、概述2、差分方程的建立有限差分法3、差分方程的求解方法4、计算误差分析5、有限差分法解题示例,科学技术和工程领域的背景:
许多力学问题和物理问题虽然能得到它应遵循的基本方程和定解条件,但难以得到它的解析解。
解决方法:
两种途径:
对方程和边界条件进行简化,得到问题在简化情况下的解答;采用数值解法。
随着计算机技术的发展和广泛应用,数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。
数值解法:
以离散数学为基础,以计算机为工具的一种求解方法。
常用数值解法:
数值积分法、有限差分法、有限元法。
有限差分法的基本原理:
把原来求解物体内随空间和时间连续分布的问题转化为求在时间领域内和空间领域内有限个离散点的问题,再用这些离散点上的值去逼近连续的分布。
概述
(1)定义:
以有限差分代替无限微分、以差分代数方程代替微分方程、以数值计算代替数学推导的过程,从而将连续函数离散化,以有限的、离散的数值代替连续的函数分布。
应用广泛
(2)有限差分法的主要步骤:
(A)构成差分格式。
首先选择网格布局、差分形式和步长;其次,以有限差分代替无限微分,即以代替dx,以差商代替微商,以差分方程代替微分方程及边界条件。
(C)对所得到的数值解进行精度与收敛性分析和检验,差分方程的建立
(1)导出差分方程的两种途径(A)从微分方程出发,以泰勒级数截断,从有限差分的数学含义去建立有限差分和差分方程(B)从由网格所划分的单元体的能量平衡分析出发,由积分方程去建立差分方程,该方法又称单元体平衡法,
(2)差分方程的建立步骤(A)合理选择网格布局及步长,离散化网格布局的依据:
根据所要求解的问题的性质及求解要求确定。
区域的划分离散化网格的选择方法:
(a)物理划分法:
根据问题的物理特性划分。
(b)形状划分法:
以几何区域形状为依据划分,步长:
离散化后各相邻离散点之间的距离,或离散化单元的长度,步长大小可以是常量,也可以是变量。
网格的粗细与是否均匀,要根据求解区域物理场的实际分布和对结果所要求的精确度而定。
(B)将微分方程转化为差分方程实质:
以差分代替微分、以差商代替微商,是以有限小量去代替无限微量的近似化过程,例:
函数f,其差分f=f2-f1。
差分分阶:
一阶差分f、二阶差分2f、n阶差分nf等,它们各对应一阶微分df、二阶微分d2f,n阶微分dnf等。
分类:
根据差分组成的不同,(a)差分:
就是某物理量的有限增量。
(b)差商:
函数的差分与自变量差分之比对直角坐标系:
一阶差商为,直接法差分方程的求解方法间接法,Guass列主元素消元法消去法的基本思想:
利用矩阵的初等变换
(1)对调两行;
(2)以数0乘某一行中的所有元素;(3)把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去。
(4)对线性方程组的系数矩阵和常数项组成的增广矩阵进行变换,逐步减少方程中的变元数,最终使每个方程只含有一个变元,从而得出所求的解。
包括消元过程和回代过程两部分。
列主元消元法是为了避免在消元过程确定乘数时所用除数是零或绝对值小的数,即零主元或小主元,在每次确定乘数之前将绝对值大的元素交换到主对角线的位置上来。
具体做法:
当变换到第k步时,从k列的akk以下(包括akk)的各元素中选出绝对值最大的,然后通过行交换将其交换到akk位置上。
设主元在第l(kln)个方程,即,若lk,将l和k方程互易位置,使新的akk成为主元,然后继续进行,这一步骤称为列选主元。
考虑线性方程组,其中,A为nn阶矩阵,非奇异;b为n维向量,x为n维末知列向量。
例:
用列消主元法求解方程组0.5x1+1.1x2+3.1x3=6.02.0x1+4.5x2+0.36x3=0.0205.0x1+0.96x2+6.5x3=0.96,设其系数均有两位有效数字,为了减少舍入误差,在以下的计算中都多保留一位数字。
若用增广矩阵的变换表示列选主、消元与回代过程,则有,得原方程的解x1=-2.6,x2=1.00,x3=2.00,追赶法:
当方程组(2-10)的系数矩阵为三对角矩阵时,方程组的解x可用递推公式表示为,例:
设有线性方程组,上组可表示为AX=D,由方程组中第一个方程可推出,令,代入上式得,由方程组中第二个方程得,令上式可写成,显然,uk、vk(k=1,2,n-1)均能逐个求得,但xn不知,因此尚需求出xn。
为此,将方程组中最后一个方程与上式中k=n-1时的方程联立,一般地,令,为了与前述兼容,规定u0=v0=0,可得,由现有已知条件,可依次计算出,迭代法(间接法)与直接法不同,迭代法不能通过有限次的算术运算求得方程组的精确解,而是按照某种规则构造一个向量序列,该序列的极限向量就是方程组的精确解,通过迭代逐步逼近精确解。
构造迭代序列及迭代序列的收敛性和收敛速度是该方法要考虑的主要问题。
迭代序列的构造方法:
对于线性方程组Ax=b(2-25)构造一个x(k)值,将x(k)代入上式,求出新的值x(k+1);再将结果代入式(2-25),又得到更新的值x(k+2);依次迭代下去,即可使其迭代值收敛于该方程组的精确解T*。
同步迭代法(雅可比迭代)同样,对于线性方程组Ax=b若aij0,则可表示为下列形式,当迭代次数无限增多时,则xi(k)将收敛于精确解xi(*),Gauss-Seidel迭代法思想:
及时替换,每次迭代充分利用当前最新的迭代值。
要点:
在第k步迭代中,式(2-26)中的第1式仍保持与同步迭代法相同,但对第2式,其中的x1(k)则由刚刚得到的第(k+1)次的x1(k+1)取代,超松弛迭代是对Gauss-Seidel迭代的一种加速处理,以加权的方式,使Gauss-Seidel迭代法的收敛速度加快。
针对高阶差分方程使用。
以gi(k+1)表示用Guass-Siedel迭代法所确定的第k+1次迭代值,为设法削弱xik的作用,令,W为超松弛因子或加权数,其大小影响收敛速度,一般:
1w2,计算误差分析泰勒级数,将离散化的i+1,i-1结点的函数值ui+1,ui-1分别按Talor级数展开,x=(xi+1-xi)=(xi-xi-1),对应一阶向前差商,对应一阶向后差商,二阶差商的截断误差:
由(2-41)减去(2-42)后再除以x得到,对应一阶中心差商,有限差分法解题示例:
例:
利用差分法解Laplace方程第一边值问题(要求画出差分网格及写出差分方程组)。
数值微分:
用差商作为导数近似值,一阶数值微分公式,解采用正方形网格剖分,内结点按如图2-3所示编号。
设内结点总数为N,对于每一个(xi,yj)D0,利用数值微分公式,本题采用正方形网格,因此h1=h2,可推出差分方程为,4uij-u(i+1)j+u(i-1)j+ui(j+1)+ui(j-1)=-h2fij(xi,yj)D0,本例中取h1=h2=0.125,采用正方形网格剖分,内结点按图2-3所示编号,按上式得,其中,u11对应u1,u21对应u2,u01为0,u12对应u4,u10为0,于是得4u1-u2-u4=0。
其他,u31对应u3,u22对应u5,u32对应u6,u13对应u7,u23对应u8,u33对应u9。
其余类推得差分方程:
用Seidel迭代法求得:
u1=6.25,u2=12.5,u3=18.75,u4=12.50,u5=25.00,u6=37.50,u7=18.75,u8=37.50,u9=56.25,
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